第2章運動方程組的簡化

第2章運動方程組的簡化引言：為什么要簡化方程組？1）不同形式運動具有不同的特征和性質(zhì)，運動過程中起支配作用的物理因子（對應(yīng)于支配方程中的某一項）也可能各不相同。只有抓住了影響這種運動的“主要因素”（方程中的主要項），排除（略去）其他“次要因素”（方程中的次要項）的干擾，才能把握住特定運動的物理本質(zhì)。這就是說，必須有針對性地對方程進行適當簡化。

2）描述大氣運動的基本方程組是涉及許多復(fù)雜物理過程的非線性偏微分方程組。至少目前數(shù)學(xué)上還無法求得非線性方程的解析解，即便是可求得完整方程組的解析解，它也必定是形式非常復(fù)雜、物理意義模糊不清的解，對我們未必真有實用價值。因此，針對具體問題，略去方程中的次要（數(shù)量相對較小的）項，保留主要項，適當簡化方程，從簡單模型入手，既簡化了數(shù)學(xué)求解，也便于闡明解的物理本質(zhì)及其應(yīng)用。

§2.1尺度分析方法與大氣運動的分類一、尺度與尺度分析方法1、物理量的特征尺度（特征值）物理量的尺度指它的“一般大小”或“概量”。氣象上稱這種具有代表意義的值為物理量的“特征值”或“特征尺度”，又簡稱為“尺度”。例如，某地地面氣溫的變動范圍為273-313(oK)之間，可表為2.73×102－3.13×102(oK)。這個“10的冪次”即所謂的“數(shù)量級”，此例中，我們稱該地的地面氣溫的數(shù)量級為102（oK）。這是一具有代表意義的值，它代表了該地地面氣溫的“一般大小”或“概量”。

空氣運動的特征值符號：運動水平尺度－－L運動垂直尺度－－D系統(tǒng)時間尺度－－τ水平速度尺度－－U垂直速度尺度－－W氣壓尺度－－P溫度尺度－－T*密度尺度－－P

在大氣運動中，物理量發(fā)生變化所歷經(jīng)的特征水平距離、鉛直深度和時間間隔分別稱為水平尺度(L)、垂直尺度(D)和時間尺度(τ):對于波狀運動，可取水平尺度為其波長的1/4，即；對于圓形渦旋，則可取其半徑為水平尺度，即。運動的垂直尺度即運動系統(tǒng)在鉛直方向上伸展的高度，一般可取為對流層厚度。運動系統(tǒng)的時間尺度指系統(tǒng)的壽命或生命期，即它由發(fā)生到消亡所經(jīng)歷的時間。

2、尺度分析方法

1）尺度分析方法是指：根據(jù)運動各要素本身及其導(dǎo)數(shù)的特征尺度估計方程中各項的相對大小，并椐此簡化方程的方法。2）用尺度分析方法簡化方程的步驟可概括為：（1）適當選擇、確定場變量及其改變量的特征尺度；（2）分析、估計方程中各項的尺度和（3）比較方程中各項的相對大小，略去小項，保留大項，求得簡化方程。

根據(jù)經(jīng)驗事實，在傳統(tǒng)的尺度分析中，一般對場變量的改變量做如下假定：（1）經(jīng)過水平特征距離或垂直特征距離，速度場的改變量可達到其本身的大小。例如（以水平速度分量為例）：

（2）經(jīng)過垂直特征距離D，壓力、溫度和密度的改變量也可達到其本身的大小，但是，在水平特征距離L上，它們都達不到其本身的大小。即

其中，，分別為空氣壓力、溫度和密度的水平改變量的尺度。（3）在時間尺度上，各物理量的改變量均與它們經(jīng)過水平特征距離時的改變量有相同的大小。如：

二、大氣運動的分類

對各種不同運動的分析表明，大氣中各種運動的特征主要取決于運動的水平尺度，因此，常按照運動水平尺度的大小來進行分類：

（1）大尺度運動：L≥106米，包括影響大范圍天氣變化的主要天氣系統(tǒng)，如大氣長波、溫帶氣旋、反氣旋和副熱帶高壓等；（2）中尺度運動：L≈105米，如低渦、颮線中尺度對流系統(tǒng)等；（3）小尺度運動：L≤104米，如龍卷風、對流單體等

