第5章校正與控制器設(shè)計(jì)

第5章校正與控制器設(shè)計(jì)在學(xué)習(xí)了系統(tǒng)分析——系統(tǒng)性能要求及其與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的關(guān)系之后,現(xiàn)在進(jìn)入系統(tǒng)設(shè)計(jì)——確定一個(gè)滿足給定性能要求的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù),它是系統(tǒng)分析的逆內(nèi)容。在控制對(duì)象一定的情況下,系統(tǒng)設(shè)計(jì)實(shí)際上就是確定對(duì)象的校正裝置或控制器的形式及參數(shù)。本章重點(diǎn)介紹校正原理、常用校正網(wǎng)絡(luò)、典型調(diào)節(jié)器以及狀態(tài)反饋控制器的參數(shù)設(shè)計(jì)。15.1概述從前面有關(guān)章節(jié)看到,單靠改變系統(tǒng)某個(gè)或幾個(gè)可調(diào)參數(shù)很難獲得綜合改善系統(tǒng)穩(wěn)、準(zhǔn)、快及濾波性能的滿意結(jié)果,它總要犧牲或降低某些性能才能提高另一些性能。因此,校正成為綜合改善系統(tǒng)性能的必要方法。從前面4.2.5、4.4.3和4.4.5節(jié)所接觸的一些校正可見(jiàn),校正是一種通過(guò)加入校正裝置(控制器)來(lái)改變系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及參數(shù)的方法,其機(jī)理從時(shí)域看是改變系統(tǒng)的零、極點(diǎn)分布,從頻域看是改變系統(tǒng)的閉環(huán)或開(kāi)環(huán)頻率特性。2串聯(lián)校正是在系統(tǒng)的前向通道中能量最小的前端串入有源或無(wú)源校正網(wǎng)絡(luò)Gc(s),如圖5.2.1所示。系統(tǒng)傳遞函數(shù)在校正前為5.2串聯(lián)校正與設(shè)計(jì)345.2.1超前校正超前校正的電路圖如圖5.2.2(a)所示,圖中U1和U2分別為輸入和輸出信號(hào)。若設(shè)輸入圖5.2.2串聯(lián)超前校正端信號(hào)源內(nèi)阻為零,輸出端的負(fù)載阻抗為無(wú)窮大,則超前校正裝置的傳遞函數(shù)為

567例5.1設(shè)單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為若要求系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)Kv=20,相角量γ≥50°,試設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置。解首先調(diào)整系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益K,以滿足系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)態(tài)誤差的要求。對(duì)I型系統(tǒng)K=Kv=20繪出K=20時(shí)未校正系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Bode圖如圖5.2.3細(xì)點(diǎn)線所示,低頻漸近線斜率-20dB/dec,在ω=1/0.5=2處變?yōu)?40。圖中穿越頻率為ωc=6.2。相角裕量為891)確定補(bǔ)償?shù)淖畲笙辔怀敖莔

校正裝置至少應(yīng)提供的超前相位m=(50°-18°)+5°=37°。其中所加的5°是附加補(bǔ)償角,用來(lái)補(bǔ)償由于超前校正使穿越頻率向右移動(dòng),造成系統(tǒng)相位滯后量的微小增大,以免補(bǔ)償?shù)南辔辉Ａ科　?/p>

2)確定超前校正裝置系數(shù)α

103)確定補(bǔ)償幅值及ωm將α代入式(5.2.8)得補(bǔ)償幅值10lgα=10lg4=6dB。在系統(tǒng)原有幅頻特性上找出幅值為-6dB對(duì)應(yīng)的頻率,約為ω=8.4。為充分利用超前網(wǎng)絡(luò)的最大相位超前角m,這個(gè)頻率應(yīng)當(dāng)作為新的穿越頻率,即ω′c=ωm=8.4。這樣,對(duì)應(yīng)于ωm處校正裝置所產(chǎn)生的幅值增量6dB正好補(bǔ)償穿越頻率從ωc=6.2右移到ω′c=8.4的幅值衰減量-6dB。由此據(jù)式(5.2.6)可以求得

