第五章二次型

第五章二次型一、基本概念和重要結(jié)果設(shè)A是n階實對稱矩陣,X是n維列向量,則f(X)=XTAX是一個實二次型,簡稱為二次型,本章研究二次型的基本性質(zhì)和標準形.特別是正定二次型的性質(zhì).同時也研究對稱矩陣、正定矩陣、反對稱矩陣的性質(zhì).

1.二次型f(X)=XTAX的矩陣是對稱陣,即AT=A.下面我們給出關(guān)于對稱矩陣的一些重要結(jié)果.

(1)設(shè)A和B是對稱矩陣,則A+B，A*是對稱矩陣.若A可逆,則A-1是對稱矩陣.更一般地,若f(x)是任一多項式,則f(A)是對稱矩陣.

(2)設(shè)A和B是對稱矩陣,則AB是對稱矩陣當且僅當AB=BA.

(3)實對稱矩陣的特征根全是實數(shù)且屬于它的不同特征根的特征向量正交.

(4)設(shè)A是實對稱矩陣,則存在正交矩陣T,使TTAT是對角形矩陣.

(5)設(shè)A是實對稱矩陣,則A=0當且僅當A2=0.

(6)設(shè)AT=A,k是奇數(shù),則存在矩陣B,使Bk=A.

2.反對陳矩陣

(1)若A=-AT,則稱矩陣A為反對稱矩陣.設(shè)A和B是反對稱矩陣,則A+B是反對稱矩陣.若A可逆,則A-1是反對稱矩陣.

(2)設(shè)A和B是反對稱矩陣,則AB是反對稱矩陣當且僅當AB=-BA.

(3)設(shè)A=-AT且A是奇數(shù)階矩陣,則|A|=0.

(4)實反對稱矩陣的特征根是零或純虛數(shù).

(5)實反對稱矩陣相似于一個準對角塊,其主對角線上的塊或者為一階零塊，或者為形如的二階塊.

3.正定矩陣與正定二次型設(shè)A是n階實對稱矩陣.若對任意的n維實向量X≠0有XTAX>0,則稱A是正定矩陣,并稱二次型f(X)=XTAX為正定二次型.

(1)設(shè)A和B是正定矩陣,則A+B,A-1是正定矩陣.

(2)設(shè)A和B是正定矩陣,則當AB=BA時,AB也是正定矩陣.

(3)下列說法等價：

(a)f(X)=XTAX是正定二次型.

(b)A是正定矩陣.

(c)A合同于單位矩陣.

(d)存在非奇異矩陣Q,使A=QTQ.

(e)存在上三角形矩陣P,使A=PTP,其中P是非奇異矩陣.

(f)A的每個特征根都是正數(shù).

(g)A的每個順序主子式都是正數(shù).

(h)A的每個主子式都是正數(shù).

(4)設(shè)A是正定矩陣,則A的行列式大于零且不大于A的主對角線元素之積.

(5)設(shè)A是非奇異實對稱矩陣,則A2是正定矩陣.

4.二次型的標準形任一二次型f(X)=XTAX可通過非奇異的線性變換X=CY變?yōu)槲ㄒ坏臉藴市蝭12+y22+…+yp2-yp+12-…-yr2,其中r為二次型的秩(等于矩陣A的秩),p和q=r-p分別為f的正,負慣性指數(shù),而p-q為它的符號差.

5.線性流形設(shè)L是向量空間R的子空間,把同一向量X0加到向量空間R的子空間L的所有向量上,所得到的R中的向量集P,稱為R的線性流形.記為P=X0+L.L的維數(shù)稱為P的維數(shù).

