第三章2N氏判據(jù)

復(fù)習(xí)：1.穩(wěn)定的必要條件:閉環(huán)特征方程系數(shù)ai>0；2.穩(wěn)定的充要條件∶勞斯表的第一列各元大于零。勞斯表的列法。3.三階系統(tǒng)：a2a1>a3a04.特殊情況的處理：第一列某元為零；某一行全為零§3.4奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)特點1.幾何判據(jù)，通過開環(huán)系統(tǒng)Gk(jω)的奈氏圖，利用圖解法分析閉環(huán)系統(tǒng)GB(jω)的穩(wěn)定性；2.不需要求取閉環(huán)系統(tǒng)的特征根；3.能指出系統(tǒng)的穩(wěn)定性儲備—相對穩(wěn)定性，指出進一步改善系統(tǒng)動態(tài)性能的途徑。1jik09一.開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關(guān)系開環(huán)傳函

閉環(huán)傳函

令

(特征函數(shù))2jik09

特征函數(shù)F(s)=通過F(s)可以用Gk(s)來判明GB(s)的穩(wěn)定性。二.幅角原理1.復(fù)數(shù)的矢量表示

OM=jω,PM=（jω-OP）,

ZM=（jω-OZ）

OP、OZ分別表示位于[S]左、右半平面的零點或極點的矢量.

3jik092.相角變化

ω:－∞→＋∞

PM:([S]左半平面),ZM:([S]右半平面),3.

特征函數(shù)的相角變化復(fù)分式的相角=分子相角－分母相角

特征函數(shù)F(jω)的零極點形式：

ω:－∞→＋∞

當(dāng)ω從－∞→＋∞變化時：

[S]左半平面上的零、極點矢量均變化(掃過)+π弧度；[S]右半平面上的零、極點矢量均變化(掃過)-π弧度.

＋π；－π4jik09設(shè)系統(tǒng)有p個開環(huán)極點在[S]右半平面，則有(n-P)個開環(huán)極點在[S]左半平面，特征函數(shù)分母的相角為

若系統(tǒng)有Z個閉環(huán)極點在[S]右半平面，則有(n-Z)個極點在[S]左半平面，特征函數(shù)分子的相角為

特征函數(shù)的相角變化5jik094.幅角原理:

當(dāng)ω從－∞→＋∞變化時，特征函數(shù)F(jω)的軌跡將繞原點O轉(zhuǎn)N=P-Z圈.

∵GK(jω)=F(jω)-1，GK(jω)的Nyquist曲線圍繞(-1，j0)點的圈數(shù)為

N=P-Z

5.討論

(1)P:開環(huán)正極點數(shù)；Z:閉環(huán)正極點數(shù);(2)N>0:逆時針包圍；N<0:順時針包圍；N=0:逆時針和順時針包圍圈數(shù)相等、或表示不包圍(-1，j0)點、或表示通過(-1，j0)點。

6jik09當(dāng)ω從－∞到＋∞變化時，GK(jω)的Nyquist軌跡逆時針包圍(-1，j0)點的圈數(shù)N等于GK(jω)的正極點數(shù)P（N=P）時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.說明：由幅角原理

當(dāng)N=P時，Z=0,閉環(huán)系統(tǒng)在[S]右半平面上無極點。

2.討論(1)當(dāng)P=0，開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。開環(huán)系統(tǒng)的奈氏圖不圍繞(－1，j0)點，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定;

(2)當(dāng)開環(huán)系統(tǒng)有P個極點在[s]右半平面，若GK(s)逆時針包圍(－1，j0)點P圈，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

三.Nyquist穩(wěn)定性判據(jù)1.表述7jik093.應(yīng)用

(1)若P=0，僅考察GK(jω)是否圍繞(－1，j0)點；

(2)若P≠0，應(yīng)先求出P，再查GK(jω)逆時針圍繞(－1，j0)點的圈數(shù)，若少于P則閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。

(3)開環(huán)奈氏軌跡，相對于實軸對稱，故通常只畫從0→∞段。

關(guān)鍵：作GK(jω)的Nyquist圖四．應(yīng)用舉例

研究開環(huán)0型、Ⅰ型、Ⅱ型系統(tǒng)。已知GK(s)，求閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。8jik09例1：0型系統(tǒng)，開環(huán)傳函