114)按式(5.2.4)寫(xiě)出校正裝置的傳遞函數(shù)

繪出校正裝置的Bode圖如圖5.2.3點(diǎn)畫(huà)線所示。5)將Go(jω)與Gc(jω)的Bode圖疊加,即得到校正后系統(tǒng)開(kāi)環(huán)Gc(jω)Go(jω)的Bode圖,如圖5.2.3粗實(shí)線所示。可見(jiàn)在保證Kv=20的條件下,系統(tǒng)以ωc=ωm=8.4為穿越頻率,其相位裕量γ≥50°,既滿足穩(wěn)態(tài)精度要求又滿足穩(wěn)定性要求。1213圖5.2.4是校正系統(tǒng)方塊圖。這里指出:

①超前校正的α值一般不超過(guò)143,對(duì)應(yīng)于最大補(bǔ)償相位角為60°。如α過(guò)大,將使系統(tǒng)響應(yīng)的信噪比變差。在要求補(bǔ)償相位角大于60°時(shí)最好采用PD校正。②超前校正對(duì)中頻段補(bǔ)償?shù)男甭蕿?0dB/dec,如果原系統(tǒng)的中頻段斜率比-40dB/dec更陡,在ωc附近相角滯后迅速時(shí),超前校正作用很有限。③超前校正具有微分環(huán)節(jié)特性,若原系統(tǒng)帶寬大或要求抗干擾能力較高時(shí)則不宜采用。

145.2.2滯后校正滯后校正裝置的電路圖、對(duì)數(shù)頻率特性分別示于圖5.2.6(a)、(b)中。滯后校正裝置的傳遞函數(shù)為151617例5.2單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為設(shè)計(jì)串聯(lián)校正裝置使系統(tǒng)滿足γ≥50°,Kg=10dB,esv=0.1的要求。1)為了使滯后校正網(wǎng)絡(luò)的相位滯后不影響系統(tǒng)穩(wěn)定性,校正網(wǎng)絡(luò)的轉(zhuǎn)折頻率1/βTi應(yīng)遠(yuǎn)離穿越頻率(一般離ω′c為10倍頻程,即1/βTi=0.1×ω′c)。因此,滯后校正作用是發(fā)生在低頻段上的?，F(xiàn)取1/βTi=0.1ωc=0.1,則可得βTi=10。182)為使ω′c=1,由圖查出未校正系統(tǒng)的幅頻特性在ω′c下降20dB,這20dB的下降應(yīng)是滯后網(wǎng)絡(luò)的幅值衰減量,即20lgβ=-20dB,則β=0.1,Ti=10/β=100。于是,滯后網(wǎng)絡(luò)傳遞的函數(shù)是3)圖5.2.8是附加放大器的滯后校正系統(tǒng)的方塊圖,校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)Bode圖如圖5.2.7中粗實(shí)線所示,既增大了開(kāi)環(huán)增益,又保證了穩(wěn)定性要求,Kg=11.4dB,γ=54.7°。1920215.2.3滯后超前校正單獨(dú)采用串聯(lián)超前校正或串聯(lián)滯后校正,都只能改善瞬態(tài)或穩(wěn)態(tài)兩種性能中的一種,如果同時(shí)要求較大的增益、穩(wěn)定性裕量及帶寬,則需要將兩者結(jié)合起來(lái),即采用串聯(lián)滯后超前校正。一種辦法是將單個(gè)超前校正網(wǎng)絡(luò)與單個(gè)滯后校正網(wǎng)絡(luò)串聯(lián)起來(lái)(中間加隔離放大器),另一種更實(shí)用的辦法是將它們組合成一個(gè)網(wǎng)絡(luò),稱為滯后超前校正網(wǎng)絡(luò)。滯后超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)為2223例5.3單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為要求速度誤差系數(shù)Kv=180,相角裕量γ=45°,穿越頻率ωc=3.5,試設(shè)計(jì)校正裝置。解首先用教學(xué)軟件畫(huà)出Kv=180開(kāi)環(huán)Bode圖如圖5.2.11所示。按漸近線畫(huà)出Kv=180的開(kāi)環(huán)Bode圖,如圖5.2.12中細(xì)點(diǎn)虛線,其穿越斜率為-60dB/dec,系統(tǒng)必然不穩(wěn)定?？芍?穿越頻率ωc≈13,相位裕量γ=-55°,增益裕量Kg=-27dB,必須對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行校正。24252627無(wú)源校正網(wǎng)絡(luò)的缺點(diǎn)是當(dāng)它與其他環(huán)節(jié)連接時(shí),存在著級(jí)與級(jí)之間的負(fù)載效應(yīng),而且對(duì)于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的計(jì)算和調(diào)整也不大方便。因此在工業(yè)控制中常用有源校正裝置,這種校正裝置大多數(shù)是由線性集成運(yùn)算放大器與阻容電路組合來(lái)實(shí)現(xiàn)的,被稱為調(diào)節(jié)器或控制器。

