理論力學(xué)11動能定理及其應(yīng)用

第三篇動力學(xué)理論力學(xué)NanjingUniversityofTechnology第11章動能定理及其應(yīng)用第三篇動力學(xué)11.1力的功

11.3動能定理及其應(yīng)用

11.2質(zhì)點與質(zhì)點系的動能

11.4勢能的概念機械能守恒定律及其應(yīng)用

11.5動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用第11章動能定理及其應(yīng)用第11章動能定理及其應(yīng)用11.1力的功常力的功變力的功?FMM1M2S

力F的元功力的功的定義M1M2重力的功質(zhì)點系？各種力做功的計算mgxzyoz1z2MM1M2對于質(zhì)點：重力的功僅與重心的始末位置有關(guān)，而與重心走過的路徑無關(guān)。

重力的功彈性力的功彈性力作的功只與彈簧在初始和終止位置的變形量有關(guān)。1、2

——彈簧在初始位置和最終位置的變形量。各種力做功的計算

彈性力的功

定軸轉(zhuǎn)動剛體上作用力的功力偶做功各種力做功的計算

力偶做功FAdrFAdr光滑的固定支承面

約束力的功軸承活動支座固定鉸鏈約束力做功為零！各種力做功的計算

約束力的功′FdrOABF1dr1dr2F2F12約束力做功總和為零！中間鉸鏈不可伸長的繩索各種力做功的計算

約束力的功O關(guān)于摩擦力的作功0OFNFCMF又滾又滑滑動摩擦力做負(fù)功！各種力做功的計算

約束力的功OC*vO只滾不滑純滾動時，靜滑動摩擦力(約束力)作功為零！各種力做功的計算

約束力的功FFN◆不可伸長的柔性約束◆光滑的固定支承面◆光滑鉸鏈：軸承、滾動支座◆純滾動時的摩擦力約束反力作功等于零的約束！

理想約束：各種力做功的計算

約束力的功內(nèi)力的功

FA

和FB在drA

和drB上所作之元功OxzyFAFBABrArB剛體內(nèi)質(zhì)點間的內(nèi)力做功？各種力做功的計算

內(nèi)力的功剛體的內(nèi)力不作功內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量和動量矩！內(nèi)力可能改變質(zhì)點系的能量！第11章動能定理及其應(yīng)用

11.2質(zhì)點與質(zhì)點系的動能動能是度量質(zhì)點系整體運動的另一物理量，動能是正標(biāo)量。

質(zhì)點系的動能質(zhì)點質(zhì)點系動能計算中中所用的速度必須是絕對速度！

平移剛體剛體平移時的動能，相當(dāng)于將剛體的質(zhì)量集中于質(zhì)心時的動能。平移剛體的動能剛體的動能

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能

定軸轉(zhuǎn)動剛體的動能剛體的動能virimiyxzd·w＝vC

平面運動剛體的動能

平面運動剛體的動能剛體的動能C*CdvCCvC均質(zhì)圓盤在地面上作純滾動時的動能。剛體的動能思考法一：法二：C*剛體的動能

11.3動能定理及其應(yīng)用第11章動能定理及其應(yīng)用質(zhì)點運動微分方程的矢量形式dr＝vdt動能定理質(zhì)點微分形式：積分形式：微分形式：積分形式：m1m2mn質(zhì)點系動能定理外力內(nèi)力主動力約束力動能定理中應(yīng)考慮所有力的功！動能定理已知：

m，R,f，

。圓盤初始靜止。求：純滾動時盤心的加速度。CFNmgvCF解：對象：圓盤受力：如圖運動：平面運動方程：假設(shè)圓盤中心向下產(chǎn)生位移

s時速度達到vc。s力的功：由動能定理得：解得：例題1例題1動能定理的應(yīng)用舉例等式兩邊同時對時間求一階導(dǎo)數(shù)均質(zhì)圓輪半徑為R、質(zhì)量為m。圓輪在重物P帶動下繞固定軸O轉(zhuǎn)動，已知重物重量為W。求：重物下落的加速度。OPW例題2例題2動能定理的應(yīng)用舉例解：對象：整體受力：如圖所示方程：假設(shè)重物向下產(chǎn)生位移

s時速度達到v。PO運動：圓輪定軸轉(zhuǎn)動，物塊平移FOxFOyWmg例題2

v動能定理的應(yīng)用舉例s力的功：由動能定理得：等式兩邊同時對時間求一階導(dǎo)數(shù)分別選輪和物體為研究對象？圓輪：物體：OPWmgFOxFOyF'TFTv例題2

