函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)

第三章函數(shù)的連續(xù)性

引言：客觀世界的許多現(xiàn)象都是連續(xù)變化的，比如,時(shí)間的變化是連續(xù)的。所謂連續(xù)就是不間斷，但是在數(shù)學(xué)上要用數(shù)學(xué)的語言來描述著這種現(xiàn)象。一、函數(shù)連續(xù)性的概念二、函數(shù)的間斷點(diǎn)及其分類三、連續(xù)函數(shù)求極限的簡便法則

§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1．理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)與間斷的概念,掌握判斷分段函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的方法；2．會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)；3．了解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用連續(xù)性求極限。§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.自變量與函數(shù)的增量設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量從初點(diǎn)x1變化到終點(diǎn)x2時(shí)，終點(diǎn)與初點(diǎn)的差稱為自變量的改變量或增量，記為?x=x2-x1顯然有x2

=x1+?x對(duì)應(yīng)的函數(shù)值從從初值y1=f(x1)變化到終值y2=f(x2)=f(x1+?x),其差稱為函數(shù)的改變量或增量，記為?y=y2-y1或?y=f(x1+?x)-f(x1)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)1.自變量與函數(shù)的增量自變量的改變量或增量，記為?x=x2-x1

函數(shù)的改變量或增量，記為?y=y2-y1或?y=f(x1+?x)-f(x1)?x、?y可正可負(fù)例

設(shè)f(x)=2x+1，分別求Δx和Δy.

（1）x由2變到2.1,（2）x由2變到1.8,解:（1）Δx=2.1-2=0.1Δy=f(2.1)-f(2)=

(2×2.1+1)-(2×2+1)=5.2-5=0.2（2）Δx=1.8-2=-0.2Δy=f(1.8)－f(2)=(2×1.8+1)-(2×2+1)=4.6-5=-0.4一、函數(shù)連續(xù)性的概念§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的形象描述：觀察函數(shù)f(x)=x+1與在點(diǎn)x0=1處的連續(xù)性。xyo1-112y=f(x)xyo1-112y=g(x)函數(shù)f(x)圖象在點(diǎn)x0=1處連續(xù)，是一條連續(xù)的曲線；函數(shù)g(x)圖象在點(diǎn)x0=1處斷開了?！?-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)x→x0時(shí)f(x)的極限存在，并且等于該點(diǎn)處的函數(shù)值f(x0)，即,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)。由定義可知，函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，

x0必屬于函數(shù)f(x)的定義域?！?-7無窮小量的比較例如：討論函數(shù)

，在

處的連續(xù)性.

函數(shù)

在

處連續(xù)∴§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念引入增量記號(hào)，定義1中的x→x0和f(x)→f(x0)，可以改寫為?x=x-x0→0，?y=f(x0+?x)-f(x0)→0。

定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)?x=x-x0→0，?y=f(x0+?x)-f(x0)→0，即,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。定義2反映了函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征：自變量變化很小時(shí)，函數(shù)值變化也很小。

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)的幾何解釋顯然△y

不趨于0

連續(xù)的幾何解釋:自變量的改變量△x→0時(shí),函數(shù)的改變量△y→0§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念函數(shù)在點(diǎn)x0

連續(xù)的定義此定義主要用于證明函數(shù)的連續(xù)性

利用此定義可證明:基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)的連續(xù)性。§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念一、函數(shù)連續(xù)性的概念函數(shù)

在處連續(xù)例如：討論函數(shù)

，在

處的連續(xù)性.

§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)3.左連續(xù)和右連續(xù)定義4設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)(a，x0]內(nèi)有定義,當(dāng)x→x0-時(shí)的左極限存在，且等于函數(shù)值f(x0)，即,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)。

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)[x0，b)內(nèi)有定義,當(dāng)x→x0+時(shí)的左極限存在，且等于函數(shù)值f(x0)，即,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)的充要條件是f(x0-0）=f(x0+0）=f(x0)

在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)4.函數(shù)f(x)的區(qū)間連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)定理1基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理2一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)4.函數(shù)f(x)的區(qū)間連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念1.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);注意1.在分段區(qū)間上定連續(xù)。2.分段點(diǎn)連續(xù)性需利用定義去判斷。步驟：1、求函數(shù)值f(x0)=?2、求極限值？3、判斷：？5.分段函數(shù)的連續(xù)性一、函數(shù)連續(xù)性的概念§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)2.求極限值1.求函數(shù)值3.判斷：

分段點(diǎn)兩邊函數(shù)表達(dá)式不同需分左右極限§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例2證§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念例3解分段函數(shù)的定義可知，f(0)=0§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念練習(xí)左連續(xù)但不右連續(xù),解分段函數(shù)的定義可知，f(2)=22=4例4§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)一、函數(shù)連續(xù)性的概念解分段函數(shù)的定義域?yàn)椋?∞，+∞）在函數(shù)的分段點(diǎn)x=0處，函數(shù)的左右極限分別為：所以函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=0處不連續(xù)例5在x=1處連續(xù)，求a、b的值∴a=-1b=2解分段函數(shù)的定義可知，f(1)=1§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)課堂小結(jié)1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);由連續(xù)的定義可知，

函數(shù)

在點(diǎn)

必須滿足三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)

處有定義存在連續(xù)以上三個(gè)條件只要有一個(gè)不滿足，則函數(shù)在點(diǎn)x0處不連續(xù)（或間斷）。課本：P113-114習(xí)題3-1（A）1,2,4課后作業(yè)定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)x→x0時(shí)f(x)的極限存在，并且等于該點(diǎn)處的函數(shù)值f(x0)，即,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)，稱x0為函數(shù)f(x)的連續(xù)點(diǎn)。二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類此定義常用于判斷分段函數(shù)分段點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)的點(diǎn)連續(xù)的概念§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)由連續(xù)的定義可知，

函數(shù)

在點(diǎn)

必須滿足三個(gè)條件：函數(shù)在點(diǎn)

處有定義存在連續(xù)以上三個(gè)條件只要有一個(gè)不滿足，則函數(shù)在點(diǎn)x0處不連續(xù)（或間斷）。二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類無定義的點(diǎn)有情況之一為間斷點(diǎn)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)（1）討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性（2）討論函數(shù)在點(diǎn)處的連續(xù)性無窮間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)處左右極限都存在的間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)左右極限存在且相等

可去間斷點(diǎn)左右極限存在不相等

跳躍間斷點(diǎn)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0

處,左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)震蕩間斷點(diǎn)§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)二、函數(shù)間斷點(diǎn)及其分類1.跳躍間斷點(diǎn)例1解§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)例2研究取整函數(shù)f(x)=[x]在點(diǎn)x=2處的連續(xù)性.§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)解：因?yàn)楫?dāng)1≤x<2時(shí)，f(x)=[x]=1；當(dāng)2≤x<3時(shí)，f(x)=[x]=2；

易知f(2)=[2]=2f(2+0)=2=f(2);f(2-0)=1≠f(2)在點(diǎn)x=2處的是右連續(xù)，但不是左連續(xù).所以取整函數(shù)在點(diǎn)x=2處不連續(xù)，但不是左連續(xù).2.可去間斷點(diǎn)例3§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)解例3§3-1函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)如例3中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).特點(diǎn)注意

可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)