5.3調(diào)節(jié)器設(shè)計(jì)2829305.3.1PI(比例積分)調(diào)節(jié)器PI調(diào)節(jié)利用P調(diào)節(jié)快速抵消干擾影響,同時(shí)利用I調(diào)節(jié)消除殘差,具有比例和積分雙重調(diào)節(jié)功能,其輸出u(t)與輸入e(t)信號(hào)滿足下式關(guān)系:313233345.3.2PD(比例微分)調(diào)節(jié)器PD調(diào)節(jié)器具有比例微分控制規(guī)律。其輸出u(t)與輸入e(t)信號(hào)滿足下式的關(guān)系:3536375.3.3PID(比例積分微分)調(diào)節(jié)器PID調(diào)節(jié)器具有比例、積分、微分三種控制規(guī)律各自的特點(diǎn),其輸出u(t)與輸入e(t)信號(hào)之間的關(guān)系滿足下式:3839404142前面4.4.5節(jié)介紹的并聯(lián)校正和PD校正設(shè)計(jì)方法屬于解析法,5.2節(jié)和5.3節(jié)介紹的串聯(lián)校正屬于試探法,這里介紹工程特性法,有兩種形式,一種是期望特性法,另一種是最佳模型法。5.4.1期望特性法圖5.4.1表示為了在滿足動(dòng)態(tài)性能要求前提下,使系統(tǒng)能消除穩(wěn)態(tài)速度誤差,而把一個(gè)I圖5.4.1期望特性法校正原理型系統(tǒng)校正成一個(gè)II型系統(tǒng),圖中Go(ω)為固有特性,即被校正對(duì)象的開(kāi)環(huán)特性;L(ω)是期望特性,能滿足給定性能指標(biāo)。5.4工程特性設(shè)計(jì)法4344(1)低頻段的繪制先根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差類(lèi)型要求,確定系統(tǒng)型號(hào)即低頻漸近線斜率。0型、I型、II型系統(tǒng)分別為0、-20、-40dB/dec。(2)中頻段的繪制期望特性的中頻段斜率必須是-20dB/dec?，F(xiàn)在需要確定中頻段的位置ωc及寬度h(或高度L)。如果給定指標(biāo)ts,穿越頻率ωc可按下式確定45464748(3)高頻段的繪制由于高頻段是一些小參數(shù)環(huán)節(jié),只影響初始響應(yīng)而與性能指標(biāo)關(guān)系不大,為使校正裝置得到簡(jiǎn)化,一般是讓L(ω)的高頻段與被校正系統(tǒng)等效高頻段重合,圖5.4.2中的ω3即圖4.5.6中的ω∑。(4)連接段的繪制連接段的繪制原則是使校正裝置簡(jiǎn)單,同時(shí)使中頻段兩端的斜率變化不大。在可能情況下使1/ω1、1/ω2和1/ω3(或高頻段的其他大轉(zhuǎn)角頻率)盡量與系統(tǒng)環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)重合。由ω1、ω2和-40dB/dec的斜率可以自然得到ω0、ω3(盡量與ω∑接近)。495.4.2二階和三階最佳特性法二、三階系統(tǒng)的期望特性已被規(guī)范化,故設(shè)計(jì)方法可采用解析方式。