1.作奈氏圖

2.P=0，且GK(jω)不包圍(－1，j0)點∴無論K取何值，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

3.觀察奈氏圖的大致走向

推廣：若開環(huán)為最小相位系統(tǒng)，只有在三階或三階以上其閉環(huán)系統(tǒng)才有可能不穩(wěn)定。

9jik09例2∶存在導(dǎo)前環(huán)節(jié)的0型系統(tǒng)1.奈氏圖(0型)由第三象限平行于虛軸進入原點。

2.由于有導(dǎo)前環(huán)節(jié)，曲線發(fā)生彎曲。

(1)當(dāng)T1，T2，T3很大，而T4，T5很小，有可能使

曲線①:

(2)若減小K，或增大T4，T5：曲線②：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

10jik09系統(tǒng)有條件穩(wěn)定:穩(wěn)定條件與開環(huán)增益K及各環(huán)節(jié)時間常數(shù)有關(guān)，導(dǎo)前環(huán)節(jié)作用強，有利于穩(wěn)定。

例3∶Ⅰ型系統(tǒng)

1.奈氏圖

(2)P=0，且不包圍(－1，j0)點，∴閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。(3)

∈(－∞，+∞)時的奈氏圖

有積分環(huán)節(jié)時[s]—→[GH]的映射。

若存在積分環(huán)節(jié)，在[s]原點附近以無窮小半圓ABC繞過原點。11jik09則映射值

注意：當(dāng)動點在圓弧ABC上移動時，s總是趨于零的。

總是取零值的。設(shè)A點:ω=0-，B點:ω=0，C點:ω=0+。點ABCω0-00+

－90o0o90o

映射值+j∞∞－j∞映射點A'B'C'

↓↓↓(∞)∶正虛軸正實軸負虛軸

12jik09說明：(1)當(dāng)Ⅰ型系統(tǒng)逆時針以無窮小半圓繞過[s]平面原點時，其在[GH]上的映射點以∞半徑順時針繞過半圓弧。(從90o轉(zhuǎn)到－90o)。

(2)對于Ⅱ型系統(tǒng)，則[s]平面上的無窮小圓弧在[GH]面上映射出一個順時針繞向的無窮大圓。13jik09小結(jié)：奈氏穩(wěn)定性判據(jù)(1)當(dāng)ω從－∞到＋∞變化時，GK(jω)的Nyquist軌跡逆時針包圍(-1，j0)點的圈數(shù)N等于GK(jω)的正極點數(shù)P（N=P）時，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定.

(2)N=P-Z,Z=P-NN∶當(dāng)從－∞—→+∞時，GK(jω)圍繞(－1，j0)點的圈數(shù)。

N<0順時針圍繞；N>0逆時針圍繞；N=0不圍繞。P∶GK(jω)（開環(huán)）在[s]右半平面內(nèi)的極點數(shù)。

Z∶閉環(huán)傳函在[s]右半平面內(nèi)的極點數(shù)。14jik09（3）增補段：當(dāng)從0-→0+，GK(jω)在[GH]平面上的軌跡為一半徑無窮大，順時針繞向的圓弧。Ⅰ型系統(tǒng)為半圓，Ⅱ型系統(tǒng)為整圓；

(4)應(yīng)用：若P=0，當(dāng)N=0，GK(jω)不圍繞(－1，j0)點時系統(tǒng)穩(wěn)定；若P≠0，當(dāng)GK(jω)逆時針圍繞(－1，j0)點的圈數(shù)等于P圈，則系統(tǒng)穩(wěn)定，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定；作業(yè)∶復(fù)習(xí)P85—P91，預(yù)習(xí)：P91—P93習(xí)題:3.2(1,2)15jik09提綱§3.4奈奎斯特(Nyquist)穩(wěn)定判據(jù)特點一.開環(huán)極點與閉環(huán)極點間的關(guān)系：二.幅角原理1.復(fù)數(shù)的矢量表示

特征