第二章電磁場(chǎng)的基本方程

第二章電磁場(chǎng)基本方程

Electromagneticfieldequations§2.0

電磁場(chǎng)的源§2.1

靜態(tài)電磁場(chǎng)的基本定律和基本場(chǎng)矢量

§2.2

法拉弟電磁感應(yīng)定律和全電流定律

§2.3

麥克斯韋方程組

§2.4

電磁場(chǎng)的邊界條件§2.5

唯一性定理

本章要求正確理解產(chǎn)生電磁場(chǎng)的源，并掌握其表示方法

正確理解并熟練掌握電磁場(chǎng)各物理量的定義及其物理意義掌握恒定電場(chǎng)、磁場(chǎng)的基本方程與邊界條件，熟悉恒定電場(chǎng)、磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，熟練運(yùn)用高斯定理、安培環(huán)路定律求解具有一定對(duì)稱性分布的電場(chǎng)、磁場(chǎng)麥克斯韋方程是描述宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，是求解電磁場(chǎng)與波問題的基本方程，必須牢固掌握其積分和微分形式，深刻理解其物理意義邊界條件是不同媒質(zhì)分界面上的場(chǎng)方程，也是麥?zhǔn)戏匠淘谶吔缑嫔系谋憩F(xiàn)形式，在求解電磁邊值問題中起定解作用，必須正確理解和使用一、電荷與電荷密度Chargeandchargedensity1、體電荷密度體電荷：電荷連續(xù)分布在一定體積內(nèi)形成的電荷體。體電荷密度的定義：在電荷空間V內(nèi)，任取體積元，其中電荷量為§2.0電磁場(chǎng)的源量Sourceof

Electromagneticfield

電荷和電流是產(chǎn)生電磁場(chǎng)的源2、面電荷密度面電荷：當(dāng)電荷只存在于一個(gè)薄層上時(shí)，稱電荷為面電荷。體電荷密度的定義：在面電荷上，任取面積元，其中電荷量為3、線電荷密度線電荷：當(dāng)電荷只分布在一條細(xì)線上時(shí)，稱電荷為線電荷。線電荷密度的定義：在線電荷上，任取線元，其中電荷量為4、點(diǎn)電荷點(diǎn)電荷：當(dāng)電荷體體積非常小，可忽略其體積時(shí)，稱為點(diǎn)電荷。點(diǎn)電荷可看作是電量q無限集中于一個(gè)幾何點(diǎn)上。運(yùn)動(dòng)的電荷形成電流。電流大小用電流強(qiáng)度I描述。電流強(qiáng)度I的定義：設(shè)在時(shí)間內(nèi)通過某曲面S的電量為，則定義通過曲面S的電流為：電流強(qiáng)度的物理意義：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)流過曲面S的電荷量。恒定電流：電流大小恒定不變。即：二、電流與電流密度Electroniccurrent(density)

引入電流密度矢量描述空間電流分布狀態(tài)。1、體電流密度VolumeElectroniccurrentdensity

體電流：電荷在一定體積空間內(nèi)流動(dòng)所形成的電流體電流密度定義：設(shè)正電荷沿方向流動(dòng)，則在垂直方向上取一面元，若在時(shí)間內(nèi)穿過面元的電荷量為，則：為空間中電荷體密度，為正電荷流動(dòng)速度。2)2、面電流密度SurfaceElectroniccurrentdensity當(dāng)電荷只在一個(gè)薄層內(nèi)流動(dòng)時(shí)，形成的電流為面電流。面電流密度定義：電流在曲面S上流動(dòng)，在垂直于電流方向取一線元，若通過線元的電流為，則定義2）若表面上電荷密度為，且電荷沿某方向以速度運(yùn)動(dòng)，則可推得此時(shí)面電流密度為：注意：體電流與面電流是兩個(gè)獨(dú)立概念，并非有體電流就有面電流。3）穿過任意曲線的電流：證明1）的方向?yàn)殡娏鞣较颍凑姾蛇\(yùn)動(dòng)方向）討論：3、線電流與電流元電荷只在一條線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，形成的電流即為線電流。電流元：長(zhǎng)度為無限小的線電流元?！?.1靜態(tài)電場(chǎng)的基本定律基本場(chǎng)矢量：電場(chǎng)強(qiáng)度E電通量密度（電位移矢量）D磁通量密度(磁感應(yīng)強(qiáng)度)B磁場(chǎng)強(qiáng)度H基本定律：庫(kù)侖定律高斯定理畢奧-薩伐定律安培環(huán)路定律靜電場(chǎng)：由靜止電荷產(chǎn)生。即：恒定電磁、場(chǎng)：恒定電流所產(chǎn)生的電場(chǎng)和磁場(chǎng)。靜態(tài)電磁場(chǎng)：不隨時(shí)間發(fā)生變化靜電場(chǎng)、恒定電場(chǎng)、恒定磁場(chǎng)圖2-1兩點(diǎn)電荷間的作用力

