廈門大學-高等數(shù)學試卷-高數(shù)期中考參考題-有答案

精選文檔-可編寫廈門大學《高等數(shù)學A》期中試卷2005年級理工專業(yè)考試日期2005.4

成績＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿號欄學＿＿＿＿＿息＿名姓信級年＿＿＿線＿＿生＿業(yè)專＿＿訂＿考＿＿＿系＿＿＿＿裝＿＿院學＿＿＿＿＿＿

精選文檔-可編寫一、選擇題：(每題4分，共20分)1.設(shè)有直線L1:x1y5z8與L2xy6,與L2的夾角:z則L11212y3,為。答案：C（A）6（B）(C)3（D）422.在曲線xt,yt2,zt3的所有切線中，與平面x2yz4平行的切線。答案：B（A）只有1條（B）只有2條(C)只有3條（D）不存在xy,(x,y)(0,0)3.二元函數(shù)f(x,y)x2y2在點（0，0）。答案：C0,(x,y)(0,0)（A）連續(xù)，偏導數(shù)存在（B）連續(xù)，偏導數(shù)不存在不連續(xù)，偏導數(shù)存在（D）不連續(xù)，偏導數(shù)不存在4.設(shè)有平面地區(qū)D{(x,y)|axa,xya}，D1{(x,y)|0xa,xya}，則(xycosxsiny)dxdy。答案：AD（A）2cosxsinydxdyD1（B）2xydxdyD1(C)4(xycosxsiny)dxdyD1（D）0．設(shè)有空間地區(qū)1{(x,y,z)|x2y2z2R2,z0},2{(x,y,z)|x2y2z2R2,x0,y0,z0},則有。答案：C（A）xdv4xdv12（B）ydv4ydv12(C)zdv4zdv12（D）xyzdv4xyzdv12精選文檔-可編寫二、填空題：(每題4分，共24分)2．設(shè)一平面經(jīng)過原點及點(6,3,2),且與平面4xy2z8垂直,則此平面方程為。答案:2x2y3z03．函數(shù)uln(x2y2z2)在點M(1,2,2)處的梯度為。答案:2{1,2,2}94．函數(shù)uln(xy2z2)在A(1,0,1)處沿點A指向點B(3,2,2)的方導游數(shù)為。答案:125．設(shè)地區(qū)為x2y2R2,則D(x2y2。答Da2b2)=案:4114R(a2b2)5.設(shè)是由曲面zx2y2與z1x2y2所圍成的地區(qū),則(xyz)dv=。答案:8三、計算：(每題8分，共24分)1.已貼心形線a(1cos)(a0,02).求（1）心形線的全長;(2)心形線所圍圖形的面積;(3)心形線繞極軸旋轉(zhuǎn)一周后生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.答案:(1)8a,(2)3a2,(3)8a3.23解:(1)利用對稱性,心形線的全長為L22( )2( )d22a2(1cos)d8.00a(2)利用對稱性,心形線所圍面積S212()d212(123a2.2acos)d0022(3)考慮在處,夾角為d,半徑為r的扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)后生成的旋轉(zhuǎn)體的體積dV,則由球扇形(球缺)體積計算公式有進而精選文檔-可編寫注:第(3)小題此次期中測試不做.＿＿欄＿＿＿＿＿＿＿息＿＿號學＿＿信＿＿＿＿名姓生級年＿＿考＿＿線＿＿業(yè)專＿＿訂＿＿＿＿系＿＿＿

