初中數(shù)學(xué)湘教版八年級(jí)下冊(cè)第1章直角三角形1．4角平分線的性質(zhì) 優(yōu)質(zhì)課比賽一等獎(jiǎng)

湘教版8年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)角平分線的性質(zhì)同步練習(xí)一、選擇題(本大題共8小題)1.用尺規(guī)作已知角的平分線的理論依據(jù)是（）A．SASB．AASC．SSSD．ASA2.如圖，∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A、PD＝PEB、OD＝OEC、∠DPO＝∠EPOD、PD＝OD3.在△ABC中，∠C=90゜，AD平分∠BAC交BC于D，BD：DC=3：2，點(diǎn)D到AB的距離為6，則BC長(zhǎng)為（）A．10 B．20 C．15 D．254.如圖，在△ABC中，∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)0，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，則OD與OE的大小關(guān)系是（）A．OD＞OE B．OD＜OE C．OD=OE D．不能確定5.如圖所示，D，E分別是△ABc的邊AC．Bc上的點(diǎn)，若△ADB≌△EDB≌△EDC，則∠C的度數(shù)為（）A．15°B．20°C．25°D．30°6.下列說(shuō)法：①角的內(nèi)部任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；②到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上；③角的平分線上任意一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等；④△ABC中∠BAC的平分線上任意一點(diǎn)到三角形的三邊的距離相等，其中正確的（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)7.如圖，OP平分，，，垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）A. B.平分C. D.垂直平分8.如圖2，已知點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，則下列說(shuō)法：①點(diǎn)P在∠BAC的平分線上；②點(diǎn)P在∠CBE的平分線上；③點(diǎn)P在∠BCD的平分線上；④點(diǎn)P是∠BAC、∠CBE、∠BCD的平分線的交點(diǎn)，其中正確的是（）A．①②③④B．①②③C．④D．②③二、填空題(本大題共6小題)9.如圖，P是∠AOB的角平分線上的一點(diǎn)，PC⊥OA于點(diǎn)C，PD⊥OB于點(diǎn)D，寫出圖中一對(duì)相等的線段（只需寫出一對(duì)即可）.10.如圖，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，則點(diǎn)D到BC的距離為_(kāi)_______cm．11.如圖，OP平分∠MON，PA⊥ON于點(diǎn)A，點(diǎn)Q是射線OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=3，則PQ的最小值為．12.如圖所示在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，AB=6厘米，則△DEB的周長(zhǎng)是厘米．13.如圖，AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，作PE⊥AB于點(diǎn)E．若PE=2，則兩平行線AD與BC間的距離為．14.如圖，△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60．其三條角平分線交于點(diǎn)O，則S△ABO：S△BCO：S△CAO=．三、計(jì)算題(本大題共4小題)15.已知：AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是E、F，BD＝CD，求證：∠B＝∠C.AAFCDEB16.如圖，畫∠AOB=90°，并畫∠AOB的平分線OC，將三角尺的直角頂點(diǎn)落在OC的任意一點(diǎn)P上，使三角尺的兩條直角邊與∠AOB的兩邊分別相交于點(diǎn)E、F，試猜想PE、PF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由．17.如圖，已知P點(diǎn)是∠AOB平分線上一點(diǎn)，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足為C、D．（1）求證：∠PCD=∠PDC；（2）求證：OP是線段CD的垂直平分線．18.如圖，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．（1）求證：AC=AE；（2）若點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，CD=4，求BE的長(zhǎng)．19.如圖（1）所示，OP是∠MON的平分線，請(qǐng)你利用該圖形畫一對(duì)以O(shè)P所在直線為公共邊的全等三角形．請(qǐng)你參考這個(gè)作全等三角形的方法，解答下列問(wèn)題．