庫(kù)侖定律描述了真空中兩個(gè)點(diǎn)電荷間相互作用力的規(guī)律。一、庫(kù)侖定律Coulomb’sLaw2.1.1庫(kù)侖定律和電場(chǎng)強(qiáng)度

Coulomb’sLawandElectronicFieldIndensity式中,K是比例常數(shù),r是兩點(diǎn)電荷間的距離,是從q1指向q2的單位矢量。若q1和q2同號(hào),該力是斥力,異號(hào)時(shí)為吸力。在國(guó)際單位制中,庫(kù)侖定律表達(dá)為式中,q1和q2的單位是庫(kù)侖(C),r的單位是米(m),ε0是真空的介電常數(shù):說明：2、庫(kù)侖定律是在無限大的均勻、線性、各向同性介質(zhì)中總結(jié)出的實(shí)驗(yàn)定律。1、靜止點(diǎn)電荷之間的相互作用力稱為靜電力。兩個(gè)點(diǎn)電荷之間靜電力的大小與兩個(gè)電荷的電量成正比、與電荷之間距離的平方成反比，方向在兩個(gè)電荷的連線上。3、靜電力遵從疊加原理，當(dāng)有多個(gè)點(diǎn)電荷存在時(shí)，其中任一個(gè)點(diǎn)電荷受到的靜電力是其他各點(diǎn)電荷對(duì)其作用力的矢量疊加4、對(duì)于連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)（如體電荷、面電荷和線電荷），靜電力的求解不能簡(jiǎn)單地使用庫(kù)侖定律，必須進(jìn)行矢量積分5)由庫(kù)侖定律知,在離點(diǎn)電荷q距離為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度為二、電場(chǎng)強(qiáng)度單位正電荷在電場(chǎng)中所受的作用力稱為該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度，以E表示。式中q

為試驗(yàn)電荷的電量，F(xiàn)為電荷q受到的作用力。說明：1）對(duì)q取極限是避免引入試驗(yàn)電荷影響原電場(chǎng)；2）電場(chǎng)強(qiáng)度的方向與電場(chǎng)力的方向一致；3）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小與試驗(yàn)電荷q的電量無關(guān)。4)電場(chǎng)的單位：牛頓/庫(kù)侖(N/C)定義：1.介質(zhì)分子的電偶極矩(Electricdipolemoment):介質(zhì)中的分子一般有兩種類型，一種分子的正負(fù)電荷中心重合，沒有電偶極矩，稱為無極分子；另一種分子的正負(fù)電荷中心不重合，有電偶極矩，稱為有極分子。在熱平衡的情況下，分子無規(guī)則運(yùn)動(dòng)，其取向各方向均等，宏觀上不顯出電偶極矩和電特性

無極分子有極分子§2.1.2介質(zhì)極化

DielectricPolarization

一、極化與極化強(qiáng)度矢量Polarizationintensity2.介質(zhì)的極化在電場(chǎng)作用下，無極分子正負(fù)電荷的中心相對(duì)位移，變?yōu)橛袠O分子。有極分子的取向?qū)⒀仉妶?chǎng)方向呈現(xiàn)一定的規(guī)則性，宏觀上出現(xiàn)電偶極矩，這就是介質(zhì)的極化。無極分子的極化稱為位移極化，有極分子的極化稱為取向極化。有極分子無極分子Ea式中e

稱為極化率，它是一個(gè)正實(shí)數(shù)。

3.極化強(qiáng)度矢量大多數(shù)介質(zhì)在電場(chǎng)的作用下發(fā)生極化時(shí)，其極化強(qiáng)度

與介質(zhì)中的合成電場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即極化強(qiáng)度矢量描述了介質(zhì)極化的程度，它等于單位體積內(nèi)的電偶極矩，即其中為小體積ΔV中的第i個(gè)分子的電偶極矩，對(duì)ΔV中的所有分子進(jìn)行求和。V應(yīng)理解為物理無限小的體積媒質(zhì)被極化后，在媒質(zhì)體內(nèi)和分界面上會(huì)出現(xiàn)電荷分布，這種電荷被稱為極化電荷。介質(zhì)中的極化電荷不能離開分子移動(dòng)，所以又稱為束縛電荷。極化電荷的分布用極化電荷體密度P或極化電荷面密度SP來表示。