表2.1各類運動的特征尺度米米秒米/秒米/秒噸米-1秒-2oK噸米-3大尺度10410510110-210210010210110-310-5中尺度10510410510110-210210-110210010-310-5小尺度103-104104101100-10110210-110210010-310-5

有些物理量本身及其改變量的尺度可由實際觀測數(shù)據(jù)確定，如水平風速、氣壓和氣溫等；但是，另一些物理量如空氣密度和垂直運動速度等沒有直接觀測數(shù)據(jù)，其尺度則須由基本方程如狀態(tài)方程或連續(xù)方程導(dǎo)出。（以大尺度的密度的量級估算為例：P-1000hPA、T-300K、R-287J/(kg.K)）

§2.2運動方程的尺度分析和簡化一、運動方程的簡化

任一物理量都可表為它的尺度與一個接近于“1”無量綱量（用帶撇號“'”的量表示）的乘積：

于是，不計湍流和分子粘性的作用，局地直角坐標系中x方向的運動方程可表為

若把這些代表各項大小的作用力尺度單列出來，則原方程可表為：

10-410-410-510-310-310-6

據(jù)各項量級的大小可對方程上述式進行簡化。若只保留方程中量級最大的項，略其他各項，所得結(jié)果則稱為原方程的零級（階）簡化或零級（階）近似；如果除了最大項外，還保留比最大項小一個量級的項，略去其他項，則所得簡化結(jié)果稱為原方程得一級簡化或一級近似。其余照此類推。對于大尺度運動，X方向的運動方程的零級和一級近似分別為：零級近似一級近似

對運動方程的另外兩個分量方程可進行類似的尺度分析和簡化。針對中尺度和小尺度運動的尺度分析和簡化自然也可同樣進行。歸納起來，大尺度運動的零級簡化可表為：

一級簡化：除了最大項外，還保留比最大項小一個量級的項。大尺度運動的一級簡化方程為：中尺度運動的零級簡化可表為：

小尺度運動的零級近似為：

二、最低階近似下的大氣運動基本性質(zhì)

從大、中、小尺度大氣運動的最低階近似方程，可總結(jié)大氣運動的若干基本性質(zhì)：（1）準靜力平衡。靜力平衡關(guān)系

對各類運動均成立。表明在最低階近似下，靜力平衡近似是一個相當精確的近似。但應(yīng)注意，在水平尺度很?。ɡ缑祝┑那闆r下，靜力平衡近似可能不再是一個可靠的近似。（2）準定常。各類運動的零階近似中，含時間導(dǎo)數(shù)（）的項都不出現(xiàn)，這表明，大氣運動隨時間的演變是緩慢的，即具有準定常的特征。

但是，零階近似方程都是某些物理量之間的診斷關(guān)系，或稱為診斷方程，這些診斷方程不能用于預(yù)報問題。換言之，要處理預(yù)報問題，至少必須考慮原方程的一階或更高階近似。

（3）準水平。各類運動的零階簡化都不包括這種項。表明大氣運動基本上可視為準水平運動。但是，大氣的垂直運動對于天氣（如成云致雨）具有十分重要的意義。在中、小尺度運動中，有時垂直運動會很大，甚至可以達到與水平風速同樣的大小，以致于破壞靜力平衡。這時，我們不能忽略垂直運動的影響。（4）在不同尺度的運動中，零階近似下水平方向上力的平衡關(guān)系有顯著差異。在大尺度運動中，水平方向呈現(xiàn)氣壓梯度力與科氏力兩個力的平衡，稱為“地轉(zhuǎn)平衡”；對于中尺度運動，水平方向表現(xiàn)為氣壓梯度力、科氏力和慣性力（源于平流加速度）三個力之間的平衡，稱為“梯度風平衡”；在小尺度運動中，水平方向上變?yōu)闅鈮禾荻攘εc慣性力兩個力的平衡，稱為“旋轉(zhuǎn)風平衡”。

三、簡化的合理性

尺度分析方法是一種半經(jīng)驗半理論的方法。由此所得結(jié)果是否合理？還要看它1）是否符合基本數(shù)學(xué)和物理原則，2）是否符合觀測事實。1）例如，一個合理的簡化方程中至少應(yīng)有兩個大項，如果只保留一個大項，則會得出一個不可能平衡得矛盾結(jié)果。從物理上說，科氏力不會做功，因此，它不應(yīng)影響運動的能量平衡性質(zhì)，合理的簡化就必須保證“科氏力不做功”這一物理原則。比如，若忽略了水平運動方程中的項，則必須同時略去鉛直運動方程中的項，否則，將導(dǎo)致簡化模式中有虛假的能量制造，破壞能量守恒原理。

