異方差性課件

高等學校經(jīng)濟學類核心課程計量經(jīng)濟學Econometrics第四章放寬基本假定的模型§4.1異方差性§4.2序列相關性§4.3多重共線性§4.4隨機解釋變量1、違背基本假定的情形：

隨機誤差項μi

的方差不一致——異方差性；隨機誤差項μi

之間存在相關——序列相關性；解釋變量X

之間存在相關——多重共線性；解釋變量X

是隨機變量——隨機解釋變量問題；模型形式設定錯誤——設定偏誤問題解釋變量的方差不隨樣本容量的增加而收斂——偽回歸問題2、對于每一種情形：

表現(xiàn)形式是什么？產(chǎn)生的原因何在？

造成的后果如何？如何檢驗其存在？如何解決和處理？本章說明對于模型：如果出現(xiàn)即：對于不同的樣本點，隨機誤差項的方差不再是同一個常數(shù)，而互不相同，則認為出現(xiàn)了異方差性(Heteroskedasticity)。一、異方差性的概念注意：此處討論異方差性時，并未改變其它基本假設，此時隨機誤差項仍然滿足：E(μi)=0,cov((μi,μj)=0。#異方差下隨機誤差項的方差－協(xié)方差陣此時，隨機誤差項之間的方差－協(xié)方差陣為：在其他假設不變的情況下，異方差意味著：＃異方差的類型1、同方差假定：var(μi)＝2(常數(shù))f(Xi)

即：每個樣本點上的μi圍繞其均值0的分布與解釋變量X無關2、異方差時：var(μi)＝i2=f(Xi)即：每個樣本點上的μi的方差隨X的變化而變化

3、異方差一般可歸結(jié)為三種類型：(1)單調(diào)遞增型：i2隨X的增大而增大(2)單調(diào)遞減型：i2隨X的增大而減小(3)復雜型：i2與X的變化呈復雜形式二、實際經(jīng)濟問題中的異方差性【例4.1.1】：居民家庭儲蓄行為（截面資料）

Yi=0+1Xi+i

Yi:第i個家庭的儲蓄額Xi:第i個家庭的可支配收入分析：高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小i的方差隨收入的增加而增加，呈現(xiàn)單調(diào)遞增型變化【例4.1.2】：居民消費函數(shù)（截面資料）以絕對收入假設為理論假設：

Ci=0+1Yi+I將居民按照收入等距離分成n組，取組平均數(shù)為樣本觀測值。分析：一般情況下，居民收入服從正態(tài)分布：中等收入組人數(shù)多，兩端收入組人數(shù)少。而人數(shù)多的組平均數(shù)的誤差小，人數(shù)少的組平均數(shù)的誤差大。所以樣本觀測值的觀測誤差隨著解釋變量觀測值的不同而不同，往往引起異方差性。

i的方差隨Y的增加而呈U型變化，屬于復雜型【例4.1.3】：企業(yè)生產(chǎn)函數(shù)模型（截面資料）

Yi=β0Ai1

Ki2

Li3eI被解釋變量：產(chǎn)出量Y解釋變量：資本K、勞動L、技術A分析：

每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響被包含在隨機誤差項中。

每個企業(yè)所處的外部環(huán)境對產(chǎn)出量的影響程度不同，造成了隨機誤差項的異方差性。

這時，隨機誤差項的方差并不隨某一個解釋變量觀測值的變化而呈規(guī)律性變化，呈現(xiàn)復雜型。三、異方差性的后果計量經(jīng)濟學模型一旦出現(xiàn)異方差性，如果仍采用OLS估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生下列不良后果：1、參數(shù)估計量仍然無偏，但非有效因為在有效性證明中利用：E(’)=2I而且，在大樣本情況下，盡管參數(shù)估計量具有一致性，但仍然不具有漸近有效性。這意味著，在異方差情形下，如果仍采用OLS估計，則可能低估或高估參數(shù)估計量的方差。2、變量的顯著性檢驗失去意義變量的顯著性檢驗中，構(gòu)造了t統(tǒng)計量其他檢驗也是如此。3、模型的預測失效一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的統(tǒng)計性質(zhì)；所以：當模型出現(xiàn)異方差性時，參數(shù)OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預測誤差變大，降低預測精度，預測功能失效。另一方面，在預測值的置信區(qū)間中也包含有誤差方差的估計量：＃隨機誤差項的方差的表示（一）圖示檢驗法常用的三種圖形：——看散點圖是否具有水平直線趨勢——看散點圖是否存在明顯的擴大、縮小或復雜趨勢戈里瑟提出如下假定函數(shù)形式：帕克提出如下假定函數(shù)形式：如果上述方程能夠顯著成立，或者某一回歸系數(shù)能夠顯著不為0，則認為存在異方差性（三）戈德菲爾德-匡特檢驗（GQ檢驗）基本思想