1、體極化電荷Volume

polarizationcharge介質(zhì)被極化后，每個(gè)分子可以看作是一個(gè)電偶極子，其電偶極矩為在介質(zhì)體內(nèi)取閉合面S，在閉合面S所圍體積內(nèi)取小體積元穿出dS面的電荷量為：二、極化電荷（束縛電荷）Polarizationcharge穿出整個(gè)S面的電荷量為：由電荷守恒和電中性性質(zhì)，S面所圍電荷量為說明：若媒質(zhì)均勻極化（與空間位置無關(guān)），則介質(zhì)無體極化電荷。均勻媒質(zhì)被極化后，一般不存在體極化電荷。它反映了空間任意點(diǎn)極化強(qiáng)度與極化電荷分布之間的關(guān)系，通?？捎脕砬蠼饨橘|(zhì)內(nèi)部的極化電荷分布。2、面極化電荷surface

polarizationcharge

穿出面元dS

的電荷量為：式中：為媒質(zhì)極化強(qiáng)度為媒質(zhì)表面外法向單位矢量這就是極化強(qiáng)度與表面極化電荷密度的關(guān)系，它通常被用來求解介質(zhì)受到極化時(shí)而產(chǎn)生的表面極化電荷分布。polarizationintensity3、兩種介質(zhì)分界面上的極化電荷

說明：1)極化電荷不能自由運(yùn)動(dòng)，也稱為束縛電荷2)由電荷守恒定律，極化電荷總量為零；3)極化媒質(zhì)分界面上一般存在極化電荷；4)若極化媒質(zhì)內(nèi)存在自由電荷，則在自由電荷處一般存在極化電荷。此式表明，各向異性介質(zhì)中，電位移的方向與電場(chǎng)強(qiáng)度的方向不一定相同，電位移某一分量可能與電場(chǎng)強(qiáng)度的各個(gè)（或者某些）分量有關(guān)。電位移和電場(chǎng)強(qiáng)度的關(guān)系與外加電場(chǎng)的方向有關(guān)。此外，可以推知均勻介質(zhì)的介電常數(shù)與空間坐標(biāo)無關(guān)。線性介質(zhì)的介電常數(shù)與電場(chǎng)強(qiáng)度的大小無關(guān)。靜止媒質(zhì)的介電常數(shù)與時(shí)間無關(guān)。各向異性介質(zhì)中微分形式矢量(ε0E+P)的散度僅與自由電荷有關(guān),稱該矢量為電通密度(或稱電位移矢量),其單位為C/m2(庫(kù)/米2),用D表示,三、電介質(zhì)中的方程高斯定理介質(zhì)中穿過任一閉合面的電位移的通量等于該閉合面包圍的自由電荷，而與束縛電荷無關(guān)。用此式求解介質(zhì)中靜電場(chǎng)分布時(shí)不需要再考慮極化電荷，此時(shí)極化電荷的作用已經(jīng)包含在等式左邊的D之中電位移矢量D在空間形成一個(gè)有源場(chǎng)，自由電荷是其散度源。某點(diǎn)電位移的散度等于該點(diǎn)自由電荷的體密度說明：將上式兩邊在任一體積V內(nèi)積分,并應(yīng)用散度定理積分形式由于極化電荷只是靜電場(chǎng)的散度源，對(duì)其旋度沒有影響，因此在介質(zhì)中靜電場(chǎng)的旋度不變，仍有介質(zhì)中的環(huán)路定理旋度方程式中：為真空中的介電常數(shù)為媒質(zhì)的極化強(qiáng)度為外加電場(chǎng)強(qiáng)度(Electricfieldintensity)討論：1）式中：稱為電介質(zhì)的介電常數(shù)。稱為電介質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)。電介質(zhì)的本構(gòu)關(guān)系四、電位移矢量

(ElectricDisplacement,ElectricFluxDensity)2）真空中的本構(gòu)關(guān)系為：3）真空中點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位移矢量為：4）真空中靜電場(chǎng)的基本方程：實(shí)際中經(jīng)常使用介電常數(shù)的相對(duì)值，這種相對(duì)值稱為相對(duì)介電常數(shù)，以r

