第9章動態(tài)電路的暫態(tài)過程

第9章動態(tài)電路的暫態(tài)過程學(xué)習(xí)導(dǎo)言宇宙萬物之中，靜是相對的，動是絕對的。一池靜水固然怡人，但知變化之道者，則不疾而速，不行而至。含有電容和電感等儲能元件的動態(tài)電路，不但有穩(wěn)態(tài)，而且還有瞬態(tài)(暫態(tài))。本章重點(diǎn)分析動態(tài)電路的暫態(tài)過程。知識點(diǎn)睛學(xué)習(xí)本章，要掌握的知識點(diǎn)是：●一階電路與微分方程

●

換路定律和時(shí)間常數(shù)

●零輸入響應(yīng)與零狀態(tài)響應(yīng)

●一階電路的三要素法

●實(shí)用知識

本章目錄9.1應(yīng)用示例9.2動態(tài)元件與換路定律9.3一階RC電路9.4一階RL電路9.5一階電路的三要素法9.1

應(yīng)用示例我們在前面各章討論的是電路在直流穩(wěn)態(tài)或正弦穩(wěn)態(tài)工作時(shí)的性能。實(shí)際上，電路中還發(fā)生著另一類暫態(tài)過程，電路在某種原因下從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)定狀態(tài)的中間過程稱為暫態(tài)過程或過渡過程。閃光燈電路在實(shí)際中應(yīng)用很廣。圖9-1是其簡單的原理圖。通過開關(guān)S的規(guī)律動作，電源US對電容不斷地充電和放電，從而完成閃光的功能。圖9-11、狀態(tài)變量：代表物體所處狀態(tài)的可變化量稱為狀態(tài)變量。如電感元件的iL及電容元件的uC。2、換路：引起電路工作狀態(tài)變化的各種因素。如：電路接通、斷開或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化等。

基本概念3、暫態(tài)：動態(tài)元件L的磁場能量WL=0.5LI2和C的電場能量WC=0.5CUC2，在電路發(fā)生換路時(shí)必定產(chǎn)生變化，由于這種變化持續(xù)的時(shí)間非常短暫，通常稱為“暫態(tài)”。

4、零輸入響應(yīng)：電路發(fā)生換路前，動態(tài)元件中已儲有原始能量。換路時(shí)，外部輸入激勵(lì)為零，僅在動態(tài)元件原始能量作用下引起的電路響應(yīng)。5、零狀態(tài)響應(yīng)：動態(tài)元件的原始儲能為零，僅在外部輸入激勵(lì)的作用下引起的電路響應(yīng)。6、全響應(yīng)：電路中既有外部激勵(lì)，動態(tài)元件的原始儲能也不為零，這種情況下?lián)Q路引起的電路響應(yīng)。9.2

動態(tài)元件與換路定律電容元件和電感元件不同于電阻元件，電容和電感為動態(tài)元件。電容上電流、電壓時(shí)域關(guān)系為電容在t時(shí)刻儲存的電場能為電容有以下兩個(gè)重要特點(diǎn)：（1）線性電容元件的電流與其端電壓的變化率成正比，電壓變化越快，電容上儲存的電荷量變化越快，電流越大。如果電壓恒定不變，即，則電流為零，此時(shí)電容相當(dāng)于開路。所以電容元件具有隔直流、通交流的特性。（9-1）（2）一般情況下，電容電流iC為有限值，也為有限值，在極小的時(shí)間間隔dt內(nèi)，duC也應(yīng)該為極小值，即電容電壓uC是隨時(shí)間連續(xù)漸變的，即不能躍變。如果uC發(fā)生躍變，則有iC就不是有限值了。所以，一般情況下電容電壓是不能躍變的，電容電壓的變化需要時(shí)間。對于t=0時(shí)刻來說，電容電壓的連續(xù)性可以表示為式中表示0時(shí)刻前的瞬間，表示0時(shí)刻后的瞬間。稱為初始狀態(tài)。對于電感元件，其電流、電壓的時(shí)域關(guān)系為電感在t時(shí)刻儲存的磁場能為電感有以下兩個(gè)重要特點(diǎn)：（1）線性電感元件的電壓與其流過電流的變化率成正比，電流變化越快，電壓越大。如果電流恒定不變，即，則電壓為零，此時(shí)電感相當(dāng)于短路。所以電感元件具有通直流、隔高頻交流的特性。（2）一般情況下，電感電壓uL為有限值，也為有限值，在極小的時(shí)間間隔dt內(nèi)，diL也應(yīng)該為極小值，即電感電流iL是隨時(shí)間連續(xù)漸變的，即不能躍變。如果iL發(fā)生躍變，則有uL就不是有限值了。所以，一般情況下電感電流是不能躍變的，電感電流的變化需要時(shí)間。對于t=0時(shí)刻來說，電感電流的連續(xù)性可以表示為式中表示0時(shí)刻前的瞬間，表示0時(shí)刻后的瞬間。稱為初始狀態(tài)。上面討論的概念具有一般性。從一種穩(wěn)定狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一種穩(wěn)定狀態(tài)往往不能躍變，而是需要一定的時(shí)間，這個(gè)物理過程稱為暫態(tài)過程或過渡過程。暫渡過程是能量不能躍變的具體體現(xiàn)。圖（9-3）為動態(tài)電路暫態(tài)過程的示意圖。t<0時(shí)是一種穩(wěn)態(tài)，時(shí)電路是另一種穩(wěn)態(tài)，中間是暫態(tài)過程。圖9-3動態(tài)電路的暫態(tài)過程由上可得換路定律（switchinglaw）如下：電容電壓和電感電流通常不能發(fā)生躍變，在t=0時(shí)刻發(fā)生換路時(shí)，必須滿足：即電容電壓和電感電流的起始值等于初始狀態(tài)。上式是換路定律的數(shù)學(xué)表示。求初始值的一般步驟1、由換路前電路（穩(wěn)定狀態(tài)）求uC(0-)和iL(0-)；2、由換路定律得uC(0+)和iL(0+)；3、畫出t=0+的等效電路圖：

