理論力學(xué)11動(dòng)能定理及其應(yīng)用

第三篇?jiǎng)恿W(xué)理論力學(xué)NanjingUniversityofTechnology第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用第三篇?jiǎng)恿W(xué)11.1力的功

11.3動(dòng)能定理及其應(yīng)用

11.2質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

11.4勢(shì)能的概念機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用

11.5動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用11.1力的功常力的功變力的功?FMM1M2S

力F的元功力的功的定義M1M2重力的功質(zhì)點(diǎn)系？各種力做功的計(jì)算mgxzyoz1z2MM1M2對(duì)于質(zhì)點(diǎn)：重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重心走過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。

重力的功彈性力的功彈性力作的功只與彈簧在初始和終止位置的變形量有關(guān)。1、2

——彈簧在初始位置和最終位置的變形量。各種力做功的計(jì)算

彈性力的功

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功力偶做功各種力做功的計(jì)算

力偶做功FAdrFAdr光滑的固定支承面

約束力的功軸承活動(dòng)支座固定鉸鏈約束力做功為零！各種力做功的計(jì)算

約束力的功′FdrOABF1dr1dr2F2F12約束力做功總和為零！中間鉸鏈不可伸長(zhǎng)的繩索各種力做功的計(jì)算

約束力的功O關(guān)于摩擦力的作功0OFNFCMF又滾又滑滑動(dòng)摩擦力做負(fù)功！各種力做功的計(jì)算

約束力的功OC*vO只滾不滑純滾動(dòng)時(shí)，靜滑動(dòng)摩擦力(約束力)作功為零！各種力做功的計(jì)算

約束力的功FFN◆不可伸長(zhǎng)的柔性約束◆光滑的固定支承面◆光滑鉸鏈：軸承、滾動(dòng)支座◆純滾動(dòng)時(shí)的摩擦力約束反力作功等于零的約束！

理想約束：各種力做功的計(jì)算

約束力的功內(nèi)力的功

FA

和FB在drA

和drB上所作之元功OxzyFAFBABrArB剛體內(nèi)質(zhì)點(diǎn)間的內(nèi)力做功？各種力做功的計(jì)算

內(nèi)力的功剛體的內(nèi)力不作功內(nèi)力不能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量和動(dòng)量矩！內(nèi)力可能改變質(zhì)點(diǎn)系的能量！第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用

11.2質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能動(dòng)能是度量質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的另一物理量，動(dòng)能是正標(biāo)量。

質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能計(jì)算中中所用的速度必須是絕對(duì)速度！

平移剛體剛體平移時(shí)的動(dòng)能，相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時(shí)的動(dòng)能。平移剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能virimiyxzd·w＝vC

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能

平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能C*CdvCCvC均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的動(dòng)能。剛體的動(dòng)能思考法一：法二：C*剛體的動(dòng)能

11.3動(dòng)能定理及其應(yīng)用第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式dr＝vdt動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)微分形式：積分形式：微分形式：積分形式：m1m2mn質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理外力內(nèi)力主動(dòng)力約束力動(dòng)能定理中應(yīng)考慮所有力的功！動(dòng)能定理已知：

m，R,f，

。圓盤初始靜止。求：純滾動(dòng)時(shí)盤心的加速度。CFNmgvCF解：對(duì)象：圓盤受力：如圖運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)方程：假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移

s時(shí)速度達(dá)到vc。s力的功：由動(dòng)能定理得：解得：例題1例題1動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動(dòng)下繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度。OPW例題2例題2動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例解：對(duì)象：整體受力：如圖所示方程：假設(shè)重物向下產(chǎn)生位移

s時(shí)速度達(dá)到v。PO運(yùn)動(dòng)：圓輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊平移FOxFOyWmg例題2

v動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例s力的功：由動(dòng)能定理得：等式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)分別選輪和物體為研究對(duì)象？圓輪：物體：OPWmgFOxFOyF'TFTv例題2