表示，其定義為可見，任何介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)總是大于1。幾種介質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)的近似值。介質(zhì)介質(zhì)空氣1.0石英3.3油2.3云母6.0紙1.3~4.0陶瓷5.3~6.5有機(jī)玻璃2.6~3.5純水81石臘2.1樹脂3.3聚乙烯2.3聚苯乙烯2.6rr2相對(duì)介電常數(shù)駐極體：外場(chǎng)消失后，仍保持極化狀態(tài)的電介質(zhì)體。解：在駐極體內(nèi)：駐極體在表面上：求半徑為a，永久極化強(qiáng)度為的球形駐極體中的極化電荷分布。已知：例題一解：由定義，知：在線性均勻媒質(zhì)中，已知電位移矢量的z分量為，極化強(qiáng)度求：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移矢量。例題二是媒質(zhì)的介電常數(shù),在真空中ε=ε0。這樣,對(duì)真空中的點(diǎn)電荷q,除電場(chǎng)強(qiáng)度E外,描述電場(chǎng)的另一個(gè)基本量是電通量密度D,又稱為電位移矢量。在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中,電通量密度由下式定義:

一、電通量密度：Electronicflux電通量:電位移矢量在某一曲面上的面積分就是矢量通過該曲面的電通量二、高斯定理2.1.3高斯定理,電通量密度

Gauss’sLaw,ElectronicfluxGauss’sLaw

此通量?jī)H取決于點(diǎn)電荷量q,

而與所取球面的半徑無關(guān)。如果在封閉面內(nèi)的電荷不止一個(gè),則利用疊加原理知,穿出封閉面的電通量總和等于此面所包圍的總電量即穿過任一封閉面的電通量,等于此面所包圍的自由電荷總電量取積分曲面為半徑為r的球面，電通量為：高斯定理：說明：若封閉面所包圍的體積內(nèi)的電荷是以體密度ρv分布的,則所包圍的總電量為上式對(duì)不同的V都應(yīng)成立,因此兩邊被積函數(shù)必定相等,于是有高斯定理的微分形式三、利用高斯定理求解靜電場(chǎng)關(guān)鍵：高斯面的選擇。高斯面的選擇原則：用高斯定理求解電場(chǎng)的方法只能適用于一些呈對(duì)稱分布的電荷系統(tǒng)。1）場(chǎng)點(diǎn)位于高斯面上；2）高斯面為閉合面；3）在整個(gè)或分段高斯面上，或?yàn)楹愣ㄖ怠Ｇ笳婵罩邪霃綖閍，帶電量為Q的導(dǎo)體球在球外空間中產(chǎn)生E。分析：電場(chǎng)方向沿半徑方向：電場(chǎng)大小只與場(chǎng)點(diǎn)距離球心的距離相關(guān)。解：在球面上取面元ds，該面元在P點(diǎn)處產(chǎn)生的電場(chǎng)徑向分量為：式中：例題一說明：與位于球心的點(diǎn)電荷Q在空間中產(chǎn)生的電場(chǎng)等效。已知真空中電荷分布函數(shù)為：式中r為球坐標(biāo)系中的半徑求空間各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由高斯定理r>a例2.2.1畢奧-薩伐定律,磁通量密度TheBiot-SavartLaw,Magneticfluxdensity

運(yùn)動(dòng)電荷在磁場(chǎng)中受到的作用力的特點(diǎn)：與電荷量及運(yùn)動(dòng)速度的大小成正比，而且還與電荷的運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。電荷沿某一方向運(yùn)動(dòng)時(shí)受力最大，而垂直此方向運(yùn)動(dòng)時(shí)受力為零。受力為零的方向?yàn)榱憔€方向如果最大作用力為Fm

，則實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)沿偏離零線方向

角度運(yùn)動(dòng)時(shí)，受力為Fmsin磁場(chǎng)的重要特性：會(huì)對(duì)處于其中的運(yùn)動(dòng)電荷（電流）產(chǎn)生力的作用，稱為磁場(chǎng)力。磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量

:描述空間磁場(chǎng)分布。一、磁感應(yīng)強(qiáng)度Magneticfluxdensity

§2.2靜態(tài)磁場(chǎng)的基本定律在磁場(chǎng)空間中，以速度運(yùn)動(dòng)的電荷q0所受的作用力為說明：

稱為磁感應(yīng)強(qiáng)度或磁通密度，單位為T（特斯拉）。其方向與電荷受磁場(chǎng)力為零時(shí)的運(yùn)動(dòng)方向相同。兩個(gè)載流回路間的作用力