如果隨機誤差項的方差與某一解釋變量X相關且呈現(xiàn)遞增變化，則在X值較大的樣本點上進行回歸，其回歸殘差平方和∑ei2應該比在X值較小的樣本點上施行同樣的回歸所得到的殘差平方和要大，反之前者的殘差平方和應該較后者要小。

在按某一解釋變量對樣本排序，再將排序后的樣本一分為二，對子樣①和子樣②分別作OLS回歸，然后利用兩個子樣的殘差平方和之比構(gòu)造統(tǒng)計量進行異方差檢驗。G-Q檢驗由戈德菲爾德(Goldfeld)和匡特(Quandt)在1965年提出G-Q檢驗以F檢驗為基礎，適用于樣本容量較大（一般在參數(shù)個數(shù)的兩倍以上）、異方差遞增或遞減的情況。G-Q檢驗的步驟1、排序——將n組樣本觀察值(Xi,Yi)按觀察值Xi的大小排序（X為某一被認為有可能引起異方差的解釋變量）2、劃分——將序列中間的c=n/4個觀察值除去（也可以不去除，視樣本資料的豐富程度而定），并將剩下的觀察值劃分為前、后兩個容量相同的子樣本，每個子樣本容量均為(n-c)/23、回歸——對每個子樣本分別進行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和，分別用和表示較小的殘差平方和和較大的殘差平方和，其自由度均為：由懷特（White)在1980年提出，通過輔助回歸模型判斷，懷特檢驗不需要排序，適合任何形式的異方差（2）然后做如下輔助回歸1、懷特檢驗的基本思想與步驟（以二元為例）：（1）對二元回歸模型：作OLS回歸，得到（四）懷特檢驗（White）得到擬合優(yōu)度：R2（3）可以證明，在同方差假設（H0：模型同方差）下：R2

為輔助回歸的可決系數(shù)h為輔助回歸解釋變量的個數(shù)（不含常數(shù)項），該例h＝5）（4）由此，可在大樣本下，對統(tǒng)計量進行相應的卡方檢驗（右側(cè)檢驗），如果超出臨界值，則表明輔助回歸的擬合優(yōu)度較高，拒絕同方差假設，即存在異方差性（一）模型的對數(shù)變換如果模型：存在異方差則對Y和X進行對數(shù)變換，擬合以下模型：這通?？梢越档彤惙讲钚缘挠绊懺蛟谟冢簩?shù)變換能使測定變量值的尺度縮小，將兩個數(shù)值之間的10倍差異縮小到大約只有2倍的差異變換后的模型，其殘差表示相對誤差，而相對誤差往往具有較小的差異實際上這一變換相當于改變了模型的設定形式上述模型稱為雙對數(shù)模型，類似地可以建立單對數(shù)模型（二）加權(quán)最小二乘法1、對原模型進行加權(quán)，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后再采用OLS估計參數(shù)2、基本思想：誤差方差較小的點，偏離總體回歸線的程度小，代表性強誤差方差較大的點，偏離總體回歸線的程度大，代表性弱對誤差方差較小的點（代表性較強的點）賦予較大的權(quán)數(shù)，對誤差方差較小的點（代表性較弱的點）賦予較小的權(quán)數(shù)，以反映代表性不同的樣本點在擬合過程中的重要性3、實質(zhì)：最小化加權(quán)后的殘差平方和：1.已知異方差形式時，ωi的選擇——模型變換法對于多元線性回歸模型：如果已知模型存在異方差性，且有：即：誤差方差與某個解釋變量Xj呈現(xiàn)確定的函數(shù)關系：f（Xj）則?。杭从忙豬去乘原模型，得到：則原模型變?yōu)椋簞t新的模型具有同方差性，可以采用OLS估計。事實上：（無常數(shù)項的回歸）模型變換法中的f(X)可以利用帕克檢驗或者戈里瑟檢驗予以尋找。一般f(X)可以取如下形式：#模型變換法的說明注意變換后的模型參數(shù)與原模型參數(shù)的對應關系即：新模型具有同方差性（且誤差方差均為1），可以采用OLS估計則有：2、未知異方差形式時，ωi的選擇——直接加權(quán)法對于多元線性回歸模型：如果僅知模型存在異方差性，即有：則直接?。杭从忙豬去乘原模型，得到：（無常數(shù)項的回歸）實際中，可以采用|ei|作為бi的估計，即權(quán)數(shù)可以取為：#直接加權(quán)法的說明采用直接加權(quán)法后，所得模型的異方差性消除地較為徹底，所得模型的擬合優(yōu)度往往大為提高，但這種將誤差方差強制性歸1的方法仍值得商榷。對于模型:Y=X+