動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例bl－b鏈條總長(zhǎng)度為l，線質(zhì)量密度為r，下垂部分長(zhǎng)度為b，鏈條從靜止開始，在自重作用下運(yùn)動(dòng)。不考慮鏈條與臺(tái)面之間的磨擦。求：鏈條完全離開臺(tái)面時(shí)的速度。例題3

動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例例題3l-bCC′b解：鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動(dòng)能分別為bl－bCC′鏈條重力所作之功應(yīng)用動(dòng)能定理求得鏈條完全離開臺(tái)面時(shí)的速度例題3

動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無(wú)質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對(duì)B輪無(wú)滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：1．當(dāng)物塊C下降高度為h時(shí)，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊C的加速度。

例題4例題4

動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例解：對(duì)象：整個(gè)系統(tǒng)受力：如圖所示

運(yùn)動(dòng)：輪A作平面運(yùn)動(dòng)；輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊C作平移。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系方程：例題4

動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例FFNFOxFOy1.輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。應(yīng)用動(dòng)能定理解得例題4

動(dòng)能定理的應(yīng)用舉例FFNFOxFOy2．確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊C的加速度：物塊的加速度為第10章動(dòng)能定理及其應(yīng)用

10.4勢(shì)能的概念機(jī)械能守恒定律及其應(yīng)用有勢(shì)力（或保守力）：該種力所作之功僅與力作用點(diǎn)的初始位置和終止位置有關(guān)，而與其作用點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。有勢(shì)力和勢(shì)能勢(shì)能：質(zhì)點(diǎn)系（質(zhì)點(diǎn)）從某位置M（點(diǎn)）運(yùn)動(dòng)到任選的零勢(shì)位置M0（零勢(shì)點(diǎn)）時(shí)，有勢(shì)力所作的功。

mgxzyoz1z2MM1M22）物理學(xué)中的零勢(shì)點(diǎn)是針對(duì)質(zhì)點(diǎn)的；零勢(shì)位置其實(shí)是組成質(zhì)點(diǎn)系的每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的零勢(shì)點(diǎn)的集合。注意：1）因零勢(shì)位置（零勢(shì)點(diǎn)）的不同，各個(gè)位置的勢(shì)能而不同。機(jī)械能：質(zhì)點(diǎn)系在某瞬時(shí)動(dòng)能和勢(shì)能的代數(shù)和。機(jī)械能守恒定律：當(dāng)作用在系統(tǒng)上的力均為有勢(shì)力時(shí)，其機(jī)械能保持不變。機(jī)械能守恒定律第11章動(dòng)能定理及其應(yīng)用

11.5動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)量矩定理動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)的基礎(chǔ)－質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都是描述質(zhì)點(diǎn)系整體運(yùn)動(dòng)的變化與質(zhì)點(diǎn)系所受的作用力之間的關(guān)系。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用整體運(yùn)動(dòng)的變化所受的作用力動(dòng)量定理動(dòng)能定理動(dòng)量矩定理動(dòng)量力（沖量）動(dòng)量矩力矩動(dòng)能力的功

動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理都可以用于求解動(dòng)力學(xué)的兩類基本問(wèn)題。矢量方程（外力）標(biāo)量方程（內(nèi)外力）矢量方程（外力）表達(dá)式強(qiáng)調(diào)例題5如圖a所示，均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑的水平面上，當(dāng)有微小的干擾時(shí)而倒下。

試求：桿剛與地面接觸時(shí)質(zhì)心的加速度和地面的約束力。例題5

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACB例題5

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACB解：法一對(duì)象：均質(zhì)桿AB受力：如圖運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)方程：CvAmgFNAvC當(dāng)桿與地面夾角為q時(shí)qI由速度瞬心法，I為速度瞬心例題5

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACBCvAmgFNAvCqI應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并注意得質(zhì)心的加速度為求桿的角加速度aC？法二：平面運(yùn)動(dòng)剛體微分方程？？地面對(duì)桿的約束力：以A點(diǎn)為基點(diǎn)得質(zhì)心的加速度為得桿的加速度為例題5動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACBCvAmgFNAvCqIaC均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動(dòng)，輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B處摩擦不計(jì)。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無(wú)質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對(duì)B輪無(wú)滑動(dòng)。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：1．當(dāng)物塊C下降高度為h時(shí)，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)，物塊C的加速度。