真空中，兩電流回路C1,C2，載流分別為I1,I2，則：

r是電流元I′dl′至Idl的距離,是由dl′指向dl的單位矢量,μ0是真空的磁導(dǎo)率:二、畢奧-薩伐定律TheBiot-SavartLaw兩個(gè)電流回路之間的作用力為：安培力定律:Ampere’sforcelaw電流元在磁場(chǎng)中受到的磁場(chǎng)力為：若由電流元產(chǎn)生，則由安培力定律可知，電流元產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：畢奧－薩伐爾定律說明：、、三者滿足右手螺旋關(guān)系。二、電流元產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁場(chǎng)強(qiáng)度1、體電流三、體電流與面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度2、面電流3、載流為I的無限長(zhǎng)線電流在空間中產(chǎn)生磁場(chǎng)例題一求半徑為a的電流環(huán)在其軸線上產(chǎn)生的磁場(chǎng)。分析：在軸線上，磁場(chǎng)方向沿z向。電流分布呈軸對(duì)稱。解：建立如圖柱面坐標(biāo)系。在電流環(huán)上任取電流元，令其坐標(biāo)位置矢量為。易知：例2.1參看圖2-3,長(zhǎng)2l的直導(dǎo)線上流過電流I。求真空中P點(diǎn)的磁通量密度。圖2-3載流直導(dǎo)線

解

采用柱坐標(biāo),電流Idz′到P點(diǎn)的距離矢量是解

采用柱坐標(biāo),電流Idz′到P點(diǎn)的距離矢量是對(duì)無限長(zhǎng)直導(dǎo)線,l→∞,有在磁場(chǎng)作用下，磁介質(zhì)將產(chǎn)生磁化現(xiàn)象。一、磁化與磁化強(qiáng)度矢量1、分子電流模型電子繞核運(yùn)動(dòng)，形成分子電流。分子電流將產(chǎn)生微觀磁場(chǎng)。分子電流的磁特性可用分子極矩表示。2.2.2

物質(zhì)的磁化現(xiàn)象電子運(yùn)動(dòng)形成的微觀電流分子電流所圍面元2、介質(zhì)的磁化現(xiàn)象磁化前，分子極矩取向雜亂無章，磁介質(zhì)宏觀上無任何磁特性。磁介質(zhì)內(nèi)存在外加磁場(chǎng)時(shí)：大量分子的分子極矩取向與外加磁場(chǎng)趨于一致，宏觀上表現(xiàn)出磁特性。這一過程即稱為磁化。3、磁化強(qiáng)度矢量磁化強(qiáng)度矢量描述磁介質(zhì)被磁化的程度。物理意義：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)分子磁矩的矢量和。MagnetizationVector磁介質(zhì)被磁化后，內(nèi)部和表面可能會(huì)出現(xiàn)附加電流，稱這種電流為磁化電流（束縛電流）。內(nèi)部和表面的電流分別稱為體磁化電流和面磁化電流。若媒質(zhì)的磁化強(qiáng)度為，則：二、磁化電流磁化電流體磁化電流密度面磁化電流密度媒質(zhì)表面外法向方向1、若媒質(zhì)被均勻磁化，無體磁化電流；磁化電流只會(huì)出現(xiàn)在介質(zhì)表面上

2、磁化介質(zhì)表面一般存在磁化電流；3、磁化電流仍然遵循電流守恒關(guān)系；4、若在磁介質(zhì)內(nèi)部存在自由線電流，則在自由電流處存在磁化線電流。說明：當(dāng)磁介質(zhì)中存在磁場(chǎng)時(shí)：磁介質(zhì)中的磁通量為：磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量，定義三、磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量

Magneticfieldintensity一般介質(zhì)被磁化的程度與外加磁場(chǎng)強(qiáng)度成正比，即：式中：為磁介質(zhì)的磁化率（磁化系數(shù)）磁媒質(zhì)本構(gòu)關(guān)系式中：稱為媒質(zhì)相對(duì)磁導(dǎo)率稱為媒質(zhì)磁導(dǎo)率((Relative)permeability)

(Relative)Permittivity已知半徑為a，長(zhǎng)度為l的圓柱形磁性材料，沿軸線方向獲得均勻磁化。若磁化強(qiáng)度為M，試求位于圓柱軸線上距離遠(yuǎn)大于圓柱半徑

P點(diǎn)處由磁化電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度。xyzlP(0,0,z)0a解取圓柱坐標(biāo)系，令z

軸與圓柱軸線一致，如圖示。又表面磁化電流密度式中en

為表面的外法線方向上單位矢。因，所以表面磁化電流密度僅存在于圓柱側(cè)壁，上下端面的磁化電流密度為零。因此例由于是均勻磁化，磁化強(qiáng)度與坐標(biāo)無關(guān)，因此，，即體分布的磁化電流密度為零。0=?=￠MJxyzlP(0,0,z)zdz'0a顯然，這種表面磁化電流在側(cè)壁上形成環(huán)形電流。位于z處寬度為dz