2.通常用下面的方法將二次型化為標準形：

(1)用配方法.(2)用初等變換法.(3)先求出二次型矩陣的特征根和特征向量,將其化為平方和的形式,然后再化為標準形.二、基本方法

1.將二次型的問題與對稱矩陣的問題互相轉(zhuǎn)化是經(jīng)常采用的一種方法。

3.A,B是實對稱矩陣,且A正定,則存在可逆矩陣P,使PTAP=E,PTBP為對角矩陣,這一結(jié)論是非常有用的。(1)填空題

1.(大連理工大學,2004年)已知n階實對稱矩陣A的特征值中有m個0,t個正實數(shù),則A的秩、正慣性指數(shù)、負慣性指數(shù)及符號差分別為

.解答:答案是“n-m,t,n-m-t,2t+m-n”.

2.(廈門大學,2007年)復(fù)數(shù)域C上n階對稱矩陣按合同關(guān)系分類,共有

類.解答:答案是“n+1”.

3.(大連理工大學,2005年)設(shè)a,b均為實數(shù),二次型f(x1,x2,…,xn)=(ax1+bx2)2+(ax2+bx3)2+…+(axn-1+bxn)2+(axn+bx1)2滿足條件

時,f為正定二次型.解答:答案是“an≠(-b)n”.三、例題

4.(同濟大學,2002年)設(shè)f=x12+x22+2x32+2tx1x2-2x1x3.則當

>t>

時f正定.

5.(中南大學,2004年)設(shè)n階實對稱矩陣A的特征值分別為1,2,3,…,n,則當t滿足

時,tI-A為正定矩陣.解答:答案是“t>n”.

6.(南京大學,2002年)當實數(shù)t滿足條件

時,二次型x12+2x22+tx32+4tx1x3是正定二次型.解答:答案是“0<t<1/2”.解答:答案是“

”.三、例題考點1：二次型與其標準形及規(guī)范形,矩陣的合同例5.1.1(上海交通大學,2005年)假設(shè)f(x1,x2,…,xn)=XTAX是一個二次型.若有n維實向量Xi,i=1,2使得X1TAX1>0,X2TAX2<0,試證明:存在n維非零實向量X0使得X0TAX0=0.其中C可逆.利用反證法.證明:由題知A為對稱陣,對于A有唯一的組合規(guī)范形,那么通過組合變換得考點點撥:主要對二次型的標準形和規(guī)范形的靈活運用及合同矩陣之間的關(guān)系和性質(zhì)的考查.其中化二次型為標準形和規(guī)范形的題目較多(本節(jié)不舉例)。這顯然與題目條件X1TAX1>0相矛盾,于是有p≠0.同理,若q=0,將會導(dǎo)致與X2TAX2<0相矛盾,那么也有q≠0.于是我們可以取Y0T=(1,0,…,0,1(p+1),…,0),并令X0=C-1Y0≠0.顯然有,X0TAX0=0.□若p=0,那么對于任意的X,令Y=CX,都有:例5.1.2(北京航空航天大學，2003年)設(shè)q(x1,x2,…,xn)是數(shù)域F上的一個二次型,A是這個二次型的矩陣.是A的一個特征根,證明存在不全為零的數(shù)c1,c2,…,cn∈F使q(c1,c2,…,cn)=(c12+c22+…+cn2).

(由特征向量的求解過程知向量x的每個分量都是屬于數(shù)域F的.)證明:不防設(shè)對應(yīng)于矩陣A的特征值的一個特征向量為:x=(c1,c2,…,cn)T.那么有:Ax=x.將上述等式兩邊同時左乘xT,有q(x)=xTAx=xTx.將x=(c1,c2,…,cn)T