例題6例題6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；4．輪A與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。

解：對(duì)象：整個(gè)系統(tǒng)受力：如圖所示

運(yùn)動(dòng)：輪A作平面運(yùn)動(dòng)；輪B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；物塊C作平移。根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充關(guān)系方程：1.系統(tǒng)的動(dòng)能為：FFNFOxFOy例題6

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用應(yīng)用動(dòng)能定理解得FFNFOxFOy2．確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)物塊C的加速度：物塊的加速度為例題6

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用對(duì)象：取輪B和物塊C受力：如圖所示運(yùn)動(dòng)：輪B定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，物塊C平移方程：對(duì)點(diǎn)B應(yīng)用動(dòng)量矩定理3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力FFNFOxFOy例題6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用確定B處的約束力應(yīng)用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理由此解得B處的約束力＃例題6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用4．輪A與地面的接觸點(diǎn)處的摩擦力。對(duì)象：輪A受力：如圖所示運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)方程：應(yīng)用相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理，得到例題6動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FFNFOxFOy1.

動(dòng)能定理適合求解運(yùn)動(dòng)量。2.動(dòng)量定理或動(dòng)量矩定理適合求解約束力。4.對(duì)于復(fù)雜質(zhì)點(diǎn)系：動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)能定理的應(yīng)用選擇3.

對(duì)于簡(jiǎn)單質(zhì)點(diǎn)系：動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理，與應(yīng)用動(dòng)能定理解決問(wèn)題的難易程度差不多。先避開未知約束力，求解運(yùn)動(dòng)量；后再利用合適的定理，確定動(dòng)約束力。動(dòng)能定理動(dòng)量定理動(dòng)量矩定理均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求：B下落時(shí)，質(zhì)心C點(diǎn)的加速度。摩擦不計(jì)。解：法一對(duì)象：圓柱體A受力：如圖運(yùn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程，得到aAFTOA例題7FOymgFOx例題7動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用其中F'TaBCDB對(duì)象：圓柱體B受力：如圖運(yùn)動(dòng)：B作平面運(yùn)動(dòng)方程：根據(jù)平面運(yùn)動(dòng)的微分方程有由運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系aD＝raA,aAFTOAFOymgFOxmgaC以D點(diǎn)為基點(diǎn)？？？？例題7

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用法二：對(duì)象：圓柱體A和B組成的質(zhì)點(diǎn)系受力：如圖運(yùn)動(dòng)：A定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，B平面運(yùn)動(dòng)方程：圓柱體B下落h時(shí)，系統(tǒng)的動(dòng)能為例題7

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FOymgFOxmgwAwBvB重力做功為？？？由基點(diǎn)法，可知對(duì)O、C輪分別用動(dòng)量矩定理和相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩定理：例題7動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FOymgFOxmgwAwBvBaAFTOAFOymgFOxF'TaBCDBmgaC？？？應(yīng)用動(dòng)能定理得上兩式兩邊分別對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，又因?yàn)閺亩脠A柱體B輪心C的加速度例題7

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FOymgFOxmgwAwBvBaC例題8均質(zhì)桿長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為m2，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時(shí)由靜止開始純滾動(dòng)。試求：A點(diǎn)在初瞬時(shí)的加速度。例題8

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：（分析：此題解法仍不唯一。本例中只有保守力作功，故機(jī)械能守恒，用機(jī)械能守恒定律求解。）對(duì)象：桿AB和圓盤A受力：兩個(gè)物體所受重力如圖運(yùn)動(dòng)：兩者均作平面運(yùn)動(dòng)m2gm1g方程：考察初始位置和任意位置時(shí)的動(dòng)能和勢(shì)能例題8

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FNAFNBvBw2例題8

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvBw2例題8

取經(jīng)過(guò)輪心A的水平線為零勢(shì)位置，系統(tǒng)的勢(shì)能為例題8

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvBw2零勢(shì)點(diǎn)根據(jù)機(jī)械能守恒定律，有將上式對(duì)時(shí)間求一次導(dǎo)數(shù)于是，點(diǎn)A在初瞬時(shí)的加速度為注意到初瞬時(shí)