的環(huán)形電流為(

dz)，那么該環(huán)形電流在軸線上z

處(z>>a)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度dB

為那么側(cè)壁上全部磁化電流在軸線上z

處產(chǎn)生的合成磁感應(yīng)強(qiáng)度為計(jì)算電流環(huán)產(chǎn)生的BxyzlP(0,0,z)zdz'0az-z′>>a若媒質(zhì)2為空氣，媒質(zhì)1為鐵磁媒質(zhì)。即：物理意義：磁場(chǎng)由鐵磁體物體穿出進(jìn)入一個(gè)非磁性物質(zhì)的區(qū)域時(shí)，磁場(chǎng)幾乎垂直于鐵磁體物質(zhì)的表面。在鐵磁媒質(zhì)表面，磁場(chǎng)方向與表面垂直。若媒質(zhì)1為空氣，媒質(zhì)2為鐵磁媒質(zhì)物理意義：磁場(chǎng)由非磁性物質(zhì)穿出進(jìn)入一個(gè)鐵磁體物體的區(qū)域時(shí)，對(duì)任意一個(gè)不接近零的角度1，在磁體媒質(zhì)中的磁場(chǎng)幾乎與分界面平行。無限長(zhǎng)線電流位于z軸，介質(zhì)分界面為水平面，求空間的分布和磁化電流分布。分析：電流呈軸對(duì)稱分布?？捎冒才喹h(huán)路定律求解。磁場(chǎng)方向沿方向。解：磁場(chǎng)方向與邊界面相切，由邊界條件知，在分界面兩邊，連續(xù)而不連續(xù)。由安培環(huán)路定律：例題4求磁化電流：介質(zhì)磁化強(qiáng)度為：體磁化電流為：面磁化電流為：在介質(zhì)內(nèi)r=0位置，還存在磁化線電流Im。由安培環(huán)路定律，有：分析:可由電流守恒的關(guān)系求如圖，鐵心磁環(huán)尺寸和橫截面如圖，已知鐵心磁導(dǎo)率，磁環(huán)上繞有N匝線圈，通有電流I。求:(1)磁環(huán)中的，。(2)若在鐵心上開一小切口，計(jì)算磁環(huán)中的，。解：(1)由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得例題5(2)開切口后，在切口位置為邊界問題。在切口處，磁場(chǎng)垂直于邊界面，由邊界條件知在分界面上連續(xù)，大小為B,不連續(xù)。設(shè)環(huán)內(nèi)外的H分別為H1、H2由安培環(huán)路定律，在磁環(huán)內(nèi)取閉合積分回路，則可得由于鐵心很細(xì)，可近似認(rèn)為磁力線均勻分布在截面上。在簡(jiǎn)單媒質(zhì)中,磁場(chǎng)強(qiáng)度H由下式定義:

在恒定磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量沿任意閉合路徑的環(huán)量等于其與回路交鏈的電流之和，即：稱為媒質(zhì)磁導(dǎo)率。為真空中的磁場(chǎng)強(qiáng)度Magneticfieldintensity安培環(huán)路定律Ampere’scircuitallaw安培環(huán)路定律(積分形式)2.2.3安培環(huán)路定律、磁場(chǎng)強(qiáng)度對(duì)無限長(zhǎng)直導(dǎo)線因?yàn)镾面是任意取的,所以必有由斯托克斯定理，J為電流密度，是一個(gè)矢量，電流密度的方向?yàn)檎姾傻倪\(yùn)動(dòng)方向，其大小為單位時(shí)間內(nèi)垂直穿過單位面積的電荷量。安培環(huán)路定律(微分形式)在靜電場(chǎng)中E沿任何閉合路徑的線積分恒為零:利用斯托克斯定理得由于電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度為0，可引入電位函數(shù)φ，使物理意義：靜態(tài)電場(chǎng)是無旋場(chǎng)即保守場(chǎng)在靜態(tài)電場(chǎng)中將單位電荷沿任一閉合路徑移動(dòng)一周，靜電力做功為零——靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)。（電力線不構(gòu)成閉合回路）一、電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度2.2.4兩個(gè)補(bǔ)充的基本方程二、磁場(chǎng)強(qiáng)度的散度：在恒定磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量穿過任意閉合面的磁通量為0，即：散度定理磁通連續(xù)性定律（積分形式）孤立磁荷不存在磁力線在空間任意位置是連續(xù)的。孤立磁荷不存在

(A)≡0，故B可用一矢量函數(shù)的旋度來表示。

結(jié)論：2.3.1法拉第電磁感應(yīng)定律

(Faraday’sLawofInduction)

靜態(tài)場(chǎng):場(chǎng)大小不隨時(shí)間發(fā)生改變(靜電場(chǎng),恒定電、磁場(chǎng))