(1)二階最佳設(shè)計(jì)在前面4.4.3節(jié)中已經(jīng)介紹過(guò),阻尼比ζ=0.707時(shí)二階系統(tǒng)時(shí)域、頻域及綜合積分性能指標(biāo)均最優(yōu),因此可將它作為校正后二階系統(tǒng)的最佳期望特性。

設(shè)校正后開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

50511)對(duì)象為一階慣性環(huán)節(jié)

522)對(duì)象為雙慣性環(huán)節(jié)

533)對(duì)象為一個(gè)大慣性環(huán)節(jié)和多個(gè)小慣性環(huán)節(jié)的乘積

4)對(duì)象為三個(gè)慣性環(huán)節(jié)54(2)三階最佳設(shè)計(jì)三階最佳期望的系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

系統(tǒng)幅頻特性如圖5.4.5所示。工程中一般取5556例5.4設(shè)單位反饋未校正系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試用工程設(shè)計(jì)方法將Ⅰ型系統(tǒng)校正為Ⅱ型三階最佳系統(tǒng),并確定串聯(lián)校正裝置Gc(s)。解1)確定調(diào)節(jié)器的形式原Go(s)為Ⅰ型,需校正為Ⅱ型三階最佳傳遞函數(shù)式(5.4.23),故應(yīng)選用PI調(diào)節(jié)器572)確定PI調(diào)節(jié)器的參數(shù)Kp和T

58593)確定PI調(diào)節(jié)器的元件參數(shù)參見(jiàn)表5.1中PI調(diào)節(jié)器的電路,取R1=10kΩ,R2=KpR1=44×10kΩ=440kΩ,取標(biāo)稱值440kΩ,C=Ti/R2=273μF,取標(biāo)稱值270μF。4)分析校正前、后的性能指標(biāo)

校正前和校正后的系統(tǒng)Bode圖和階躍響應(yīng)如圖5.4.6和圖5.4.7所示(誤差帶為±５％）。由圖可知系統(tǒng)相位裕量從γ=36.87deg增加到γ=89.3deg;幅值穿越頻率從ωc=4rad/dec增加到ωc=166.67rad/dec,調(diào)節(jié)時(shí)間大為減少(約為未校正時(shí)的1/24)。605.5.1并聯(lián)校正原理并聯(lián)校正即反饋校正,它是通過(guò)在系統(tǒng)的某一局部加入反饋裝置來(lái)改善系統(tǒng)性能的,見(jiàn)圖5.5.1。其中G2(s)參數(shù)變化較大或特性不夠理想,是影響系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的主要因素,現(xiàn)采用反饋校正裝置Gf(s)來(lái)包圍它,構(gòu)成一局部反饋(內(nèi)環(huán))回路。反饋后,原來(lái)的環(huán)節(jié)變?yōu)閳D中虛線所示的G2(s),其傳遞函數(shù)為5.5并聯(lián)校正與復(fù)合校正616263①可有效地抑制作用于內(nèi)環(huán)回路上各元件的擾動(dòng),減小元件參數(shù)變化和非線性特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響,這與讀者熟知的反饋放大器的特點(diǎn)是一致的。②可分別調(diào)整前向通道和內(nèi)環(huán)反饋通道參數(shù),以期單獨(dú)改變系統(tǒng)某一方面的性能。③串聯(lián)校正靠增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)改善系統(tǒng)性能(通常也增加了系統(tǒng)的階次),而反饋校正可以不依靠增加開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)來(lái)達(dá)到同樣目的。④因G2(s)=1/Gf(s),Gf(s)的參數(shù)變化對(duì)系統(tǒng)特性有明顯影響,故對(duì)Gf(s)要求較高。645.5.2并聯(lián)校正形式(1)位置反饋

