第四章控制系統(tǒng)的頻率特性(2014版)

過(guò)程裝備控制工程基礎(chǔ)Email:zhqupc@Office：工科樓D座511室86983481Mobile第四章)左海強(qiáng)2014年秋季學(xué)期時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)法：分析控制系統(tǒng)的直接方法。一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線T

2T

3T

4T

5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)分析優(yōu)點(diǎn)：直觀-一階系統(tǒng)10t2%或5%二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線×-二階系統(tǒng)欠阻尼二階系統(tǒng)時(shí)域性能指標(biāo)(記住)0[s]欠阻尼二階系統(tǒng)極點(diǎn)與參數(shù)關(guān)系圖時(shí)域瞬態(tài)響應(yīng)分析缺點(diǎn)：

分析高階系統(tǒng)非常繁瑣

合理簡(jiǎn)化（主導(dǎo)極點(diǎn)偶極子）用低階系統(tǒng)近似頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的特例，是控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。頻率特性是系統(tǒng)對(duì)不同頻率正弦輸入信號(hào)的響應(yīng)特性。頻率特性分析法(頻域法)是利用系統(tǒng)的頻率特性來(lái)分析系統(tǒng)性能的方法，研究的問(wèn)題仍然是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性和準(zhǔn)確性等，是工程上廣為采用的控制系統(tǒng)分析和綜合的方法。頻率特性分析法是一種圖解的分析方法。

不必直接求解系統(tǒng)輸出的時(shí)域表達(dá)式，可以間接地運(yùn)用系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性去分析閉環(huán)系統(tǒng)的響應(yīng)性能，不需要求解系統(tǒng)的閉環(huán)特征根。

系統(tǒng)的頻域指標(biāo)和時(shí)域指標(biāo)之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。頻率特性分析中大量使用簡(jiǎn)潔的曲線、圖表及經(jīng)驗(yàn)公式，使得控制系統(tǒng)的分析十分方便、直觀。第四章控制系統(tǒng)的頻域特性

頻域特性的基本概念頻域響應(yīng)的極坐標(biāo)圖－乃氏圖(Nyquist圖)

頻域響應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖－伯德圖(Bode圖)

由頻率特性曲線求取系統(tǒng)的傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)§4-1

頻率特性的基本概念

頻域法是工程上廣為采用的系統(tǒng)分析和綜合的間接方法。除了電路與頻率特性有著密切關(guān)系外，在機(jī)械工程中機(jī)械振動(dòng)與頻率特性也有著密切的關(guān)系。數(shù)學(xué)依據(jù)傅里葉變換(FourierTransform)RC已知求穩(wěn)態(tài)時(shí)，其中，

設(shè)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

。定義系統(tǒng)輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對(duì)其正弦輸入信號(hào)的幅值之比

為系統(tǒng)的幅頻特性。 幅頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在幅值上的增益特性（衰減或放大）。定義系統(tǒng)輸出信號(hào)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)相對(duì)其正弦輸入信號(hào)的相移為系統(tǒng)的相頻特性。

相頻特性描述系統(tǒng)在穩(wěn)態(tài)下響應(yīng)不同頻率的正弦輸入時(shí)在相位上產(chǎn)生的滯后（）或超前（

）特性。上述定義的幅頻特性和相頻特性

統(tǒng)稱為系統(tǒng)的頻率特性，它描述了系統(tǒng)對(duì)正弦輸入的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。

當(dāng)輸入為非正弦的周期信號(hào)時(shí)，其輸入可利用傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)成正弦波的疊加，其輸出為相應(yīng)的正弦波輸出的疊加，如下圖所示。

當(dāng)輸入為非周期信號(hào)時(shí)，可將該非周期信號(hào)看做周期T→∞的周期信號(hào)。傅里葉正變換式傅里葉反變換式時(shí)域→頻域頻域→時(shí)域傅氏正變換式拉氏正變換式傅氏變換與拉氏變換是類似的。除了積分下限不同外，只要將s換成，就可將已知的拉氏變換式變成相應(yīng)的傅氏變換式。拉氏變換可看作是一種單邊的廣義的傅氏變換，其積分區(qū)間是從0