時(shí)變場(chǎng):場(chǎng)的大小隨時(shí)間發(fā)生改變。特性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互激勵(lì)，從而形成不可分隔的統(tǒng)一的整體，稱為電磁場(chǎng)。特性：電場(chǎng)和磁場(chǎng)相互獨(dú)立，互不影響。一、電磁感應(yīng)現(xiàn)象與楞次定律電磁感應(yīng)現(xiàn)象——實(shí)驗(yàn)表明：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí)，回路中會(huì)出現(xiàn)感應(yīng)電流。

楞次定律：回路總是企圖以感應(yīng)電流產(chǎn)生的穿過回路自身的磁通，去反抗引起感應(yīng)電流的磁通量的改變?！?.3

Time-varyingElectromagneticFields法拉第電磁感應(yīng)定律和全電流定律法拉第電磁感應(yīng)定律：當(dāng)穿過導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生改變時(shí)，回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與回路磁通量的時(shí)間變化率成正比關(guān)系。數(shù)學(xué)表示：說明：“-”號(hào)表示回路中產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的作用總是要阻止回路磁通量的改變。二、法拉第電磁感應(yīng)定律當(dāng)回路以速度v運(yùn)動(dòng)時(shí)，斯托克斯定理法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式說明：感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)由兩部分組成，第一部分是磁場(chǎng)隨時(shí)間變化在回路中“感生”的電動(dòng)勢(shì);第二部分是導(dǎo)體回路以速度v對(duì)磁場(chǎng)作相對(duì)運(yùn)動(dòng)所引起的“動(dòng)生”電動(dòng)勢(shì)當(dāng)回路靜止時(shí)，變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)物理意義：1、某點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率的負(fù)值等于該點(diǎn)時(shí)變電場(chǎng)強(qiáng)度的旋度。2、感應(yīng)電場(chǎng)是有旋場(chǎng)，其旋渦源為，即磁場(chǎng)隨時(shí)間變化的地方一定會(huì)激發(fā)起電場(chǎng)，并形成旋渦狀的電場(chǎng)分布。

電流連續(xù)性方程時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)流出S的電荷量為電荷守恒定律：時(shí)間內(nèi)，V內(nèi)電荷改變量為由電流強(qiáng)度定義：電流連續(xù)性方程的微分形式電流連續(xù)性方程積分形式2.3.2位移電流和全電流定律在時(shí)變情況下另一方面，由得到了兩個(gè)相互矛盾的結(jié)果。位移電流在的右端加一修正項(xiàng)則是電位移矢量對(duì)時(shí)間的變化率，具有電流密度的量綱，稱為位移電流密度

:全電流定律由積分形式：物理意義：該定律包含了隨時(shí)間變化的電場(chǎng)能夠產(chǎn)生磁場(chǎng)這樣一個(gè)重要概念，也是電磁場(chǎng)的基本方程之一。磁場(chǎng)強(qiáng)度沿任意閉合路徑的線積分等于該路徑所包曲面上的全電流。

推廣的安培環(huán)路定理全電流定律全電流變化的電場(chǎng)能產(chǎn)生磁場(chǎng)對(duì)任意封閉面S有

2.3.3全電流連續(xù)性原理

物理意義：穿過任一封閉面的各類電流之和恒為零。這就是全電流連續(xù)性原理。將它應(yīng)用于只有傳導(dǎo)電流的回路中,得知節(jié)點(diǎn)處傳導(dǎo)電流的代數(shù)和為零(流出的電流取正號(hào),流入取負(fù)號(hào))。這就是基爾霍夫(G.R.Kirchhoff,德)電流定律:ΣI=0。

例：在z=0和z=d位置有兩個(gè)無限大理想導(dǎo)體板，在極板間存在時(shí)變電磁場(chǎng)，其電場(chǎng)強(qiáng)度為求：(1)該時(shí)變場(chǎng)相伴的磁場(chǎng)強(qiáng)度；例題解：(1)由法拉第電磁感應(yīng)定律微分形式設(shè)平板電容器兩端加有時(shí)變電壓U,試推導(dǎo)通過電容器的電流I與U的關(guān)系。

圖2-4平板電容器例2.2解：

設(shè)平板尺寸遠(yuǎn)大于其間距,則板間電場(chǎng)可視為均勻,即E=U/d,從而得式中C=εA/d為平板電容器的電容。

§2.4麥克斯韋方程組Maxwell’sEquations

（推廣的安培環(huán)路定律）（法拉第電磁感應(yīng)定律）（磁通連續(xù)性定律）（高斯定律）一、麥克斯韋方程組的微分形式時(shí)變電磁場(chǎng)的源：