當(dāng)Gf(s)=常數(shù)kf時(shí)即為位置反饋

65例5.5避免PI調(diào)節(jié)器的積分飽和。

前面5.3.1節(jié)介紹PI調(diào)節(jié)器時(shí)曾指出,只要存在誤差,調(diào)節(jié)器輸出就會(huì)不斷增長(zhǎng)。如果誤差一時(shí)無(wú)法消除,調(diào)節(jié)器就一直要力圖去校正這個(gè)誤差,結(jié)果過(guò)一段時(shí)間后調(diào)節(jié)器就會(huì)進(jìn)入深度飽和,直到誤差反向后調(diào)節(jié)器才會(huì)從飽和狀態(tài)中慢慢退出來(lái),重新恢復(fù)控制作用。這種積分飽和現(xiàn)象使系統(tǒng)控制品質(zhì)變壞,在有的場(chǎng)合還會(huì)引起危險(xiǎn)。666768(2)速度反饋當(dāng)Gf(s)=kfs時(shí)即為速度反饋。它主要用來(lái)增大系統(tǒng)阻尼比,在4.4.5節(jié)已作過(guò)介紹。下面用一個(gè)例子說(shuō)明并聯(lián)反饋校正的實(shí)際裝置。例5.6圖5.5.4是一個(gè)單相可控硅直流電動(dòng)機(jī)調(diào)速系統(tǒng),它采用了速度反饋、電樞電壓微分反饋,其實(shí)際電路圖見(jiàn)圖5.5.5。69705.5.3并聯(lián)校正近似設(shè)計(jì)圖5.5.1所示系統(tǒng)開(kāi)環(huán)的傳遞函數(shù)為

717273745.5.4復(fù)合校正串聯(lián)校正與反饋校正都沒(méi)有改變系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)方式——閉環(huán)控制,而閉環(huán)控制在原理上存在穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差矛盾問(wèn)題,限制了閉環(huán)系統(tǒng)精度不能大幅度提高。為了解決這個(gè)矛盾,對(duì)于穩(wěn)態(tài)精度和動(dòng)態(tài)性能都要求較高,特別是擾動(dòng)較強(qiáng)的場(chǎng)合,常常將閉環(huán)控制與開(kāi)環(huán)控制結(jié)合起來(lái),采用前饋校正技術(shù),基于不變性原理來(lái)構(gòu)成校正裝置,如前一章的圖4.2.9和4.2.10所示的輸入和擾動(dòng)兩種前饋補(bǔ)償。

75例5.7對(duì)圖5.5.8所示系統(tǒng)進(jìn)行輸入前饋校正,使系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速度誤差為零。76解校正前該I型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)速度誤差為

77在現(xiàn)代控制理論中,由于采用了狀態(tài)空間模型來(lái)描述系統(tǒng),因此采用狀態(tài)變量進(jìn)行反饋來(lái)實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)的任意配置,使系統(tǒng)獲得所需的性能,從而達(dá)到校正的目的。本節(jié)主要講述實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)配置的狀態(tài)反饋控制器,實(shí)現(xiàn)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器,以及為了進(jìn)行狀態(tài)反饋而需獲得狀態(tài)的狀態(tài)觀測(cè)器。

5.6狀態(tài)反饋與觀測(cè)785.6.1狀態(tài)反饋設(shè)被控系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為79(1)狀態(tài)反饋下的閉環(huán)采用狀態(tài)線性反饋后系統(tǒng)的控制變量為