（1）如圖1一110（2）所示，在∠ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，AD，CE相交于點(diǎn)F，請(qǐng)你寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；（不要求寫證明）（2）如圖1-110（3）所示，在AABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他條件不變，那么（1）中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：一、選擇題(本大題共8小題)1.C分析：直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．解：根據(jù)尺規(guī)作圖中相等的條件可得到答案為C.2.D分析：直接根據(jù)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．解：解：∵∠1＝∠2，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別為D，E，∴PD=PE,∴Rt△POE≌Rt△POD,∴PD＝PE,∠DPO＝∠EPO,OD＝OE.故選D。3.C分析：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DC=DE，然后求出BD的長(zhǎng)，再根據(jù)BC=BD+DE代入數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得解．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵點(diǎn)D到AB的距離為6，∴DE=6，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，∴DC=DE=6，∵BD：DC=3：2，∴BD=×3=9，∴BC=BD+DE=9+6=15．故選C．分析：根據(jù)三角形的角平分線相交于一點(diǎn)，連接AO，則AO平分∠BAC，然后根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等解答．解：如圖，連接AO，∵∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)0，∴AO平分∠BAC，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD=OE．故選C．5.D分析：易證∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°解：根據(jù)已知條件可證明∠C=∠DBE=∠DBA，∠DEC=∠DEB=∠A=90°故選D。6.B分析：逐個(gè)對(duì)上列說(shuō)法進(jìn)行分析即可得到。解：①是在角平分線上才可以故選項(xiàng)錯(cuò)誤。②正確；③根據(jù)定義判斷正確；④僅到角的兩邊距離相等，錯(cuò)誤。選B.7.D分析：本題要從已知條件OP平分∠AOB入手，利用角平分線的性質(zhì)，對(duì)各選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證，選項(xiàng)D是錯(cuò)誤的，雖然垂直，但不一定平分OP．解：∵OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，∴PA=PB，∴△OPA≌△OPB，∴∠APO=∠BPO，OA=OB，∴A、B、C項(xiàng)正確，設(shè)PO與AB相交于E，∵OA=OB，∠AOP=∠BOP，OE=OE，∴△AOE≌△BOE，∴∠AEO=∠BEO=90°，∴OP垂直AB，而不能得到AB平分OP.故選D。8.A分析：結(jié)合已知條件進(jìn)行逐個(gè)分析判斷。解：∵點(diǎn)P到AE、AD、BC的距離相等，∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上，故①正確；點(diǎn)P在∠CBE的平分線上，故②正確；點(diǎn)P在∠BCD的平分線上，故③正確；點(diǎn)P在∠BAC，∠CBE，∠BCD的平分線的交點(diǎn)上，故④正確，綜上所述，正確的是①②③④．故選A.二、填空題(本大題共6小題)9.分析：由已知條件，根據(jù)角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的任意一點(diǎn)到角的兩邊距離相等．可得PC=PD．解：∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD（角平分線性質(zhì)）．故填PC=PD．10.分析：本題考查的是角平分線的性質(zhì)解：根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到結(jié)果.∵∠A＝9∴0°，BD平分∠ABC，AD＝2cm，∴點(diǎn)D到BC的距離為2cm.11.分析：首先過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OM于B，由OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可求得PB的值，又由垂線段最短，可求得PQ的最小值．解：過(guò)點(diǎn)P作PB⊥OM于B，∵OP平分∠MON，PA⊥ON，PA=3，∴PB=PA=3，∴PQ的最小值為3．12.分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證得AC=AE，CD=DE，據(jù)此即可證得△DEB的周長(zhǎng)等于AB的長(zhǎng)．解：∵AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥BA于E，∠C=90°，∴CD=DE，DA平分∠EDC．∴AC=AE，∴△DEB的周長(zhǎng)=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE又∵BC=AC∴△DEB的周長(zhǎng)=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB=6厘米．故答案是：6．13.分析：根據(jù)角平分線的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)即可得出PM=PE=2，PE=PN=2，即可得出答案．解：過(guò)點(diǎn)P作MN⊥AD，∵AD∥BC，∠ABC的角平分線BP與∠BAD的角平分線AP相交于點(diǎn)P，PE⊥AB于點(diǎn)E，