（X為設計矩陣，Y、β、μ為列向量）如果存在異方差性，則隨機誤差項的方差－協(xié)方差陣可以表示為：#加權(quán)最小二乘法的一般過程（矩陣表示)易知：W是一對稱正定矩陣，存在一可逆矩陣D使得：W=DD’

用D-1左乘Y=X+

兩邊，得到一個新的模型：記為：該新模型具有同方差性。因為這就是原模型Y=X+

的加權(quán)最小二乘估計量（WLSE），是無偏、有效的估計量。上述過程中的D-1稱為加權(quán)矩陣，它來自于原模型殘差項的方差-協(xié)方差矩陣б2W。#如何得到加權(quán)矩陣D-1？1、對原模型進行OLS估計，得到隨機誤差項的近似估計量，以此構(gòu)成隨機誤差項的方差－協(xié)方差陣的估計量，即2、這時D－1取為：六、案例

（中國農(nóng)村居民人均消費函數(shù)）

【例4.1.4】：中國農(nóng)村居民人均消費支出主要由人均純收入來決定。農(nóng)村人均純收入包括(1)從事農(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入，(2)包括從事其他產(chǎn)業(yè)的經(jīng)營性收入(3)工資性收入、(4)財產(chǎn)收入(4)轉(zhuǎn)移支付收入?？疾鞆氖罗r(nóng)業(yè)經(jīng)營的收入(X1)和其他收入(X2)對中國農(nóng)村居民消費支出(Y)增長的影響:1、普通最小二乘法的估計結(jié)果：2、異方差檢驗（1）圖示檢驗（2）G-Q檢驗1）將原始數(shù)據(jù)按X2排成升序；2）去掉中間的7個數(shù)據(jù)，得兩個容量為12的子樣本3）對兩個子樣本分別作OLS回歸，求各自的殘差平方和RSS1和RSS2：子樣本1：(3.18)(4.13)(0.94)R2=0.7068，RSS1=0.0648子樣本2：(0.43)(0.73)(6.53)R2=0.8339，RSS2=0.27294）計算F統(tǒng)計量：F=RSS2/RSS1=0.2792/0.0648=4.315）給定=5%，查得臨界值F0.05(9,9)=2.976）判斷：F>F0.05(9,9)否定兩組子樣方差相同的假設,該總體隨機項存在遞增異方差性。#Eviews程序：Sortlnx2＃按lnX2排序Smpl112＃選定第1組樣本（1－12號樣本點)Ls

lnyclnx1lnx2＃進行回歸，記錄RSS1Smpl2031＃選定第2組樣本（20－31號樣本點)Ls

lnyclnx1lnx2＃進行回歸，記錄RSS21）作輔助回歸:（-0.04）(0.10)(0.21)