精選文檔-可編寫xyx2y2(0,0)x2y2,(x,y)2．求函數(shù)f(x,y)在原點(0,0)的二階偏導數(shù).0,(x,y)(0,0)解:由偏導數(shù)的定義,得limf(x,0)f(0,0)00fx(0,0)xlimx0,x0x0limf(0,y)f(0,0)00fy(0,0)ylimy0,x0x0又由于當(x,y)(0,0)時,fx(x,y)y(x44x2y2y4),fy(x,y)x(x44x2y2y4).(x2y2)2(x2y2)2進而0fxx(0,0)limfx(x,0)fx(0,0)lim(x)40,xxx0x0fy(0,y)fy(0,0)0fyy(0,0)limlim(y)40.yyy00y.[(y)4]fxy(0,0)limfx(0,y)fx(0,0)lim(y)41,yyy0y0x.(x)4fyx(0,0)limfy(x,0)fy(0,0)lim(x)41.xxx0y02.求曲線x2y2z23x0,在點(1,1,1)處的切線及法平面方程.2x3y5z402x2yyx2zzx30,9解:對曲線方程兩邊對于x求導,得3yx5zx0.解得yx(1,1,1)=,216zx(1,1,1)=1,進而T(1,9,1),進而所求曲線在點(1,1,1)的切線方程為161616x1y1z1面方程為16(x1)9(y1)(z1)0,即1691,法平16x9yz240.5精選文檔-可編寫四、計算（每題6分，共24分）1．設(shè)f(x,y,z)xy2z3,此中x,y,z知足方程g(x,y,z)x2y2z23xyz0.求(1)fx(1,1,1),其中zz(x,y)是由方程g(x,y,z)0所定義;(2)fx(1,1,1),其中yy(x,z)是由方程g(x,y,z)0所定義.解:(1)對方程g(x,y,z)0兩邊對于x求偏導數(shù),并視zz(x,y),解得zx3yz2x,于是2z3xyfx2z3xy23z2zx2z33xy2z2(3yz2x)2.yy2x,進而fx(1,1,1)3xy(2)對方程g(x,y,z)0兩邊對于x求偏導數(shù),并視yy(x,z),解得可得yx3yz2x,于是2y3xzfx2z3x2yyx3zx2z32xyz3(3yz2x)1.yzy,進而fx(1,1,1)2y3xz2．設(shè)函數(shù)f(x,y)在點(1,2)處可微,且f(1,2)2,fx(1,2)3,fy(1,2)4,(x)f(x,f(x,2x)),求(1).解:由于(x)f1(x,f(x,2x))f2(x,f(x,2x))[f1(x,2x)2f2(x,2x)],從而(1)f1(1,f(1,2))f2(1,f(1,2))[f1(1,2)2f2(1,2)],利用條件f(1,2)2,fx(1,2)3,fy(1,2)4,得(1)f1(1,2)f2(1,2)[f1(1,2)2f2(1,2)]34(324)47.精選文檔-可編寫1y4y3．改變積分序次并求值:dyxsinydxdyxsinydx.0y1y2解:原式4．計算x2y2x2y2所圍閉地區(qū).D1dxdy,此中D為橢圓14949解:作廣義極坐標變換:x2rcos,y3rsin.則地區(qū)D變成D{(r,)|0r1,02},且變換的Jacobi隊列式為J(x,y)6r.進而1x2y2dxdy=6r1r2drd4.(r,)D49D精選文檔-可編寫五、計算題（每題4分，共8分）1.已知曲面x2y23z0,求經(jīng)過A(0,0,1)點且與直線xyz平行的切平面方程.212解:設(shè)所求切平面經(jīng)過曲面上的切點為(x0,y0,z0),則曲面在該點的法向量為n(2x0,2y0,3),進而切平面方程為:2x0(xx)2y(yy)3(zz)0,0000(1)將點A(0,0,1)代入方程(1),得2x022y023(1z0)0,(2)切平面與直線xyz平行,故有2x02(2y0)1(3)20,(3)212又切點(x0,y0,z0)在曲面上,故有x02y023z00,(4)聯(lián)立(2),(3),(4)求得切點為(2,1,1),代入(1),得所求切平面為4x2y3z3.2.在曲面2x23y22z22xz6上求與平面z0的距離最大的點的坐標.解:問題得實質(zhì)是求所給曲面所確立的隱函數(shù)zz(x,y)的絕對值|z|的最大值.法一:對曲面方程兩邊分別對于x,y求偏導數(shù),得zx2xz,zy3y,令zxzy0得2zx2zxz2x,y0,代入原方程得x1.于是駐點為(1,0,2),(1,0,2),再由Azxx(1,0,2)2,Bzxy(1,0,2)0,Czyy(1,0,2)1,ACB20,A0,知(1,0,2)是極大3值點,