到+∞。

函數(shù)適合進(jìn)行拉氏變換的條件比傅氏變換的條件弱一些，因此適合函數(shù)的范圍也寬一些。

大多數(shù)機(jī)電系統(tǒng)可簡(jiǎn)單地將拉氏變換G(s)中的s換成而直接得到相應(yīng)的傅氏變換式。系統(tǒng)頻率特性的表示形式系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)是一種復(fù)變函數(shù)，可以表示成如下形式：

是

的實(shí)部，稱為實(shí)頻特性。

是

的虛部，稱為虛頻特性。頻率特性函數(shù)也可以表示成如下形式：

是

的模，稱為幅頻特性。

是

的相角，稱為相頻特性。矢量圖表示如下：頻率特性的求取——解析法系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)

可由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

求得。函數(shù)。

將s平面的復(fù)變量

的取值范圍限定在虛軸上，即

所得到的傳遞函數(shù)

就是系統(tǒng)的頻率響應(yīng)。頻率響應(yīng)是在特定情況下的傳遞求圖所示系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)。例4-1將s代之以

，即得到系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)為RC例試求的幅頻特性和相頻特性。解：當(dāng)系統(tǒng)已經(jīng)建立，但不知道其內(nèi)部結(jié)構(gòu)或傳遞函數(shù)時(shí)。在系統(tǒng)中輸入一正弦信號(hào)，測(cè)出不同頻率時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出的幅值和相位，便可得到其頻率特性。頻率特性的求取——實(shí)驗(yàn)法

在系統(tǒng)的輸入端加入一定幅值的正弦信號(hào)，穩(wěn)定后系統(tǒng)的輸出也是正弦信號(hào)，記錄不同頻率的輸入、輸出的幅值和相位，即可求得系統(tǒng)的頻率特性。

正弦函數(shù)發(fā)生器被測(cè)系統(tǒng)0顯示記錄儀器幅頻特性相頻特性頻率特性的物理意義設(shè)輸入信號(hào)則穩(wěn)態(tài)輸出信號(hào)物理意義：“低通”濾波例RC當(dāng)輸入電壓得到R-C電路的穩(wěn)態(tài)輸出為結(jié)論：當(dāng)ω=0時(shí)，輸出與輸入的電壓不僅幅值相等，而且相位也完全一致。隨著ω的不斷增大，輸出電壓的幅值將不斷地衰減，相位也不斷地滯后。(一階慣性環(huán)節(jié)—低通濾波器)

§4-2

頻率響應(yīng)的極坐標(biāo)圖(奈奎斯特圖)1928年,提出著名的奈奎斯特采樣定理；1932年,提出著名的奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)；美國(guó)有138項(xiàng)專利，涉及電話、電報(bào)、圖像傳輸系統(tǒng)等。乃奎斯特（H.Nyquist)美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家1889~1976極坐標(biāo)圖(Polarplots)是反映頻率特性的幾何表示。當(dāng)ω

從0逐漸增長(zhǎng)至+∞時(shí)，頻率特性作為一個(gè)矢量，其端點(diǎn)在復(fù)平面相對(duì)應(yīng)的軌跡就是頻率特性的極坐標(biāo)圖。極坐標(biāo)圖也稱為乃氏圖(Nyquistplots)或乃奎斯特曲線。0

0映射ω一、典型環(huán)節(jié)的極坐標(biāo)圖1.比例環(huán)節(jié)0UjV理想的放大環(huán)節(jié)能夠無(wú)失真和無(wú)滯后地復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào)。K(Nyquistplotsoftypicalsystems)0jVU2.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)有900的滯后作用。0jVU3.

微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)對(duì)正弦輸入信號(hào)有900的超前作用。0jVU14.

一階慣性環(huán)節(jié)圓心在（0.5,0）半徑為0.5的半圓0.5015.