∴AP⊥BP，PN⊥BC，∴PM=PE=2，PE=PN=2，∴MN=2+2=4．故答案為：4．14.分析：首先過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，作OF⊥BC于點(diǎn)F，由OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D，作OE⊥AC于點(diǎn)E，作OF⊥BC于點(diǎn)F，∵OA，OB，OC是△ABC的三條角平分線，∴OD=OE=OF，∵△ABC的三邊AB、BC、CA長(zhǎng)分別為40、50、60，∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB?OD）：（BC?OF）：（AC?OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．故答案為：4：5：6．三、計(jì)算題(本大題共4小題)15.分析：由角平分線的性質(zhì)可得DE=DF，在Rt△DEB與Rt△DFC中，BD=CD，DE=DF，所以Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），所以∠B=∠C．證明：∵AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，在Rt△DEB與Rt△DFC中，BD＝CD，DE＝DF，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴∠B＝∠C．16.分析：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，求出PM=PN，∠PME=∠MPE=∠NPF，證△PME≌△PNF即可．解：PE=PF，理由是：過(guò)點(diǎn)P作PM⊥OA，PN⊥OB，垂足是M，N，則∠PME=∠PNF=90°，∵OP平分∠AOB，∴PM=PN，∵∠AOB=∠PME=∠PNF=90°，∴∠MPN=90°，∵∠EPF=90°，∴∠MPE=∠FPN，在△PEM和△PFN中∴△PEM≌△PFN，∴PE=PF．17.分析：（1）由角平分線的性質(zhì)易得PC=PD，根據(jù)等邊對(duì)等角即可得出∠PCD=∠PDC；

（2）易證△POC≌△POD，則OC=OD，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)逆定理可得OP垂直平分CD．解：（1）∠PCD=∠PDC．理由：∵OP是∠AOB的平分線，且PC⊥OA，PD⊥OB，∴PC=PD，∴∠PCD=∠PDC；（2）OP是CD的垂直平分線．理由：∵∠OCP=∠ODP=90°，在Rt△POC和Rt△POD中，，∴Rt△POC≌Rt△POD（HL），∴OC=OD，由PC=PD，OC=OD，可知點(diǎn)O、P都是線段CD的垂直平分線上的點(diǎn)，從而OP是線段CD的垂直平分線．18.分析：根據(jù)角平分線性質(zhì)求出CD的長(zhǎng)和∠DAE的度數(shù)，根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出BD即可．解：（1）證明：∵在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴CD=DE，∠AED=∠C=90°，∠CAD=∠EAD，在△ACD和△AED中∴△ACD≌△AED，∴AC=AE；（2）解：∵DE⊥AB，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，∴AD=BD，∴∠B=∠DAB=∠CAD，∵∠C=90°，∴3∠B=90°，∴∠B=30°，∵CD=DE=4，∠DEB=90°，∴BD=2DE=8，由勾股定理得：BE==4．19.分析：根據(jù)SAS可知：在∠MON的兩邊上以O(shè)為端點(diǎn)截取相等的兩條相等，另外兩個(gè)端點(diǎn)與角平分線上任意一點(diǎn)相連，所構(gòu)成的兩個(gè)三角形確定，它們關(guān)于OP對(duì)稱．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠BAC．∠EFA是△ACF的外角，根據(jù)外角的性質(zhì)計(jì)算求解；（2）根據(jù)圖1的作法，在AC上截取AG=AF，則EF=FG；根據(jù)ASA證明△FCD≌△FCG，得DF=FG，故判斷EF=FD；（3）只要∠B的度數(shù)不變，結(jié)論仍然成立．證明同（2）．解：在OM，ON上分別取OA，OB，使OA=OB，再在OP上任取一點(diǎn)D，連接AD，BD，則△OAD與△OBD全等，如圖l一114（1）所示．（1）FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD．（2）（1）中的結(jié)論FE=FD仍然成立．證法1：如圖1—114（2）所示，在AC上截取AG=AE，連接FG，則△AEF≌△AGF，所以∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG．由∠B=60°，AD，CE分別是∠BAC，∠BCA的平分線，可得∠2＋∠3＝60°，所以∠AFE=∠AFG=∠CFD=∠2＋∠3=60°，所以∠CFG=180°－60°－60