uC(0+)=0時(shí)相當(dāng)短路；uC(0+)≠0時(shí)相當(dāng)電壓源；

iL(0+)=0時(shí)相當(dāng)開路；iL(0+)≠0時(shí)相當(dāng)電流源；電壓源或電流源的方向與原電路假定的電容電壓、電感電流的參考方向應(yīng)保持相同。4、由t=0+的等效電路圖進(jìn)而求出其它響應(yīng)的0+值。[例9-1]

如圖9-4（a）所示，已知C=0.1F，uC(0-)=0，若已知u

C(t)波形如圖9-4（b）所示，求電容上的電流iC(t)。(a)(b)(c)圖9-4例9-1圖解已知電容電壓求電流可以用式（9-1）其中各階段電壓的變化率由此可以得到電流隨時(shí)間變化的波形圖，如圖9-4（c）所示。[例9-2]

如圖9-6所示電路，開關(guān)打開前電路已達(dá)穩(wěn)定。設(shè)t=0時(shí)S斷開，求圖9-6例9-2圖解因S斷開前電路穩(wěn)定，這意味著電源給電容充電已經(jīng)完成，iC=0，電容相當(dāng)于開路。時(shí)電容兩端電壓應(yīng)為2Ω電阻上的分壓。即有由換路定律，應(yīng)有9.3一階電路的暫態(tài)分析學(xué)習(xí)目標(biāo)：理解一階電路暫態(tài)分析中響應(yīng)的規(guī)律；深刻理解時(shí)間常數(shù)τ的概念及物理意義；牢固掌握一階電路的三要素法。9.3.1一階電路的零輸入響應(yīng)1.RC電路的零輸入響應(yīng)

只含有一個(gè)動態(tài)元件（因變量）的一階微分方程描述的電路，稱為一階電路。R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2

左圖所示電路在換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)由位置1迅速投向位置2，之后由uC(0+)經(jīng)R引起的電路響應(yīng)稱為RC電路的零輸入響應(yīng)。

