微分和差分方程應(yīng)用模型

第五章微分和差分方程應(yīng)用模型背景

年1625183019301960197419871999人口(億)5102030405060世界人口增長概況中國人口增長概況

年19081933195319641982199019952000人口(億)3.04.76.07.210.311.312.013.0研究人口變化規(guī)律控制人口過快增長5.1

人口預(yù)測模型一、指數(shù)增長模型——馬爾薩斯提出(1798)常用的計算公式x(t)~時刻t的人口基本假設(shè)

:人口(相對)增長率r

是常數(shù)今年人口x0,年增長率rk年后人口

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：人口數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令人口數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：

故隨著時間增加，人口按指數(shù)規(guī)律無限增長幾何級數(shù)的增長模型檢驗

比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報有吻合之處，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。Malthus模型實際上只有在人口總數(shù)不太大時才合理。用它不能預(yù)測較長期的人口增長過程。一般地，生物群體總數(shù)增大時，各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當(dāng)與人口數(shù)量有關(guān)。二、阻滯增長模型(Logistic模型)人口增長到一定數(shù)量后，增長率下降的原因：資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用且阻滯作用隨人口數(shù)量增加而變大假設(shè)r~固有增長率(x很小時)xm~人口容量（資源、環(huán)境能容納的最大數(shù)量）r是x的減函數(shù)xmtx0x(t)~S形曲線,x增加先快后慢x0xm/2dx/dtx0xmxm/2對式子求x導(dǎo)數(shù)當(dāng)x=xm/2時，人口增速達(dá)到最大值Malthus模型與Logistic模型都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可。一、獨家耐用產(chǎn)品銷售模型

一種耐用新產(chǎn)品進入市場后，一般會經(jīng)過一個銷售量先增加，然后下降的過程，稱為產(chǎn)品的生命周期，簡記為PLC。PLC曲線可能有若干種情況，其中有一種為鐘型，建立數(shù)學(xué)模型分析此現(xiàn)象。5.2

產(chǎn)品銷售模型問題分析假設(shè)商品信息傳播有兩個途徑：消費者外部信息:廣告、親眼看到商品等。消費者內(nèi)部信息:部分人使用并有所評價,使周圍人了解到有關(guān)產(chǎn)品信息。

由于是耐用消費品，所以一般不會重復(fù)購買，故產(chǎn)品累計銷售量可以認(rèn)為是購買者人數(shù)。建模

在[t,t+Δt]中，Δn由兩部分組成，Δn1是由來自消費者外部的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量；Δn2

是由來自消費者內(nèi)部傳播的產(chǎn)品信息導(dǎo)致的購買者增量。⊿n1應(yīng)與未購買者人數(shù)成正比，即

設(shè)K為潛在的消費者總數(shù)，n(t)為t時刻購買該產(chǎn)品的人數(shù)。⊿n2應(yīng)與已購買者人數(shù)、未購買者人數(shù)之積成正比，即

（a，b>0為比例系數(shù)）

在[t,t+Δt]中，Δn總數(shù)為所以銷售量的數(shù)學(xué)模型為:其曲線即為PLC曲線，它的圖形為鐘型。二、兩家競爭的銷售模型假設(shè)1、兩家企業(yè)銷售同一種商品，而市場容量是有限的，設(shè)t時刻的市場容量為M(t).2、設(shè)N(t)

是t時刻市場的潛在銷量，分別是甲廠和乙廠的銷量。3、甲、乙兩廠銷量的變化率都與潛在的市場銷量N(t)成正比。建立模型將（1）、（2）兩式相除并兩端積分：將上式代入（3），再代入（1），得不妨假設(shè)市場容量函數(shù)為tt0M(t)解得其中都是常數(shù)。由此可見，甲、乙兩廠的銷售模型是同一類型。同理三、廣告與銷售速度模型問題：研究銷售速度在廣告投入變化下的規(guī)律

由經(jīng)濟規(guī)律猜想：開始是由于廣告宣傳的影響，銷售速度是增長的，但當(dāng)市場趨于飽和了，銷售速度應(yīng)緩慢下降趨于穩(wěn)定。假設(shè)1、設(shè)S(t)為t時刻的銷售速度，A(t)為t時刻的廣告水平。S(t）因A(t)的增加而增加，但當(dāng)市場趨于飽和時，設(shè)為時，S(t）開始下降.2、設(shè)M表示銷售速度的上限，是t時刻的銷售率，則是潛在的銷售速度上升率。3、隨著時間的推移，銷售速度會自然衰減，稱為衰減因子，是單位時間S(t)減少的量。建立模型即其中P稱為響應(yīng)因子，也就是影響系數(shù)。在上，隨著而增加，但同時也會受