2）除了數(shù)學(xué)和物理上必須合理外，簡化的結(jié)果還必須符合觀測事實，經(jīng)得起實踐的檢驗。否則，如果簡化的結(jié)果不合理，應(yīng)修正有關(guān)的前提性假定，重新進行分析。

上述尺度分析結(jié)果表明，除了水平尺度很大（如米）或很?。ㄈ缑祝┣也话O地的情形，運動方程通?？山频乇頌椋?/p>

和代表由于空氣湍流運動引起的湍流摩擦力分量。

§2.3連續(xù)方程和熱力學(xué)方程的簡化一、連續(xù)方程的簡化

在局地直角坐標系中，連續(xù)方程及大尺度運動中各項的量級可表為：

10-1010-1010-910-810-9

對大、中尺度運動，連續(xù)方程的零級簡化都為：小尺度的零級簡化則可表為:各種尺度運動的一級簡化都與小尺度運動的零級簡化相同。

從連續(xù)方程的簡化結(jié)果可見大氣運動的另兩個基本特征：（1）零到一級簡化中都不包含密度的局地變化項，即密度是高度準定常的；（2）在最低階近似下，大、中尺度運動均具有準水平無輻散的特征。

在實際應(yīng)用中，考慮到相對于垂直運動的垂直變化而言，密度的垂直變化是比較小，于是各種尺度運動的一級簡化方程：可以進一步簡化為：

此即所謂的不可壓縮連續(xù)方程，或布西內(nèi)斯克（Boussinesq）近似下的連續(xù)方程。二、熱力學(xué)方程的簡化

在局地直角坐標系中，絕熱情況下的熱力學(xué)方程可表為

10-610-610-710-810-8

其中，為靜力穩(wěn)定度參數(shù)，和分別為空氣的鉛直層結(jié)減溫率和干絕熱減溫率。對于大尺度運動，取

零級簡化：

大尺度中尺度小尺度可見，在最低階近似下，大氣運動的熱力平衡有如下基本特征：（1）在大尺度運動中，溫度的局地變化等于水平溫度平流;（2）在中、小尺度運動中，水平溫度平流與垂直溫度變化相平衡，以致于溫度維持為準定常的?！?.4無量綱動力學(xué)參數(shù)與大氣運動的動力學(xué)分類

考慮無輻散情形的分子應(yīng)力，在任意直角坐標系O(x,y,z)中，x方向的運動方程分量式可表為：

引入無量綱變量，但是，由于現(xiàn)在坐標軸的指向是任意的，故不再有水平與垂直軸向之分，三各空間方向的距離尺度都用L表示，三個速度分量的尺度都記為U。上可改寫為

用平流慣性力（左邊第二項）的尺度U2/L除全式，則上式可改寫為：

上式中出現(xiàn)了五個無量綱參數(shù)，它們的定義與含義可分別說明如下：（1），稱為單時數(shù)。它代表了“平流慣性力”與“局地慣性力”之比。當，即運動的時間尺度（）與“平流時間”尺度（）相等時，平流慣性力與局地慣性力有相同的大小，運動是非定常且非線性的；當時，局地慣性力相對于平流慣性力為小量，可以略而不計，運動具有準定常的特征；當時，則相反，平流慣性力可略去，運動具有準線性的特征。2），稱為歐拉（Euler）數(shù)，表示氣壓梯度力與平流慣性力的比。大氣中歐拉數(shù)總是較大，即氣壓梯度力總是重要的。3），稱為弗勞德（Froude）數(shù)，它是平流慣性力與重力之比。大氣中，弗勞德數(shù)通常較小，即重力相對較重要，但它只在鉛直方向上起作用。

（4），稱為羅斯貝（Rossby）數(shù)，代表慣性力與科氏力之比。其大小主要取決于運動速度尺度U和空間尺度L的大小。（5），稱為雷諾（Reynolds）數(shù)，表示慣性力與分子粘性力之比。對于大尺度高速流，較大。除了貼近地面的薄層外，大氣中雷