第一節(jié)特征值與特征向量

第五章矩陣的相似標(biāo)準(zhǔn)型第一節(jié)特征值與特征向量第二節(jié)相似矩陣第三節(jié)矩陣的對角化第四節(jié)實對稱矩陣的對角化1第一節(jié)特征值與特征向量一．特征值與特征向量的概念二．特征值與特征向量的計算三．特征值與特征向量的性質(zhì)2一．特征值與特征向量的概念定義：設(shè)A是數(shù)域P上一個n階方陣，如果存在數(shù)域P中數(shù)和n維非零列向量,使得特征值的特征向量．則稱為矩陣A的特征值，稱為A的屬于在幾何中，在物理學(xué)、化學(xué)、生物學(xué)等的問題.于是我們抽象出下述概念.學(xué)科中，都會提出是否有向量滿足3如①:設(shè)因此，2是A的一個特征值，是A的屬于由于特征值2的一個特征向量．因此，-3是A的一個特征值，是A的屬于特征值-3的一個特征向量．又4①方陣A可以有幾個不同的特征值．②A的屬于同一個特征值的特征向量有無窮多個．說明：問題：如何判斷數(shù)域P上的n階矩陣是否有特征值和特征向量？若有的話，如何求A的全部特征值和特征向量？5是A的屬于特征值的特征向量分析：二．特征值與特征向量存在性的判斷與計算6定義：則稱為A的特征多項式．方程稱為A的特征方程．即7定理1設(shè)A是數(shù)域P上一個n階方陣，則是A的一個特征值是A的特征方程在數(shù)域P上的一個根．是A的屬于特征值的特征向量說明：(1)判斷A是否有特征值就是判斷A的特征方程在數(shù)域P上是否有根．(2)求A的屬于特征值的全部特征向量就是求齊次線性方程組的所有非零解。齊次線性方程組的一個非零解。8☆求A的全部特征值及特征向量的方法：2.求A的特征方程在數(shù)域P上的全部根的全部特征值；就是A則1.計算A的特征多項式3.對于A的每一個特征值,求出齊次線性方程組的一個基礎(chǔ)解系，則A的屬于的全部特征向量為不全為零9例1求如下矩陣的特征值和特征向量.(1)求特征值.

則A的全部特征值為解：A的特征方程為分別求出的非零解(2)求特征向量,即

10對于特征值解齊次線性方程組對系數(shù)矩陣做初等行變換：11一個基礎(chǔ)解系是則A的屬于的全部特征向量是(c1為不等于零任意常數(shù))一般解是12對于特征值解齊次線性方程組對系數(shù)矩陣做出等行變換：13一個基礎(chǔ)解系是(c2,

c3為不全為零任意常數(shù)).一般解是則A的屬于的全部特征向量是14例２求如下矩陣復(fù)數(shù)域上的特征值和特征向量.A的全部特征值為解：A的特征方程是實數(shù)域上的矩陣A沒有特征值,復(fù)數(shù)域上的矩陣15對于特征值求出齊次線性方程組基礎(chǔ)解系為則A的屬于的全部特征向量是(c1為不等于零任意常數(shù))16對于特征值求出齊次線性方程組基礎(chǔ)解系為則A的屬于的全部特征向量是(c2為不等于零任意常數(shù))問題：對角矩陣(上、下三角陣)的特征值是什么？答案：主對角線元素17（1）屬于矩陣A的每一個特征值的特征向量加上零向量構(gòu)成向量空間，稱為A的特征子空間。說明幾個概念和結(jié)論：（2）把特征值在特征多項式中的重數(shù)稱為的代數(shù)重數(shù)；把屬于的特征子空間的維數(shù)稱為的幾何重數(shù)。（3）對于每一個特征值而言，它的幾何重數(shù)總不大于它的代數(shù)重數(shù)。18三．特征值與特征向量的性質(zhì)特征值為，則19則⑴⑵☆n階方陣A的跡：n階方陣A的主對角元素之和稱為A的跡，記作

tr(A),即性質(zhì)1設(shè)的特征值為行列式的另一種計算法20性質(zhì)2復(fù)特征值.復(fù)數(shù)域上的任意n階方陣A必有n個全不為零.n階方陣A可逆A的n個特征值性質(zhì)3例3的一個特征值.證明：已知是A的一個特征值，則是kA∵是A的特征值,∴存在非零向量使得成立，21證：∵是A的特征值,∴存在非零向量使得成立，試證：是A-1的特征值.例4A是n階可逆矩陣，是A的特征值，(書P163—例5.1.4)22解：∵是A的特征值,練習(xí)：若A可逆,且是A的一個特征值,則答案:個特征值是（）23例5設(shè)是n階方陣A的特征值，證明是A2的特征值.證：是A2的特征值.易知，是的特征值。例6已知A的n個特征值是求3E-A的特征值.(書P163—例5.1.5)24解：∵矩陣3E-A的特征多項式∴3E-A的n個特征值是易知，A+3E的n個特征值是25練習(xí)設(shè)是n階方陣A的特征值，則有A2+4E必有特征值（）.性質(zhì)4從以上例子可以得出若是A的特征值,f(A)為A的多項式,則必是f(A)的特征值。A2+3A必有特征值（）.A2+3A+4E必有特征值（）.A5+3A3+2A+E必有特征值（）.26作業(yè)P1779(1)1027例7(冪等矩陣：若A2=A，則稱A為冪等矩陣)若A是冪等矩陣，證明A的特征值只能是0或1．證：28例8證明n階方陣A