代入,即有:

q(c1,c2,…,cn)=(c12+c22+…+cn2).□證明:f的秩等于矩陣例5.1.3(中南大學,2004年)設(shè)實二次型的秩.證明:作變換Y=(y1,y2,…,ys)T=A(x1,x2,…,xn)T=AX，并令r(A)=r,那么必存在可逆矩陣P,Q使得:于是有:注意到左乘右乘可逆矩陣都不改變矩陣的秩,那么要證明結(jié)論,只要證明即可.不妨設(shè)矩陣,其中P1是r階矩陣,由P可逆知PTP必是個正定矩陣,那么它的r階順序主子式|P1|必大于零,于是有r(P1)=r,那么有:于是有:成立.□解:(1)令二次型f=XTAX,由于r(A)<n,不妨設(shè)二次型的正慣性指數(shù)為r,那么它的負慣性指數(shù)必為r(A)-r.由二次型總可以通過相合變換化為規(guī)范形,則存在可逆矩陣P,使得：例5.1.4(重慶大學,2003年)設(shè)A為n階實對稱方陣.(1)若r(A)<n,則存在實(非負)整數(shù)r和可逆矩陣P使得:(2)記S={x∈Rn|xTAx=0},給出S為Rn的子空間的充分必要條件,并證明你的結(jié)論.

(2)若x∈S,那么kx∈S,下面考慮S對加法封閉應(yīng)滿足的條件.若x,y∈S,那么(x+y)TA(x+y)=xTAx+yTAy+xTAy+yTAx=xTAy+yTAx=0.注意到y(tǒng)TAx是一個數(shù),它的轉(zhuǎn)置等于它自己.可得xTAy=-xTATy,任意x,y∈Rn,于是有A=-AT.反之,若A=-AT,那么顯然有xTAy=-xTATy,任意x,y∈Rn,于是xTAy+xTATy=0.則有(x+y)TA(x+y)=0.即S是一個子空間.則S是一個子空間的充要條件是A是一個反對稱矩陣.□例5.1.5(南開大學,2005年)設(shè)f(x1,x2,…,xn)=XTAX和g(y1,y2,…,yn)=YTBY均為實數(shù)域上n元二次型,且存在實數(shù)域上n階方陣C和D使得A=DTBD,B=CTAC.證明:f(x1,x2,…,xn)和g(y1,y2,…,yn)具有相同的規(guī)范形.分析:需要注意具有相同的規(guī)范形必須滿足什么樣的條件.證明:由A=DTBD知:r(A)=r(DTBD)≤r(B).同理由B=CTAC知:r(B)=r(CTAC)≤r(A).于是有r(A)=r(B).若f(X)>0,那么XTAX>0,將A=DTBD代入有:(DX)TB(DX)>0.若令Y=DX,則有g(shù)(Y)>0.同理若g(Y)>0,總可以找到X,使得f(X)>0.利用反證法易知,若A和B沒有相同的正慣性指數(shù),那么必然可由A,B的規(guī)范形得到與上面兩個條件之一相矛盾的結(jié)果,于是A,B具有相同的正慣性指數(shù).由于A,B是同階矩陣,它們有相同的秩,相同的正慣性指數(shù),可得它們也具有相同的負慣性指數(shù),于是f,g有相同的規(guī)范形.□證明:A有n個正的特征值,m個負的特征值.分析:先利用相合變換將矩陣化為對角塊的形式然后再考查其對角塊即可由于B是正定矩陣,那么顯然有B-1也為正定矩陣,那么考查m階矩陣D=CTB-1C.例5.1.6(華東師范大學,2002年)設(shè)B是n×n正定矩陣,C是秩為m的n×m實矩陣,n>m,令證明:利用相合變換易將矩陣A化為如下形式對于x∈Rm,令y=Cx,有xTDx=yTB-1y≥0.若xTDx=0,也即yTB-1y=0.那么由B-1是正定陣,有y=Cx=0.注意到C是列滿秩的,那么由矩陣C的列向量的線性無關(guān)性可得x=0.由此可得D是m階正定矩陣.注意到相合變換雖然會改變矩陣的特征值,但是不改變矩陣特征值的正負性,顯然A有n個正的特征值,m個負的特征值.□例5.1.7(中國科學院,2007年)設(shè)二次型f(x)=x12+x22+x32+2ax1x2+2x1x3+4bx2x3通過正交變換化為標準形f=y22+2y32,求參數(shù)a,b及所用的正交變換.(此處僅給出簡要的過程及答案)解:顯然二次型的矩陣為注意到A的特征值為0,1,2,那么顯然有:|A|=0,|A-I|=0,|A-2I|=0.易解得:a=b=0.正交變換即為:考點2：正定二次型、正定、半正定、負定矩陣考點點撥:主要對正定矩陣定義和性質(zhì)的靈活運用,以及對如何判定某個矩陣是否是正定、半正定、負定矩陣的考查.注:對于正定矩陣有關(guān)的題目,下面的結(jié)論往往會有用:

(1)對于正定矩陣A,存在正定矩陣C,使得A=C2.實際上,對于任何正整數(shù)k,都有正定矩陣C,使得A=Ck.這個結(jié)論的證明如下:

(2)設(shè)A為n階正定矩陣,B是同階實對稱陣,則必存在可逆矩陣C,使得:

CTAC=In,CTBC=其中(i=1,2,…,n)全是A-1B的特征值.令C=PQ,則C滿足題目的結(jié)論的形式,又因為A是正定陣,由(1)知存在可逆矩陣P,使得PTAP=In,又矩陣PTBP也是實對稱矩陣,故有正交矩陣Q,使得QT(PTBP)Q=因此是多項式的根,因為A可逆,所以也是的根.

(2)可利用反證法例5.2.1(哈爾濱工業(yè)大學,2005年)設(shè)A為n階反對稱實矩陣,證明:(1)對任何n維非零列向量X,均有XT(I+A)X>0.(2)I+A,I-A可逆.解.(1)注意到對于任何非零的n維向量X都有:XTAX=(XTAX)T=XTATX=-XTAX,即可得:XTAX=0.于是對任何非零的n維向量X,均有

XT(I+A)X=XTIX+XTAX=XTX=>0.若I+A有特征值為0,那么不妨設(shè)它對應(yīng)于0的特征向量為X(注意到特征向量必為非零向量),那么顯然有(I+A)X=0·X=0.等式兩邊同時左乘XT,有XT(I+A)X=0,這就與(1)中的結(jié)論相矛盾.于是I+A沒有特征值為0,即I+A可逆.同理,注意到-A也是一個反對稱矩陣,將上述過程中的A全部用-A代替,可得I-A也可逆.□證明:注意到相合變換不改變矩陣的正、負慣性指數(shù).例5.2.2(天津大學,2002年)設(shè)A,B,C∈Rn×n,若D是正定矩陣,證明:C-BA-1BT也是正定矩陣.令:有:證明:(1)必要性若A是正定陣,那么對任何正定陣B,存在正定陣C,使得B=C2.那么矩陣:的正慣性指數(shù)為2n,即矩陣為正定陣.即矩陣的主子式都大于零,則C-BA-1BT為正定陣.□例5.2.3(東南大學,2005年)設(shè)A為n階可逆的實對稱矩陣,證明:A是正定的當且僅當對所有的n階正定矩陣B,AB的跡tr(AB)>0.于是有AB=AC2=C-1(CACT)C,于是

tr(AB)=tr(C-1(CACT)C)=tr(CACT).注意到A是正定陣,則CACT也為正定陣,于是CACT主對角線全為正數(shù),顯然有tr(CACT)>0.

(2)充分性若A

不是正定陣,那么由A是可逆的實對稱矩陣可知A必有負的特征值,不妨設(shè)A

的特征值為:于是存在正交陣Q,使得:作矩陣:顯然B的特征值全為正,且它是一個正定陣.有即若A不是正定陣,總可以找到一個正定陣B,使得tr(AB)<0,這將與題目的條件對任何正定矩陣B都有tr(AB)>0相矛盾.□例5.2.4(中南大學,2004年)設(shè)A,B分別為n階正定陣和半正定矩陣,證明:|A|+|B|≤|A+B|,且僅當B=0時取等號.證明:由A為正定陣,B為對稱陣,那么存