的影響而減少。

由假設(shè)1，當(dāng)商品在市場上趨于飽和時，增加廣告投入無法阻止銷售速度下降，故廣告策略應(yīng)為：A為常數(shù)設(shè)在內(nèi)投入的總費用為a,則模型為：設(shè)初始條件為：

,求解模型得為使銷售速度是連續(xù)函數(shù)，取，得

差分的概念與性質(zhì)一般地，在連續(xù)變化時間的范圍內(nèi)，變量關(guān)于時間的變化率是用來刻畫的；對離散型的變量我們常用在規(guī)定時間區(qū)間上的差商來刻畫變量的變化率.如果取，則可以近似表示變量的變化率.由此給出差分的定義.補充差分方程基本知識設(shè)函數(shù)，稱改變量為函數(shù)的差分，也稱為函數(shù)的一階差分，記為，即

或一階差分的差分稱為二階差分，即類似地可定義三節(jié)差分，四階差分，等等.一般地，函數(shù)的階差分的差分稱為階差分，記為，即二階及二階以上的差分統(tǒng)稱為高階差分.例

設(shè)，求，，差分滿足以下性質(zhì)：（2）（3）（4）（1）解

例

求的差分.差分方程

針對要解決的目標(biāo)，引入系統(tǒng)或過程中的離散變量，根據(jù)實際背景的規(guī)律、性質(zhì)、平衡關(guān)系，建立離散變量所滿足的平衡關(guān)系等式，從而建立差分方程。通過求出和分析方程的解，分析得到方程解的特別性質(zhì)（平衡性、穩(wěn)定性、漸近性、振動性、周期性等），把握這個離散變量的變化過程的規(guī)律。差分方程的概念

含有未知函數(shù)差分的方程稱為差分方程.

滿足差分方程的函數(shù)稱為該差分方程的解.差分方程的一般形式：差分方程中含有未知函數(shù)下標(biāo)的最大值與最小值之差數(shù)稱為差分方程的階.例對于一階差分方程，將代入方程故是該方程的解，易見對任意的常數(shù)C,都是差分方程的解，稱其為通解。如果差分方程的解中含有相互獨立任意常數(shù)的個數(shù)恰好等于方程的階數(shù)，則稱這個解是差分方程的通解.若差分方程中所含未知函數(shù)及未知函數(shù)的各階差分均為一次，則稱該差分方程為線性差分方程.其一般形式為其特點是都是一次的.時差分方程稱為齊次的，當(dāng)否則稱為非齊次的.若均為常數(shù)，則稱方程為n階常系數(shù)線性差分方程：一階常系數(shù)差分方程的一般方程形式為其中為非零常數(shù)，為已知函數(shù).若，則方程變?yōu)榉Q為一階常系數(shù)線性齊次差分方程，相應(yīng)地，時方程一階常系數(shù)線性非齊次差分方程.為齊次方程的通解，為非齊次方程的一個為非齊次方程的通解.定理

設(shè)特解，則

定理

設(shè)n階常系數(shù)非齊次線性差分方程為則（1）的通解是（2）的通解與它自己本身的一個特解之和，即（1）的通解為對應(yīng)的齊次方程為其中是（1）的一個特解.是（2）的n個線性無關(guān)的解，其中為任意常數(shù)．（1）（2）可用如下的代數(shù)方法求其通解：

第一步先求解對應(yīng)的特征方程第二步根據(jù)特征根的不同情況，求齊次方程的通解情況1若特征方程有n個互不相同的實根則齊次方程的通解為(C1,…,Cn為任意常數(shù))

，情況2若λ是特征方程的k重根，通解中對應(yīng)于λ的項為為任意常數(shù)，i=1,…,k。情況3若特征方程有單重復(fù)根通解中對應(yīng)它們的項為為λ的模，為λ的幅角。