RC電路的零輸入響應(yīng)R＋1SiC(0+)uC(0+）－t=0＋－USC2

根據(jù)RC零輸入響應(yīng)電路可列寫出電路方程為：

這是一個(gè)一階的常系數(shù)齊次微分方程，對其求解可得：

式中的τ=RC稱為一階電路的時(shí)間常數(shù)。如果讓電路中的US不變而取幾組不同數(shù)值的R和C，觀察電路響應(yīng)的變化可發(fā)現(xiàn)：RC值越小，放電過程進(jìn)行得越快；RC值越大，放電過程進(jìn)行得越慢，這說明RC放電的快慢程度取決于時(shí)間常數(shù)τ—R和C的乘積。式中R用Ω，C用F時(shí)，時(shí)間常數(shù)τ的單位是秒[s]。如果我們讓上式中的時(shí)間t分別取1τ、2τ直至5τ，可得到如下表所示的電容電壓在各個(gè)時(shí)刻的數(shù)值：由表可知，經(jīng)歷一個(gè)τ的時(shí)間，電容電壓衰減到初始值的36.8%；經(jīng)因兩個(gè)τ的時(shí)間，電容電壓衰減到初始值的13.5%；經(jīng)歷3~5τ時(shí)間后，電容電壓的數(shù)值已經(jīng)微不足道，雖然理論上暫態(tài)過程時(shí)間為無窮，但在工程上一般認(rèn)為3~5τ暫態(tài)過程基本結(jié)束。RC過渡過程中的響應(yīng)規(guī)律曲線tiCuCiCuCUSiC(0+)0τ0.368USRC過渡過程響應(yīng)的波形圖告訴我們：它們都是按指數(shù)規(guī)律變化，其中電壓在橫軸上方，電流在橫軸下方，說明二者方向上非關(guān)聯(lián)，電容放電電流為：2.RL電路的零輸入響應(yīng)

左圖所示電路在換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)。t=0時(shí)開關(guān)閉合，之后電流源不起作用，暫態(tài)過程在R和L構(gòu)成的回路中進(jìn)行，僅由iL(0+)=I0在電路中引起的響應(yīng)稱為RL電路的零輸入響應(yīng)。R＋SISuL－t=0＋－uRLI0

根據(jù)RL零輸入響應(yīng)電路可列寫出方程為

若以iL為待求響應(yīng)，可得上式的解為：式中稱為RL一階電路的時(shí)間常數(shù)，其大小同樣反映了RL一階電路暫態(tài)過程進(jìn)行的快慢程度。電感元件兩端的電壓：電路中響應(yīng)的波形圖如左下圖所示：tiLuLuLiLI0RiL(0+)0τ0.368I00.632I0R顯然RL一階電路的零輸入響應(yīng)規(guī)律也是指數(shù)規(guī)律。1、一階電路的零輸入響應(yīng)都是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減到零的，這實(shí)際上反映了在沒有電源作用下，儲能元件的原始能量逐漸被電阻消耗掉的物理過程；一階電路的零輸入響應(yīng)分析歸納2、零輸入響應(yīng)取決于電路的原始能量和電路特性，對于一階電路來說，電路的特性是通過時(shí)間常數(shù)τ來體現(xiàn)的；3、原始能量增大A倍，則零輸入響應(yīng)將相應(yīng)增大A倍，這種原始能量與零輸入響應(yīng)的線性關(guān)系稱為零線性。9.3.2一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)1.、RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)一樣，都是按指數(shù)規(guī)律變化，顯然這個(gè)暫態(tài)過程是電容元件的充電過程：充電電流iC按指數(shù)規(guī)律衰減；電容電壓uC按指數(shù)規(guī)律增加，用曲線可描述為：圖示電路在換路前電容元件的原始能量為零，t=0時(shí)開關(guān)S閉合之后電容上電壓、電流的變化稱為RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)。R＋SiCuC－t=0＋－USCtiCuCiCuCUSiC(0+)00.632USτ可見在RC充電電路中，電容元件上的電壓與電流方向關(guān)聯(lián)，元件向電路吸取電能建立電場。RC零狀態(tài)響應(yīng)電路中的計(jì)算公式R＋SiCuC－t≥0＋－USC由RC零狀態(tài)響應(yīng)電路圖可得過渡過程結(jié)束時(shí)電容的極間電壓(即換路后的新穩(wěn)態(tài)值)則電容電壓的零狀態(tài)響應(yīng)為：電容支路電流的零狀態(tài)響應(yīng)：2.RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)圖示電路在換路前電感元件上的原始能量為零，t=0時(shí)開關(guān)S閉合。之后電感上電壓、電流的變化稱為RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)。R＋SiLuL－t=0＋－USL＋uR－RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)也是按指數(shù)規(guī)律變化。其中元件兩端的電壓uL按指數(shù)規(guī)律衰減(即只存在過渡過程中)；電感電流iL按指數(shù)規(guī)律上升；電阻電壓UR=iR按指數(shù)規(guī)律增長，用曲線可描述為：可見，在RL零狀態(tài)響應(yīng)電路中，電感元件是建立磁場的過程，因此其電壓、電流方向關(guān)聯(lián)。tiCuCiLuLUSUS/R00.368USτuR0.632US/RRL零狀態(tài)響應(yīng)電路中的計(jì)算公式

