離散型隨機變量的均值

2．3離散型隨機變量的均值與方差

2．3.1離散型隨機變量的均值1．離散型隨機變量的均值(1)定義:一般地,若離散型隨機變量X的分布列為:則稱E(X)＝______________________________為隨機變量X的均值或數(shù)學期望．(2)意義:它反映了離散型隨機變量取值的__________．(3)性質:如果X為(離散型)隨機變量,則Y＝aX＋b(其中a,b為常數(shù))也是隨機變量,且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi),i＝1,2,3,…,n,E(Y)＝____________＝______________.Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pnx1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn平均水平E(aX＋b)aE(X)＋b想一想均值E(X)是一個常數(shù)還是一個變量？提示:常數(shù)．做一做1.已知X的分布列為則X的均值為__________．2．兩點分布與二項分布的均值做一做2.一名射手每次射擊中靶的概率均為0.8,則他獨立射擊3次中靶次數(shù)X的均值為__________．解析:∵X～B(3,0.8),∴E(X)＝3×0.8＝2.4.答案:2.4XX～B(n,p)X服從兩點分布E(X)npp(p為成功概率)典題例證技法歸納例1題型探究題型一離散型隨機變量均值的性質已知隨機變量X的分布列為:(1)求E(X);(2)若Y＝2X－3,求E(Y)．互動探究例2某校在全校學生中開展物理和化學實驗操作大比拼活動,活動要求:參加者物理、化學實驗操作都必須參加,有50名學生參加這次活動,評委老師對這50名學生實驗操作進行評分,每項操作評分均按等級采用5分制(只打整數(shù)分),評分結果統(tǒng)計如下表:題型二求離散型隨機變量的均值(1)若隨機抽取1名參加活動的學生,求“化學實驗得分為4分且物理實驗得分為3分”的學生被抽取的概率;(2)從這50名參賽學生中任取1名,其物理實驗與化學實驗得分之和為ξ,求ξ的數(shù)學期望．跟蹤訓練例3題型三二項分布的均值【名師點評】

(1)如果隨機變量X服從兩點分布,則其期望值E(X)＝p(p為成功概率)．(2)如果隨機變量X服從二項分布即X～B(n,p),則E(X)＝np,以上兩特例可以作為常用結論,直接代入求解,從而避免了繁雜的計算過程．跟蹤訓練3．某電視臺開展有獎答題活動,每次要求答30個選擇題,每個選擇題有4個選項,其中有且只有一個正確答案,每一題選對得5分,選錯或不選得0分,滿分150分,規(guī)定滿100分拿三等獎,滿120分拿二等獎,滿140分拿一等獎,有一選手選對任意一題的概率是0.8,則該選手有望能拿到幾等獎？解:選對題的個數(shù)X～B(30,0.8),故E(X)＝30×0.8＝24,由于24×5＝120(分),所以該選手有望能拿到二等獎．例4題型四均值問題的實際應用某游戲射擊場規(guī)定:①每次游戲射擊5發(fā)子彈;②5發(fā)全部命中獎勵40元;命中4發(fā)不獎勵,也不必付款;命中3發(fā)或3發(fā)以下,應付款2元．現(xiàn)有一游客,其命中率為0.5.(1)求該游客在一次游戲中5發(fā)全部命中的概率;(2)求該游客在一次游戲中獲得資金的均值．跟蹤訓練4．隨機抽取某廠的某種產(chǎn)品200件,經(jīng)質檢,其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生產(chǎn)1件一、二、三等品獲得的利潤分別為6萬元、2萬元、1萬元,而生產(chǎn)1件次品虧損2萬元．設1件產(chǎn)品的利潤為ξ(單位:萬元)．(1)求ξ的分布列;(2)求1件產(chǎn)品的平均利潤(即ξ的數(shù)學期望)．1．隨機變量的均值與樣本的平均值的關系2.離散型隨機變量的分布列和均值雖然都是從整體上和全局上刻畫隨機變量的,但兩者大不相同,分布列只給出了隨機變量取所有可能值的概率,而均值卻反映了隨機變量取值的平均水平．隨機變量的均值樣本的平均值區(qū)別是一常數(shù),不依賴于樣本的抽取是一隨機變量,隨樣本抽取的不同而變化聯(lián)系隨樣本容量的增加,樣本的平均值越來越接近于總體的均值精彩推薦典例展示求離散型隨機變量的均值

(本題滿分12分)(2015·高考江西卷)小波以游戲方式?jīng)Q定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊．游戲規(guī)則為:以O為起點,再從A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如圖)這8個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量,記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X＝0就參加學校合唱團,否則就參加學校排球隊．規(guī)范解答例3(1)求小波參加學校合唱團的概率;(2)求X的分布列和數(shù)學期望．跟蹤訓練5．運動員射擊一次所得環(huán)數(shù)X的分布列如下:現(xiàn)進行兩次射擊,以該運動員兩次射擊中最高環(huán)數(shù)作為他的成績,記為ξ.(1)求ξ的分布列;(2)求ξ的均值．X0～678910P00.20.30.30.2解:(1)ξ的可能取值為7、8、9、10,P(ξ＝7)＝0.04,P(ξ＝8)＝2×0.2×0.3＋0.32＝0.21,P(ξ＝9)＝2×0.2×0.3＋2×0.3×0.3＋0.32＝0.39,P(ξ＝10)＝2×0.2×0.2＋2×0.3×0