80(2)狀態(tài)反饋條件下面以單輸入單輸出線性定常系統(tǒng)來(lái)說(shuō)明。由圖5.6.1可寫(xiě)出狀態(tài)傳遞函數(shù)

8182(3)狀態(tài)反饋增益的計(jì)算除了按式(5.6.17)計(jì)算矩陣K之外,這里介紹兩種比較直接的方法。

1)令式(5.6.10)與式(5.6.11)相等2)化成控制器規(guī)范型采用變換矩陣為P=QA+進(jìn)行式(2.4.28)的相似變換,可將(A,b,c)變換成控制器規(guī)范型(Ac,bc,cc)。根據(jù)式(2.4.23)可寫(xiě)出8384例5.8已知被控系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程為試確定一個(gè)狀態(tài)反饋陣K,使閉環(huán)極點(diǎn)s1,2=-2±j解容易求得,該系統(tǒng)的特征根為p1=3.4495和p2=-1.4495,系統(tǒng)不穩(wěn)定。用MATLAB命令[y,x]=step(a,b,c,d,1,t);plot(t,x);holdon;plot(t,y)可得響應(yīng)曲線如圖5.6.2所示,可見(jiàn)必須采用狀態(tài)反饋使該系統(tǒng)穩(wěn)定。①判斷系統(tǒng)的能控性85②計(jì)算閉環(huán)特征多項(xiàng)式

8687④比較DB(s)與D(s)同次冪系數(shù)k1=6,k0=16/3。則⑤校驗(yàn)K的計(jì)算正確性,并通過(guò)反饋后閉環(huán)系統(tǒng)

的響應(yīng)來(lái)檢查K的合理性88899091(4)期望極點(diǎn)的選擇

在4.4節(jié)中介紹過(guò)二階系統(tǒng)的超調(diào)量Mp與比值從原點(diǎn)出發(fā)的每條射線與負(fù)實(shí)軸的夾角可由ζ表達(dá):(5)對(duì)狀態(tài)反饋的有關(guān)討論1)狀態(tài)線性反饋不改變系統(tǒng)能控性(證明略),即有922)狀態(tài)反饋對(duì)不能控極點(diǎn)無(wú)效