RL零狀態(tài)響應(yīng)電路換路結(jié)束時(shí)電感電流的新穩(wěn)態(tài)值：

因此電感電流的零狀態(tài)響應(yīng)為：電感元件自感電壓的零狀態(tài)響應(yīng)：St≥0R＋iLuL－＋－USL＋uR－1、一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)也是隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律變化的。其中電容電流和電感電壓均隨時(shí)間按指數(shù)規(guī)律衰減，因?yàn)樗鼈冎淮嬖谟谶^渡過程中；而電容電壓和電感電流則按指數(shù)規(guī)律增長，這實(shí)質(zhì)上反映了動態(tài)元件建立磁場或電場時(shí)吸收電能的物理過程；一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)分析歸納2、零狀態(tài)響應(yīng)取決于電路的獨(dú)立源和電路本身特性，也是通過時(shí)間常數(shù)τ來體現(xiàn)其特性的。RL一階電路的時(shí)間常數(shù)τ=L/R；3、在零狀態(tài)響應(yīng)公式中的(∞)符號，代表換路后的新穩(wěn)態(tài)值，根據(jù)電路的不同情況一般穩(wěn)態(tài)值也各不相同。9.3.3一階電路的全響應(yīng)

電路中既有外輸入激勵(lì)(即有獨(dú)立源的作用)，動態(tài)元件上又存在原始能量(換路前uC和iL不為零)，當(dāng)電路發(fā)生換路時(shí)，在外激勵(lì)和原始能量的共同作用下所引起的電路響應(yīng)稱為全響應(yīng)。上述兩電路為RC和RL典型的一階全響應(yīng)電路。R1＋SiCuC－（t=0）＋－USCR2R2＋SiLuL－(t=0)＋－USLR1RC和RL全響應(yīng)電路的解可表示為：全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)＋零狀態(tài)響應(yīng)例解圖示電路在換路前已達(dá)穩(wěn)態(tài)，且UC(0-)=12V，試求t≥0時(shí)的uC(t）和iC(t)。＋SiCuC－（t=0）＋－2KΩ1mF1KΩ9V根據(jù)換路定律可得電路的時(shí)間常數(shù)τ零輸入響應(yīng)uC(t)'：以電容電壓為例，讓其零輸入響應(yīng)用uC(t)'表示；uC(t)“表示零狀態(tài)響應(yīng)，則有：一階電路的全響應(yīng)全響應(yīng)uC(t)：電容電流的全響應(yīng)iC(t)：電容電壓的穩(wěn)態(tài)值：零狀態(tài)響應(yīng)uC(t)"：由全響應(yīng)結(jié)果可以看出，前面的常數(shù)6為穩(wěn)態(tài)分量，后一項(xiàng)按指數(shù)規(guī)律變化的為暫態(tài)分量，因此：全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量+暫態(tài)分量為什么iC只有暫態(tài)分量而沒有穩(wěn)態(tài)分量？

如用f(t)表示電路的響應(yīng)，f(0+)表示響應(yīng)的初始值，f(∞)表示響應(yīng)的穩(wěn)定值，τ表示電路的時(shí)間常數(shù)，則電路的全響應(yīng)可表示為：9.3.4一階電路暫態(tài)分析的三要素法上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應(yīng)的三要素公式。式中初始值f(0+)、穩(wěn)態(tài)值f(∞)和時(shí)間常數(shù)τ稱為一階電路的三要素，按三要素公式求解響應(yīng)的方法稱為三要素法。由于零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)是全響應(yīng)的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應(yīng)，具有普遍適用性。一階電路三要素法應(yīng)用舉例例解已知圖中U1=3V，U2=6V，R1=1k，R2=2k，C=3F，t<0時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t≥0時(shí)的uC(t)，并畫出變化曲線。R1＋SiCuC－（t=0）＋－U1CR2＋－U2先確定初始值uC(0+)：再確定穩(wěn)態(tài)值uC()：最后確定時(shí)間常數(shù)τ：電容電壓的變化曲線為：uC/VuC(t)00.632uC(t)τ2V4V2τ3τ4τ5τ顯然，應(yīng)用三要素法求解一階電路全響應(yīng)，只要求出其初始值、穩(wěn)態(tài)值及時(shí)間常數(shù)τ，代入三要素法公式中即可。一階電路三要素法應(yīng)用舉例應(yīng)用三要素法求解響應(yīng)的步驟1、確定初始值f(0+)初始值f(0+)是指任一響應(yīng)在換路后瞬間t=0+時(shí)的數(shù)值，與本章前面所講的初始值的確定方法完全一樣。先作t=0-電路。確定換路前電路的狀態(tài)uC(0-)或iL(0-),這個(gè)狀態(tài)即為t＜0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，因此，此時(shí)電路中電容C視為開路，電感L用短路線代替。再作t=0+等效電路。這是利用換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uC(0+)=U0，iL(0+)=I0，在此電路中C用電壓源U0代替，L用電流源I0代替;若uC(0+)=0或iL(0+)=0，則C用短路線代替，L視為開路。作t=0+等效電路后，即可按一般電阻性電路來求解其它響應(yīng)的初始值。2、確定穩(wěn)態(tài)值f(∞)作t=∞的等效電路，暫態(tài)過程結(jié)束后，電路進(jìn)入新的穩(wěn)態(tài)，用此時(shí)的電路確定響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值f(∞)。在此電路中，電容C視為開路，電感L視為短路，可按一般電阻性電路來求各響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值。3、確定時(shí)間常數(shù)τ