情況4

為特征方程的k重復(fù)根，則通解對應(yīng)于它們的項為為任意常數(shù)，i=1,2…,2k。

第三步

求非齊次方程的一個特解yt，若yt為非齊次方程

特解,則非齊次方程(1)的通解為在應(yīng)用差分方程研究問題時，一般不需要求出方程的通解，在給定初值后，通常可用計算機迭代求解，但常常需要討論解的穩(wěn)定性。求非齊次方程(1)的特解一般要用到常數(shù)變易法，計算較繁。對特殊形式的y(t)也可使用待定系數(shù)法。差分方程的平衡點及穩(wěn)定性一階常系數(shù)線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性一階線性常系數(shù)差分方程的平衡點由解得，為則平衡點是穩(wěn)定的否則是不穩(wěn)定的。二階常系數(shù)線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性考察二階齊次線性差分方程的平衡點穩(wěn)定性.其通解為當(dāng)且僅當(dāng)時，平衡點才是穩(wěn)定的.與一階線性差分方程一樣,二階線性非齊次差分方程的平衡點的穩(wěn)定性與齊次方程相同，即二階線性方程的上述結(jié)果可以推廣到n階線性方程,n階線性方程平衡點穩(wěn)定的條件是特征方程的根都滿足當(dāng)且僅當(dāng)時，平衡點才是穩(wěn)定的.一階非線性差分方程的平衡點及穩(wěn)定性

的平衡點y*是代數(shù)方程y=f(y)的根則是穩(wěn)定的，否則不穩(wěn)定。對于方程,是穩(wěn)定的;對于方程,是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定性結(jié)論問題供大于求現(xiàn)象

商品數(shù)量與價格的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定

當(dāng)不穩(wěn)定時政府能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應(yīng)求

描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩

5.5市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)模型模型分析gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格消費者的需求關(guān)系生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系減函數(shù)增函數(shù)供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點一旦xk=x0，則yk=y0,xk+1,xk+2,…x0

yk+1,yk+2,…y0

價格與產(chǎn)量趨于穩(wěn)定xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型x1在P0點附近用直線近似曲線P0穩(wěn)定P0不穩(wěn)定方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型一致~商品數(shù)量減少1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供應(yīng)的增量考察,的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋模型的推廣

生產(chǎn)者根據(jù)當(dāng)前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。提高生產(chǎn)者管理水平設(shè)供應(yīng)函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程x0為平衡點研究平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件齊次方程通解(c1,c2由初始條件確定)1,2~特征根，即方程的根平衡點穩(wěn)定，即k,xkx0的條件:平衡點穩(wěn)定條件比原來的條件放寬了x0不穩(wěn)定當(dāng)有兩個共軛復(fù)根經(jīng)濟不穩(wěn)定時政府的干預(yù)辦法1.使盡量小，極端情況=0

以行政手段控制價格不變2.使盡量小，極端情況=0靠經(jīng)濟實力控制數(shù)量不變xy0y0gfxy0x0gf需求曲線變?yōu)樗焦?yīng)曲線變?yōu)樨Q直

商業(yè)銀行的貸款還貸方式常見的主要有三種形式：1）、一次性還本付息法(只適用于一年期的貸款)；2）、等額本息還款法：每月以相等的額度平均償還貸款本息，直至期滿還清；由于每月的還款額固定，便于每個家庭根據(jù)自己的收入情況，確定還貸能力。3）、等額本金還款法（也稱等本不等息遞減還款法），是每月償還貸款本金相同，而利息隨本金的減少而逐月遞減，直至期滿還清。5.6貸款償還模型

消費者在進行貸款時，應(yīng)事先對各種貸款方案的還貸方式有所了解，根據(jù)將來的預(yù)期收入，選擇適當(dāng)?shù)馁J款方案，以減少風(fēng)險。本節(jié)建立還貸問題的數(shù)學(xué)模型。

變量假設(shè)

A0：貸款總額

n：貸款時間(月)R：貸款年利率

r：貸款月利率r=R/12

xt：第t月還款數(shù)

Ak：貸款后第k個月時欠款余數(shù)

模型建立

建模及求解

貸款第t月還款后，尚欠銀行的金額為At元,xt是t月的還款額。從第t-1月到t月，欠款本金為At-1,利息為rAt-1,

于是尚欠銀行的金額為這是一個一階差分方程，其中A0為貸款總額，n為貸款時間(月)。問題的數(shù)學(xué)模型為

容易求出該模型的顯式解為逐月還款額的本利和貸款本金本息和等額本息還款即每月還款額固定，直至還清貸款本息。設(shè)每月還款額為x,即(一)、等額本息還款方式

第t月的利息為設(shè)貸款人在T月還清全部本息，則，即由上式，給定還款期限，可計算每月的還款金額；或者給定每月的還款金額，計算還款期限。若銀行指定還款期限T，從上式解出x，則每月固定還款額為總利息為