設(shè)一個(gè)不能控系統(tǒng)(A,b,c)按能控性的卡爾曼分解得到

933)狀態(tài)反饋下的閉環(huán)穩(wěn)定的充分必要條件是:不能控子系統(tǒng)(Ac、0、cc)是漸近穩(wěn)定的。將式(3.3.12)中的A改作AB=A-bK即可進(jìn)行判別。4)采用狀態(tài)反饋系統(tǒng)零點(diǎn)不受影響,但如果系統(tǒng)極點(diǎn)被配置到零點(diǎn)處,就產(chǎn)生了零極點(diǎn)相消,這種情況下即便原來(lái)系統(tǒng)能觀也將變成不能觀。5)調(diào)整系統(tǒng)開(kāi)環(huán)增益或采用輸出反饋只能使閉環(huán)極點(diǎn)沿著一定的根軌跡移動(dòng),而狀態(tài)反饋能使閉環(huán)系統(tǒng)任意配置極點(diǎn),所以狀態(tài)反饋比一般的輸出反饋對(duì)系統(tǒng)性能的綜合更為方便,但要完成狀態(tài)反饋必須要獲得狀態(tài),實(shí)現(xiàn)起來(lái)比輸出反饋要復(fù)雜一些。6)狀態(tài)反饋雖能改變極點(diǎn)位置,但不能改變極點(diǎn)的個(gè)數(shù)和零點(diǎn)的位置,所以單靠狀態(tài)反饋有時(shí)達(dá)不到系統(tǒng)動(dòng)、靜態(tài)要求,須采取多種方法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行綜合與設(shè)計(jì)。945.6.2最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器上述極點(diǎn)配置方法是基于給定瞬態(tài)性能指標(biāo)的。下面介紹另一種使控制系統(tǒng)的積分性能指標(biāo)最小的極點(diǎn)配置方法,用狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)來(lái)說(shuō)明?？刂葡到y(tǒng)分為調(diào)節(jié)系統(tǒng)和跟隨系統(tǒng),調(diào)節(jié)系統(tǒng)是指系統(tǒng)在內(nèi)擾(參數(shù)變化)及外擾(負(fù)載變化)情況下保持輸出不變。955.6.2最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器上述極點(diǎn)配置方法是基于給定瞬態(tài)性能指標(biāo)的。下面介紹另一種使控制系統(tǒng)的積分性能指標(biāo)最小的極點(diǎn)配置方法,用狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié)來(lái)說(shuō)明?？刂葡到y(tǒng)分為調(diào)節(jié)系統(tǒng)和跟隨系統(tǒng),調(diào)節(jié)系統(tǒng)是指系統(tǒng)在內(nèi)擾(參數(shù)變化)及外擾(負(fù)載變化)情況下保持輸出不變。96例5.9處于懸空停滯不前的某型直升飛機(jī),可用如下?tīng)顟B(tài)方程描述式中x1=水平速度,x2=俯仰速率,x3=俯仰角,u=旋翼傾角。該系統(tǒng)極點(diǎn)p1=-0.6565,p2,3=0.1183±0.3678j,系統(tǒng)不穩(wěn)定,脈沖響應(yīng)曲線如圖5.6.6所示。為此,采用狀態(tài)最優(yōu)調(diào)節(jié),其二次型性能指標(biāo)為97試計(jì)算使J→Jmin的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制器K,并計(jì)算最優(yōu)狀態(tài)反饋下的閉環(huán)極點(diǎn)λ。

解由[k,p,e]=lqr(a,b,q,r)可得(省略p)9899最優(yōu)狀態(tài)反饋的有關(guān)說(shuō)明(證明略)

①代數(shù)黎卡提方程(5.6.27)有惟一正定解P使閉環(huán)(A-bK)漸近穩(wěn)定。

②如果系統(tǒng)(A,b)能控,閉環(huán)(A-bK)漸近穩(wěn)定,則積分性能指標(biāo)式(5.6.24)的J有極小值存在。③在最優(yōu)控制100④最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)是這樣一種極點(diǎn)配置:它把D(s)的n個(gè)根配置到Δ(s)=0的2n個(gè)根中的左半s平面上的n個(gè)根處(另n個(gè)右半s平面上的根與之以虛軸為對(duì)稱)⑤按上述極點(diǎn)配置的系統(tǒng)具有Kg=∞,γ=60°的穩(wěn)定性裕量。1015.6.3狀態(tài)觀測(cè)器要進(jìn)行狀態(tài)反饋必須要解決狀態(tài)變量的觀測(cè)問(wèn)題。因?yàn)樵趯?shí)際系統(tǒng)中,測(cè)量所有的狀態(tài)變量存在技術(shù)上和經(jīng)濟(jì)上的問(wèn)題,有時(shí)是不可能或不實(shí)際的,還有些狀態(tài)變量并不是實(shí)際物理量而無(wú)法進(jìn)行測(cè)量。除了測(cè)量問(wèn)題外,還存在器件問(wèn)題。每個(gè)狀態(tài)反饋環(huán)都需要實(shí)際硬件或計(jì)算機(jī)軟件,系統(tǒng)復(fù)雜性增加而可靠性降低,如一個(gè)傳感元件發(fā)生故障,整個(gè)系統(tǒng)都有可能不穩(wěn)定。工程上為使?fàn)顟B(tài)反饋得以實(shí)現(xiàn),常采用狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)解決這一問(wèn)題。102(1)全維漸近觀測(cè)器系統(tǒng)輸入總是已知的,因此從理論上說(shuō),最簡(jiǎn)單的狀態(tài)觀測(cè)器可以根據(jù)系統(tǒng)輸入,用計(jì)算機(jī)模擬被觀測(cè)系統(tǒng)(A,b,c)的動(dòng)態(tài)方程,以模擬得到的狀態(tài)向量代替被觀測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)向量X(t),如圖5.6.8所示。103104105(2)狀態(tài)觀測(cè)條件與觀測(cè)矩陣的計(jì)算