RC電路中，τ=RC；RL電路中，τ=L/R；其中R等于：將電路中所有獨(dú)立源置零后，從C或L兩端看進(jìn)去的等效電阻，(即戴維南等效電源中的R0)。參看課本P121頁例題8.5。9.4一階電路的階躍響應(yīng)學(xué)習(xí)目標(biāo)：9.4.1單位階躍函數(shù)ε(t)的波形如右圖示，它在(0-，0+)時(shí)域內(nèi)發(fā)生了單位階躍。單位階躍函數(shù)用ε(t)表示，其定義如下：理解單位階躍函數(shù)的概念及物理意義，明確單位階躍響應(yīng)的實(shí)質(zhì)，了解單位階躍響應(yīng)在電路分析中的作用。ε(t)=0t≤0-1t≥0+

ε(t)

01t注意：ε(t)在t=0處不連續(xù)，函數(shù)值由0躍變到1。單位階躍既可以表示電壓，也可以表示電流，通常在電路中用來表示開關(guān)在t=0時(shí)的動作。單位階躍ε(t)實(shí)質(zhì)上反映了電路在t=0時(shí)刻把一個(gè)零狀態(tài)電路與一個(gè)1V或1A的獨(dú)立源相接通的開關(guān)動作。＋－USS（t=0）零狀態(tài)電路＋－ε(t)零狀態(tài)電路ISS（t=0）零狀態(tài)電路ε(t)零狀態(tài)電路9.4.1單位階躍函數(shù)ε(t-t0)的波形如右圖示：如果階躍發(fā)生在t=t0時(shí)刻，則可認(rèn)為是ε(t)在時(shí)間上延遲了t0后得到的結(jié)果，此時(shí)的階躍稱為延時(shí)單位階躍，記作：ε(t-t0)=0t<t0

ε(t-t0)

01t注意：ε(t-t0)在t0處不連續(xù)，函數(shù)值由0躍變到1。1t>t0t09.4.1單位階躍函數(shù)下圖所示矩形脈沖波f(t)，根據(jù)階躍函數(shù)的原理，可以將其看作是由一個(gè)ε(t)與一個(gè)ε(t-t0)的合成波：

f(t)'

01tt1t2

f(t)

01tt0

ε(t)

01t－ε(t-t0)

0－1tt0即：f(t)=ε(t)－ε(t-t0)

ε(t-t1)

01tt1

－ε(t-t2)

0－1tt2即：f(t)'=ε(t-t1)－ε(t-t2)9.4.2單位階躍響應(yīng)已知u=5·1(t-2)V，uC(0+)=10V，求電路的階躍響應(yīng)i。當(dāng)激勵(lì)為單位階躍函數(shù)ε(t)時(shí)，電路的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位階躍響應(yīng)，簡稱階躍響應(yīng)，一般用S(t)表示。解例＋－uR=2ΩC=1FuC(0+)_＋i零狀態(tài)響應(yīng)分兩部分，先求uC(0+)單獨(dú)作用下的初始值：再求u單獨(dú)作用下的初始值：時(shí)間常數(shù)τ：應(yīng)用疊加定理求得響應(yīng)：思考練習(xí)1、單位階躍函數(shù)是如何定義的？其實(shí)質(zhì)是什么？它在電路分析中有什么作用？2、說說(-t)、(t+2