二階振蕩環(huán)節(jié)jVU在復(fù)數(shù)運(yùn)算當(dāng)中，一定要根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限正確寫(xiě)出幅角的值。相角0o～－180o，與負(fù)虛軸有交點(diǎn)。令或得為與負(fù)虛軸交點(diǎn)。代入

振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性和相頻特性均與阻尼比ζ有關(guān)。當(dāng)阻尼比較小時(shí)，會(huì)產(chǎn)生諧振。諧振峰值Mr和諧振頻率ωr由幅頻特性的極值方程解出。(記住)016.

延遲環(huán)節(jié)jVU相角0o～－∞o，與實(shí)軸和虛軸有無(wú)窮多交點(diǎn)。(5)必要時(shí)畫(huà)出乃氏圖中間幾點(diǎn)；(6)勾畫(huà)出大致曲線。(1)寫(xiě)出

和

表達(dá)式；(2)分別求出

和

時(shí)的

；(3)求乃氏圖與實(shí)軸的交點(diǎn)，可利用的關(guān)系式求出，也可以利用關(guān)系式（其中n為整數(shù)）求出；(4)求乃氏圖與虛軸的交點(diǎn)，可利用

的關(guān)系式求出，也可利用關(guān)系式（其中n為奇數(shù)）求出；二、乃氏圖的一般作圖步驟(CommonmethodofsketchingNyquistplots)

乃氏圖與實(shí)軸和虛軸有無(wú)窮多交點(diǎn)，隨著ω

增加，曲線距離原點(diǎn)越來(lái)越近，相角越來(lái)越負(fù)。0jVU0.67n階系統(tǒng)1.系統(tǒng)的型次K0jVU2.各型乃氏圖的低頻段0jVU

通常，機(jī)電系統(tǒng)頻率特性分母的階次大于分子的階次，故當(dāng)ω→∞時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)原點(diǎn)處；而當(dāng)頻率特性分母的階次等于分子的階次，當(dāng)ω→∞時(shí)，乃氏圖曲線終止于坐標(biāo)實(shí)軸上的有限值。3.乃氏圖的高頻段

一般在系統(tǒng)頻率特性分母上加極點(diǎn)，使系統(tǒng)相角滯后；而在系統(tǒng)頻率特性分子上加零點(diǎn)，使系統(tǒng)相角超前。而中頻部分的Nyquist曲線形狀與頻率特性的參數(shù)密切相關(guān)。

例:0jVU4.乃氏圖的負(fù)頻段令ω從?∞增長(zhǎng)到0，相應(yīng)得出的乃氏圖是與ω從0增長(zhǎng)到+∞得出的乃氏圖以實(shí)軸對(duì)稱的。§4-3

頻率響應(yīng)的對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖(伯德圖bodeplots)伯德（H.W.Bode)，1905~1982，美國(guó)Bell實(shí)驗(yàn)室著名科學(xué)家

對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖是將幅值對(duì)頻率的關(guān)系和相位對(duì)頻率的關(guān)系分別畫(huà)在兩張圖上，用半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙繪制，頻率坐標(biāo)按對(duì)數(shù)分度，幅值和相角坐標(biāo)則以線性分度。對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖也稱伯德圖(Bode圖)。伯德圖幅值L(ω)所用的單位分貝(dB)定義為n(dB)=20lgN幅頻特性坐標(biāo)若ω2