或若貸款人每月還款x元，則還清貸款的期限為

例

如果向商業(yè)銀行貸款1萬元，即A0=10000元，貸款兩年，即n=24，根據(jù)最新商業(yè)貸款年利率R=6.48%，則求得月利率r=R/12=6.48%/12=5.4‰。將這些數(shù)據(jù)代入公式得到月還款額每月還款445.37元，兩年后還清。共計還款

445.37×24=10688.93元兩年的利息共計688.93元。由公式可以制定出商業(yè)貸款等額本息還款表。年份月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額本息總額總利息1126.485.40到期一次還本付息10648.0000648.00002246.485.40445.372110688.9310688.93103366.485.40306.399011030.36421030.36424486.485.40237.057311378.75031378.75035606.485.40195.567811734.06901734.06906726.845.70169.722812220.04222220.04227846.845.70150.145912612.25202612.25208966.845.70135.542313012.06183012.061891086.845.70124.253913419.41903419.4190101206.845.70115.285513834.26473834.2647111326.845.70108.004014256.53354256.5335121446.845.70101.987214686.15384686.1538131566.845.7096.942615123.04835123.0483141686.845.7092.661515567.13425567.1342151806.845.7088.990716018.32306018.3230商業(yè)貸款等額本息還款表年份月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額本息總額總利息161926.845.7085.815216476.52146476.5214172046.845.7083.047216941.63106941.6310182166.845.7080.618317413.54907413.5490192286.845.7078.474417892.16847892.1684202406.845.7076.572418377.37818377.3781212526.845.7074.877218869.06358869.0635222646.845.7073.360319367.10649367.1064232766.845.7071.997819871.38609871.3860242886.845.7070.770120381.778310381.7783253006.845.7069.660520898.157410898.1574263126.845.7068.655121420.394811420.3948273246.845.7067.741921948.360611948.3606283366.845.7066.910522481.923212481.9232293486.845.7066.152223020.949813020.9498303606.845.7065.459223565.306813565.3068如果貸款20萬，期限20年，則每月還款76.5724х20=1531.45元共計還款18377.3781х20=367547.56元，利息共計167547.56元。

等額本金還款方式是每月償還固定金額的本金和相應(yīng)的利息。由于本金在逐月定額減少，每月產(chǎn)生的利息也在逐步減少。因此，每月的實際還款額是變化的。

假設(shè)在T月末還清貸款。每月固定償還本金額為x,則每月固定償還本金額為第二月利息為

在第一月實際還款額為尚欠銀行金額尚欠銀行金額第二月末實際還款額為(二)、等額本金還款方式第三月利息為第三月實際還款額為尚欠銀行金額以此類推在第t月末，每月利息為尚欠銀行余額為每月實際還款額為可以看到，每月的利息和實際還款額是時間t的線性遞減函數(shù)。累積還款總額為總利息為或

例

假設(shè)某人貸款一萬元，期限兩年，并計劃按照等額本金還款方式進行還款，試建立一張還款計劃表。解已知商業(yè)貸款1-5年的利率為R=6.48%,貸款總額10000元,貸款時間n=24個月，根據(jù)計算公式編寫出每個月還貸的計算程序。商業(yè)貸款等額本金還款表(2年貸款1萬元)

月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額月還款本金月還款利息累積還款總額16.485.40470.6667416.666754.0000470.666726.485.40468.4167416.666751.7500939.083436.485.40466.1667416.666749.50001405.250146.485.40463.9167416.666747.25001869.166856.485.40461.6667416.666745.00002330.833566.845.70459.4167416.666742.75002790.250276.845.70454.1667416.666737.50003244.416986.845.70454.9167416.666738.25003699.333696.845.70452.6667416.666736.00004152.0003106.845.70450.4167416.666733.75.004602.417116.845.70448.1667416.666731.50005050.5837126.845.70445.9167416.666729.25005496.5004136.845.70443.6667416.666727.00005940.1671

兩年后該貸款人還款總額為10672元，所還利息為672元。月數(shù)年利率(%)月利率(‰)月還款額月還款本金月還款利息累積還款總額146.845.70441.4167416.666724.75006381.5838156.845.70439.1667416.666722.50006820.7505166.845.70436.916741