例題8

動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvBw2零勢(shì)點(diǎn)本章作業(yè)

P215：11－2P215－217：11－4，11－5，11－13，11－10謝謝大家NanjingUniversityofTechnology附錄：

習(xí)題解答作業(yè)中存在的問(wèn)題1、標(biāo)注運(yùn)動(dòng)量。2、使用的理論要交待。BjA11－2圖示滑塊A重力為W1，可在滑道內(nèi)滑動(dòng)，與滑塊A用鉸鏈連接的是重力為W2、長(zhǎng)為l的勻質(zhì)桿AB。現(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為v1，桿AB的角速度為w1。當(dāng)桿與鉛垂線的夾角為j時(shí)，試求系統(tǒng)的動(dòng)能。解：AB桿作平面運(yùn)動(dòng)，以A點(diǎn)為基點(diǎn)，質(zhì)心C的速度為由余弦定理則系統(tǒng)的動(dòng)能v1vCAvCv1wv1w1jBAl11－2附錄：

習(xí)題解答11－4圖示一重物A質(zhì)量為m1，當(dāng)其下降時(shí)，借一無(wú)重且不可伸長(zhǎng)的繩索使?jié)L子C沿水平軌道滾動(dòng)而不滑動(dòng)。繩索跨過(guò)一不計(jì)質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪B上。滑輪B的半徑為R，與半徑為r的滾子C固結(jié)，兩者總質(zhì)量為m2，其對(duì)O軸的回轉(zhuǎn)半徑為r。試求重物A的加速度。11－4附錄：

習(xí)題解答解：對(duì)象：滾子C、滑輪D、物塊A所組成的剛體系統(tǒng)；受力：做功的物塊A重力如圖所示；運(yùn)動(dòng)：如圖；方程：設(shè)系統(tǒng)在物塊下降任意距離h時(shí)的動(dòng)能由運(yùn)動(dòng)學(xué)知識(shí)力作的功應(yīng)用動(dòng)能定理將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)數(shù)求得物塊的加速度為vAwCvCm1g化簡(jiǎn)，得

11－5附錄：

習(xí)題解答11－5圖示機(jī)構(gòu)中，均質(zhì)桿AB長(zhǎng)為l，質(zhì)量為2m，兩端分別與質(zhì)量均為m的滑塊鉸接，兩光滑直槽相互垂直。設(shè)彈簧剛度為k，且當(dāng)θ=0?時(shí)，彈簧為原長(zhǎng)。若機(jī)構(gòu)在θ=60?時(shí)無(wú)初速開始運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)桿AB處于水平位置時(shí)的角速度和角加速度。其中：解：對(duì)象：系統(tǒng)；受力：略；運(yùn)動(dòng)：略；方程：vBvAC*wABmg化簡(jiǎn)，得

應(yīng)用動(dòng)能定理1211－5附錄：

習(xí)題解答對(duì)（1）式求導(dǎo)：vBvAC*wABmg當(dāng)桿處于水平位置時(shí)11－10附錄：

習(xí)題解答11－10在圖示機(jī)構(gòu)中，鼓輪B質(zhì)量為m，內(nèi)、外半徑分別為r和R，對(duì)轉(zhuǎn)軸O的回轉(zhuǎn)半徑為r，其上繞有細(xì)繩，一端吊一質(zhì)量為m的物塊A，另一端與質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓輪C相連，斜面傾角為j，繩的傾斜段與斜面平行。系統(tǒng)由靜止開始隨圓輪C的純滾動(dòng)向右滑落。試求：（1）鼓輪的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及連接物塊A的繩子的張力（表示為a的函數(shù)）。解：

（1）鼓輪的角加速度a。對(duì)象：系統(tǒng)；受力：如圖；運(yùn)動(dòng)：如圖；方程：

其中設(shè)物塊A上升距離SA時(shí)，物塊C沿斜面移動(dòng)距離SC由動(dòng)能定理，得vAwB