=10ω1

，則稱從ω1

到ω2為十倍頻程，以dec(decade)表示。相頻特性坐標(biāo)00.11101002040-20單位:dB(分貝)00.1110100十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程線性分度對(duì)數(shù)分度線性分度-1012lgω單位:弧度/秒半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙對(duì)于一般線性定常系統(tǒng)：伯德圖的優(yōu)點(diǎn)以有限的紙張表示很寬的頻率范圍（橫坐標(biāo)所需的對(duì)數(shù)刻度數(shù)，取決于感興趣的頻率范圍）。對(duì)于突出頻率特性的低頻段很方便。幅值采用分貝做單位，從而簡(jiǎn)化幅頻特性中的乘除運(yùn)算為加減運(yùn)算。幅頻特性可用折線近似表示，系統(tǒng)的幅頻特性用組成該系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的幅頻特性折線疊加，作圖非常方便。一、典型環(huán)節(jié)的伯德圖1.比例環(huán)節(jié)00K=1K>1K<1(Bodeplotsoftypicalsystems)2.積分環(huán)節(jié)-20000.110120積分環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性是一條在ω=1處穿過(guò)零分貝線，并以每增加10倍頻降低20dB的速度變化的曲線。-403.微分環(huán)節(jié)000.1101204.一階慣性環(huán)節(jié)00用低頻段和高頻段的兩條直線組成的折線近似表示。

(P130

表4-1、4-2修正表)漸近線漸近線轉(zhuǎn)角頻率3dB

精確曲線5.一階微分環(huán)節(jié)006.二階振蕩環(huán)節(jié)00-40近似于2重積分7.延遲環(huán)節(jié)000.1110100二、一般系統(tǒng)伯德圖作圖方法幅頻特性—由各典型環(huán)節(jié)對(duì)數(shù)幅頻特性疊加；相頻特性—由各典型環(huán)節(jié)相頻特性疊加。3.畫(huà)各自近似幅頻折線和相頻曲線并疊加04020-40-200.221468103L1(ω)L2(ω)L3(ω)L4(ω)L5(ω)φ1(ω)φ2(ω)φ3(ω)φ4(ω)φ5(ω)20lg7.5分段法求對(duì)數(shù)頻率特性將開(kāi)環(huán)系統(tǒng)寫(xiě)成典型環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)的實(shí)系數(shù)形式實(shí)際繪制對(duì)數(shù)幅頻特性曲線時(shí)按以下步驟一次完成。確定K、值以及各個(gè)典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率并將各轉(zhuǎn)折頻率從小到大標(biāo)注在坐標(biāo)橫軸（頻率ω）上。2.繪制低頻段Bode圖（第一段線段）

＝00dB/decL(ω)=20lgK

＝1-20dB/dec斜率由積分環(huán)節(jié)決定

＝2-40dB/dec在ω

＝1處，L(1)=20lgK以低頻漸近線作為分段直線的第一段，從低頻端開(kāi)始沿頻率增大的方向，每遇到一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率改變一次分段直線的斜率：當(dāng)遇到ωj時(shí)，斜率變化量為-20dB/dec

當(dāng)遇到ωl時(shí)，斜率變化量為-40dB/dec

當(dāng)遇到ωi時(shí)，斜率變化量為+20dB/dec

當(dāng)遇到ωk時(shí)，斜率變化量為+40dB/dec4.分段直線的最后一段斜率為-20(n-m)dB/dec5.在轉(zhuǎn)折頻率附近進(jìn)行修正，可得到較準(zhǔn)確曲線。對(duì)數(shù)相頻特性曲線的繪制利用典型環(huán)節(jié)的各對(duì)數(shù)相頻特性相疊加;

直接利用相頻特性表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算。方法：先比例，后積分，然后按照轉(zhuǎn)折頻率由小到大的順序依次繪制各自近似的伯德圖，在各典型環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率處相應(yīng)改變斜率。

對(duì)數(shù)幅頻特性的低頻段的頻率特性為K/(jω)，表現(xiàn)為過(guò)點(diǎn)(1,20lgK)，斜率為-20dB/dec的直線頻率趨于無(wú)窮大時(shí)，漸近線斜率為-20(n-m)dB/dec

相角在頻率趨于無(wú)窮大時(shí)為-(n-m)×900

真正畫(huà)伯德圖時(shí)，并不需要先畫(huà)出各環(huán)節(jié)伯德圖，可根據(jù)靜態(tài)放大倍數(shù)和各環(huán)節(jié)時(shí)間常數(shù)直接畫(huà)出整個(gè)系統(tǒng)伯德圖。例1：已知系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試?yán)L制開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)漸進(jìn)幅頻特性曲線。例2：設(shè)某系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為試?yán)L制系統(tǒng)的對(duì)數(shù)漸進(jìn)幅頻特性和對(duì)數(shù)相頻特性。1.K=10，

＝0

慣性環(huán)節(jié)：T1=0.25即ω1=4s-1

振蕩環(huán)節(jié)：T2=0.5即ω

2=2s-12.