動能定理的應(yīng)用舉例bl－b鏈條總長度為l，線質(zhì)量密度為r，下垂部分長度為b，鏈條從靜止開始，在自重作用下運動。不考慮鏈條與臺面之間的磨擦。求：鏈條完全離開臺面時的速度。例題3

動能定理的應(yīng)用舉例例題3l-bCC′b解：鏈條在初始及終止兩狀態(tài)的動能分別為bl－bCC′鏈條重力所作之功應(yīng)用動能定理求得鏈條完全離開臺面時的速度例題3

動能定理的應(yīng)用舉例均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：1．當(dāng)物塊C下降高度為h時，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。

例題4例題4

動能定理的應(yīng)用舉例解：對象：整個系統(tǒng)受力：如圖所示

運動：輪A作平面運動；輪B作定軸轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。根據(jù)運動學(xué)補充關(guān)系方程：例題4

動能定理的應(yīng)用舉例FFNFOxFOy1.輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。應(yīng)用動能定理解得例題4

動能定理的應(yīng)用舉例FFNFOxFOy2．確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：物塊的加速度為第10章動能定理及其應(yīng)用

10.4勢能的概念機械能守恒定律及其應(yīng)用有勢力（或保守力）：該種力所作之功僅與力作用點的初始位置和終止位置有關(guān)，而與其作用點所經(jīng)過的路徑無關(guān)。有勢力和勢能勢能：質(zhì)點系（質(zhì)點）從某位置M（點）運動到任選的零勢位置M0（零勢點）時，有勢力所作的功。

mgxzyoz1z2MM1M22）物理學(xué)中的零勢點是針對質(zhì)點的；零勢位置其實是組成質(zhì)點系的每一個質(zhì)點的零勢點的集合。注意：1）因零勢位置（零勢點）的不同，各個位置的勢能而不同。機械能：質(zhì)點系在某瞬時動能和勢能的代數(shù)和。機械能守恒定律：當(dāng)作用在系統(tǒng)上的力均為有勢力時，其機械能保持不變。機械能守恒定律第11章動能定理及其應(yīng)用

11.5動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動力學(xué)普遍定理動量定理動能定理動量矩定理動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用質(zhì)點系動力學(xué)的基礎(chǔ)－質(zhì)點動力學(xué)動量定理、動量矩定理和動能定理都是描述質(zhì)點系整體運動的變化與質(zhì)點系所受的作用力之間的關(guān)系。動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用整體運動的變化所受的作用力動量定理動能定理動量矩定理動量力（沖量）動量矩力矩動能力的功

動量定理、動量矩定理和動能定理都可以用于求解動力學(xué)的兩類基本問題。矢量方程（外力）標(biāo)量方程（內(nèi)外力）矢量方程（外力）表達式強調(diào)例題5如圖a所示，均質(zhì)細桿長為l，質(zhì)量為m，靜止直立于光滑的水平面上，當(dāng)有微小的干擾時而倒下。

試求：桿剛與地面接觸時質(zhì)心的加速度和地面的約束力。例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACB例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACB解：法一對象：均質(zhì)桿AB受力：如圖運動：平面運動方程：CvAmgFNAvC當(dāng)桿與地面夾角為q時qI由速度瞬心法，I為速度瞬心例題5