在2.2.2節(jié)介紹典型最小實(shí)現(xiàn)形式中曾指出,控制器型與觀測(cè)器型是對(duì)偶系。在式(3.5.4)再次指出,如果系統(tǒng)(A,b)能控,則對(duì)偶系統(tǒng)(AT,cT)能觀。根據(jù)狀態(tài)反饋的充要條件是(A,b)能控,那么狀態(tài)觀測(cè)的充要條件應(yīng)當(dāng)是(A,c)能觀?？疾彀退垢窭降膶?duì)偶形式1061)比較系數(shù)

設(shè)λ1,λ2,…λn為期望的觀測(cè)器特征值,則1072)化成觀測(cè)器規(guī)范型采用變換矩陣為進(jìn)行式(2.4.28)的相似變換,可將(A,b,c)變換成控制器規(guī)范型(Ao,bo,co)。根據(jù)式(2.4.24)可寫(xiě)出

108例5.10設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為試設(shè)計(jì)狀態(tài)漸近觀測(cè)器,觀測(cè)器期望極點(diǎn)為λ1=λ2=-3處。1091101115.6.4帶觀測(cè)器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)

(1)帶觀測(cè)器控制器的閉環(huán)結(jié)構(gòu)

設(shè)被控系統(tǒng)式(5.6.1)是能控能觀的,當(dāng)狀態(tài)X可直接量測(cè)時(shí),通過(guò)狀態(tài)反饋可使閉環(huán)系統(tǒng)(A-bK,b)任意配置極點(diǎn)。如果系統(tǒng)的狀態(tài)X不能直接量測(cè),則可通過(guò)狀態(tài)觀測(cè)器(A-Lc)獲得狀態(tài)的估計(jì)值再用同樣的反饋陣K構(gòu)成狀態(tài)反饋系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)圖如圖5.6.11所示。112113114(2)觀測(cè)器與控制器的分離特性注意到上式便可表示為圖5.6.12。由于在觀測(cè)器穩(wěn)態(tài)時(shí)相當(dāng)于沒(méi)有采用觀測(cè)器,而狀態(tài)是直接在反饋。這種特性稱為控制器與觀測(cè)器的分離特性。根據(jù)這一分離特性,控制器和觀測(cè)器可以按前述的方法各自獨(dú)立進(jìn)行設(shè)計(jì),在分別確定出K和L后,選擇好元器件,調(diào)好參數(shù)和程序,即可按圖5.6.11組成閉環(huán)。115(3)閉環(huán)傳遞函數(shù)根據(jù)式(5.6.48)可寫(xiě)出帶觀測(cè)器控制器的閉環(huán)特征多項(xiàng)式為:116①閉環(huán)傳遞函數(shù)與觀測(cè)器無(wú)關(guān),即引進(jìn)狀態(tài)觀測(cè)器并不改變閉環(huán)的輸入輸出特性。

②觀測(cè)誤差是不能控的。的不可控性正好滿足我們的需要,因?yàn)椴徽撏獠枯斎雛如何變化,都是按選定的衰減速度趨于零。③閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是:(sI-A+bK)和(sI-A+Lc)的特征根均為負(fù)根。117118(4)有關(guān)說(shuō)明①估計(jì)狀態(tài)與實(shí)際狀態(tài)X之間的關(guān)系見(jiàn)圖5.6.13。該狀態(tài)反饋系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)為-2,-1±j,觀測(cè)器極點(diǎn)為-4,-