低頻段L(ω)=20lgK＝20dB3.

繪制近似對(duì)數(shù)幅頻特性曲線4.

相頻特性(Minimumphasesystems)系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在

S右半平面上既無(wú)極點(diǎn)、又無(wú)零點(diǎn)的系統(tǒng)，稱為最小相位系統(tǒng)；否則，為非最小相位系統(tǒng)。對(duì)于相同階次的基本環(huán)節(jié)，當(dāng)頻率ω

從0變到+∞時(shí)，最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。最小相位系統(tǒng)的相頻特性和幅頻特性是一一對(duì)應(yīng)的，知道了系統(tǒng)幅頻特性，其相頻特性就唯一確定。三、最小相位系統(tǒng)有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)屬于非最小相位系統(tǒng)。把延遲環(huán)節(jié)用零點(diǎn)和極點(diǎn)的形式近似表達(dá)時(shí)（泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)），會(huì)發(fā)現(xiàn)它具有正實(shí)部零點(diǎn)。00020lg(T1/T2)結(jié)論:對(duì)于相同階次的基本環(huán)節(jié),當(dāng)ω從0到∞連續(xù)變化時(shí),最小相位的基本環(huán)節(jié)造成的相移是最小的。對(duì)于最小相位系統(tǒng)，知道了幅頻特性，其相頻特性就唯一確定，而非最小相位系統(tǒng)則不唯一確定。工程實(shí)用中的大多數(shù)系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，為了簡(jiǎn)化工作量，對(duì)于最小相位系統(tǒng)的伯德圖，可以只畫(huà)出對(duì)數(shù)幅頻特性。[例]具有延遲環(huán)節(jié)的開(kāi)環(huán)頻率特性為：，試畫(huà)出伯德圖。[解]：

可見(jiàn)，加入了延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)其幅頻特性不變，相位特性滯后了。

§4-4

由頻率特性曲線求取系統(tǒng)傳遞函數(shù)

有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得準(zhǔn)確，其傳遞函數(shù)也很難用純數(shù)學(xué)分析的方法求出。對(duì)于這類系統(tǒng)，可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)測(cè)出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進(jìn)而求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

由伯德圖的作圖過(guò)程可知，幅頻曲線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)對(duì)應(yīng)的頻率是時(shí)間常數(shù)的倒數(shù)。 下面討論如何確定靜態(tài)放大倍數(shù)。頻率特性曲線時(shí)間常數(shù)靜態(tài)放大倍數(shù)傳遞函數(shù)1.對(duì)于0型系統(tǒng)可見(jiàn)，0型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在低頻處的高度為20lgK0[-40][-20][-20]2.對(duì)于I型系統(tǒng)

可見(jiàn)，如果系統(tǒng)各轉(zhuǎn)角頻率均大于1，I型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在ω=1處的高度

；。1[-20][-40][-60][-40][-60]

如果系統(tǒng)有的轉(zhuǎn)角頻率小于1，則首段-20dB/dec斜率線的延長(zhǎng)線與ω=1線的交點(diǎn)高度為。1[-20][-40][-40]3.對(duì)于

II

型系統(tǒng)1[-40][-60][-40][-20][-40]可見(jiàn)，如果系統(tǒng)各轉(zhuǎn)角頻率均大于1，II型系統(tǒng)幅頻特性伯德圖在ω=1

處的高度；[-60]

如果系統(tǒng)有的轉(zhuǎn)角頻率小于1，則首段-40dB/dec斜率線的延長(zhǎng)線與ω=1

線的交點(diǎn)高度為。1[-40][-40][-20][-40]例：