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACBCvAmgFNAvCqI應(yīng)用質(zhì)點系動能定理兩邊對時間求導(dǎo)，并注意得質(zhì)心的加速度為求桿的角加速度aC？法二：平面運動剛體微分方程？？地面對桿的約束力：以A點為基點得質(zhì)心的加速度為得桿的加速度為例題5動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用ACBCvAmgFNAvCqIaC均質(zhì)圓輪A、B的質(zhì)量均為m，半徑均為R，輪A沿斜面作純滾動，輪B作定軸轉(zhuǎn)動，B處摩擦不計。物塊C的質(zhì)量也為m。A、B、C用無質(zhì)量的繩相聯(lián)，繩相對B輪無滑動。系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)。試求：1．當(dāng)物塊C下降高度為h時，輪A質(zhì)心的速度以及輪B的角速度。2．系統(tǒng)運動時，物塊C的加速度。

例題6例題6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力；4．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。

解：對象：整個系統(tǒng)受力：如圖所示

運動：輪A作平面運動；輪B作定軸轉(zhuǎn)動；物塊C作平移。根據(jù)運動學(xué)補充關(guān)系方程：1.系統(tǒng)的動能為：FFNFOxFOy例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用應(yīng)用動能定理解得FFNFOxFOy2．確定系統(tǒng)運動時物塊C的加速度：物塊的加速度為例題6

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用對象：取輪B和物塊C受力：如圖所示運動：輪B定軸轉(zhuǎn)動，物塊C平移方程：對點B應(yīng)用動量矩定理3．輪A、輪B之間的繩子拉力和B處的約束力FFNFOxFOy例題6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用確定B處的約束力應(yīng)用質(zhì)心運動定理由此解得B處的約束力＃例題6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用4．輪A與地面的接觸點處的摩擦力。對象：輪A受力：如圖所示運動：平面運動方程：應(yīng)用相對質(zhì)心的動量矩定理，得到例題6動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FFNFOxFOy1.

動能定理適合求解運動量。2.動量定理或動量矩定理適合求解約束力。4.對于復(fù)雜質(zhì)點系：動量定理、動量矩定理和動能定理的應(yīng)用選擇3.

對于簡單質(zhì)點系：動量定理和動量矩定理，與應(yīng)用動能定理解決問題的難易程度差不多。先避開未知約束力，求解運動量；后再利用合適的定理，確定動約束力。動能定理動量定理動量矩定理均質(zhì)圓柱體A和B質(zhì)量均為m，半徑均為r。圓柱A可繞固定軸O轉(zhuǎn)動。一繩繞在圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上。求：B下落時，質(zhì)心C點的加速度。摩擦不計。解：法一對象：圓柱體A受力：如圖運動：定軸轉(zhuǎn)動方程：根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動的微分方程，得到aAFTOA例題7FOymgFOx例題7動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用其中F'TaBCDB對象：圓柱體B受力：如圖運動：B作平面運動方程：根據(jù)平面運動的微分方程有由運動學(xué)關(guān)系aD＝raA,aAFTOAFOymgFOxmgaC以D點為基點？？？？例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用法二：對象：圓柱體A和B組成的質(zhì)點系受力：如圖運動：A定軸轉(zhuǎn)動，B平面運動方程：圓柱體B下落h時，系統(tǒng)的動能為例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FOymgFOxmgwAwBvB重力做功為？？？由基點法，可知對O、C輪分別用動量矩定理和相對質(zhì)心動量矩定理：例題7動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FOymgFOxmgwAwBvBaAFTOAFOymgFOxF'TaBCDBmgaC？？？應(yīng)用動能定理得上兩式兩邊分別對時間求導(dǎo)，又因為從而得圓柱體B輪心C的加速度例題7

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FOymgFOxmgwAwBvBaC例題8均質(zhì)桿長為l，質(zhì)量為m1，B端靠在光滑墻上，A端用鉸鏈與均質(zhì)圓盤的質(zhì)心相連。圓盤的質(zhì)量為m2，半徑為R，放在粗糙的地面上，自圖示θ=45°時由靜止開始純滾動。試求：A點在初瞬時的加速度。例題8

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用解：（分析：此題解法仍不唯一。本例中只有保守力作功，故機械能守恒，用機械能守恒定律求解。）對象：桿AB和圓盤A受力：兩個物體所受重力如圖運動：兩者均作平面運動m2gm1g方程：考察初始位置和任意位置時的動能和勢能例題8

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用FNAFNBvBw2例題8

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvBw2例題8

取經(jīng)過輪心A的水平線為零勢位置，系統(tǒng)的勢能為例題8

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvBw2零勢點根據(jù)機械能守恒定律，有將上式對時間求一次導(dǎo)數(shù)于是，點A在初瞬時的加速度為注意到初瞬時

例題8

動力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用m2gm1gFNAFNBvBw2零勢點本章作業(yè)

P215：11－2P215－217：11－4，11－5，11－13，11－10謝謝大家NanjingUniversityofTechnology附錄：

習(xí)題解答作業(yè)中存在的問題1、標(biāo)注運動量。2、使用的理論要交待。BjA11－2圖示滑塊A重力為W1，可在滑道內(nèi)滑動，與滑塊A用鉸鏈連接的是重力為W2、長為l的勻質(zhì)桿AB?，F(xiàn)已知道滑塊沿滑道的速度為v1，桿AB的角速度為w1。當(dāng)桿與鉛垂線的夾角為j時，試求系統(tǒng)的動能。解：AB桿作平面運動，以A點為基點，質(zhì)心C的速度為由余弦定理則系統(tǒng)的動能v1vCAvCv1wv1w1jBAl11－2附錄：

習(xí)題解答11－4圖示一重物A質(zhì)量為m1，當(dāng)其下降時，借一無重且不可伸長的繩索使?jié)L子C沿水平軌道滾動而不滑動。繩索跨過一不計質(zhì)量的定滑輪D并繞在滑輪B上?；咮的半徑為R，與半徑為r的滾子C固結(jié)，兩者總質(zhì)量為m2，其對O軸的回轉(zhuǎn)半徑為r。試求重物A的加速度。11－4附錄：

習(xí)題解答解：對象：滾子C、滑輪D、物塊A所組成的剛體系統(tǒng)；受力：做功的物塊A重力如圖所示；運動：如圖；方程：設(shè)系統(tǒng)在物塊下降任意距離h時的動能由運動學(xué)知識力作的功應(yīng)用動能定理將上式對時間求導(dǎo)數(shù)求得物塊的加速度為vAwCvCm1g化簡，得

11－5附錄：

習(xí)題解答11－5圖示機構(gòu)中，均質(zhì)桿AB長為l，質(zhì)量為2m，兩端分別與質(zhì)量均為m的滑塊鉸接，兩光滑直槽相互垂直。設(shè)彈簧剛度為k，且當(dāng)θ=0?時，彈簧為原長。若機構(gòu)在θ=60?時無初速開始運動，試求當(dāng)桿AB處于水平位置時的角速度和角加速度。其中：解：對象：系統(tǒng)；受力：略；運動：略；方程：vBvAC*wABmg化簡，得

應(yīng)用動能定理1211－5附錄：

習(xí)題解答對（1）式求導(dǎo)：vBvAC*wABmg當(dāng)桿處于水平位置時11－10附錄：

習(xí)題解答11－10在圖示機構(gòu)中，鼓輪B質(zhì)量為m，內(nèi)、外半徑分別為r和R，對轉(zhuǎn)軸O的回轉(zhuǎn)半徑為r，其上繞有細繩，一端吊一質(zhì)量為m的物塊A，另一端與質(zhì)量為M、半徑為r的均質(zhì)圓輪C相連，斜面傾角為j，繩的傾斜段與斜面平行。系統(tǒng)由靜止開始隨圓輪C的純滾動向右滑落。試求：（1）鼓輪的角加速度a；（2）斜面的摩擦力及連接物塊A的繩子的張力（表示為a的函數(shù)）。解：

（1）鼓輪的角加速度a。對象：系統(tǒng)；受力：如圖；運動：如圖；方程：

其中設(shè)物塊A上升距離SA時，物塊C沿斜面移動距離SC由動能定理，得vAwB