1、真實(shí)源（變化的電流和電荷）；

2、變化的電場(chǎng)和變化的磁場(chǎng)。時(shí)變電場(chǎng)的方向與時(shí)變磁場(chǎng)的方向處處相互垂直。物理意義：時(shí)變電場(chǎng)是有旋有散的，時(shí)變磁場(chǎng)是有旋無散的。但是，時(shí)變電磁場(chǎng)中的電場(chǎng)與磁場(chǎng)是不可分割的，因此，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋有散場(chǎng)。在電荷及電流均不存在的無源區(qū)中，時(shí)變電磁場(chǎng)是有旋無散的。電場(chǎng)線與磁場(chǎng)線相互交鏈，自行閉合，從而在空間形成電磁波。麥克斯韋方程組的地位：揭示了電磁場(chǎng)場(chǎng)量與源之間的基本關(guān)系，揭示了時(shí)變電磁場(chǎng)的基本性質(zhì)，是電磁場(chǎng)理論的基礎(chǔ)。二、麥克斯韋方程組的積分形式麥克斯韋方程組是描述宏觀電磁現(xiàn)象的普遍規(guī)律，靜電場(chǎng)和恒定磁場(chǎng)的基本方程都是麥克斯韋方程組的特殊情況。電流連續(xù)性方程也可以由麥克斯韋方程組導(dǎo)出。在麥克斯韋方程組中，沒有限定場(chǎng)矢量D、E、H、B之間的關(guān)系，它們適用于任何媒質(zhì)，通常稱為麥克斯韋方程組的非限定形式本構(gòu)關(guān)系將本構(gòu)關(guān)系代入麥克斯韋方程組，則得麥克斯韋方程組限定形式與媒質(zhì)特性相關(guān)。三、麥克斯韋方程組的限定形式麥克斯韋方程組限定形式Constitutiveequations四、廣義的麥克斯韋方程組引進(jìn)磁流密度Jm和磁荷密度m后，麥?zhǔn)戏匠套優(yōu)?/p>

若媒質(zhì)參數(shù)與位置無關(guān),稱為均勻(homogeneous)媒質(zhì);;若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)大小無關(guān),稱為線性(linear)媒質(zhì);;若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)方向無關(guān),稱為各向同性(isotropic)媒質(zhì);;若媒質(zhì)參數(shù)與場(chǎng)強(qiáng)頻率無關(guān),稱為非色散媒質(zhì);反之稱為色散(dispersive)媒質(zhì)。四、媒質(zhì)的分類2.4證明導(dǎo)電媒質(zhì)內(nèi)部ρv=0。;［解］利用電流連續(xù)性方程(2-31),并考慮到J=σE,有

其解為

例導(dǎo)體內(nèi)的電荷極快地衰減,使得其中的ρv可看作零。

銅σ=5.8×107S/mε=ε0

τ=1.5×10-19sρv隨時(shí)間按指數(shù)減小馳豫時(shí)間:衰減至ρv0的1/e即36.8%的時(shí)間,τ=ε/σ(s)一、一般媒質(zhì)分界面上的邊界條件()§2.5

電磁場(chǎng)的邊界條件在不同媒質(zhì)的分界面上，媒質(zhì)的電磁參數(shù)、、發(fā)生突變，因而分界面處的場(chǎng)矢量E、H、D、B也會(huì)突變，麥克斯韋方程組的微分形式失去意義。此時(shí)，有限空間中場(chǎng)量之間的關(guān)系是由積分形式的麥克斯韋方程組制約的，邊界條件就由它導(dǎo)出。

1、的邊界條件Theboundaryconditionsfortime-varyingfields為表面?zhèn)鲗?dǎo)電流密度。式中：為由媒質(zhì)2－>1的法向。特殊地，若介質(zhì)分界面上不存在傳導(dǎo)電流，則結(jié)論：當(dāng)分界面上存在傳導(dǎo)面電流時(shí)，切向不連續(xù)，其不連續(xù)量等于分界面上面電流密度。當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在傳導(dǎo)面電流時(shí)，切向連續(xù)。JsJv只有在理想導(dǎo)體表面才存在Js

2、的邊界條件結(jié)論：只要磁感應(yīng)強(qiáng)度的時(shí)間變化率是有限的，切向連續(xù)。3、的邊界條件結(jié)論：在邊界面上，法向連續(xù)。4、的邊界條件為分界面上自由電荷面密度。特殊地：若媒質(zhì)為理想介質(zhì)，則,此時(shí)有當(dāng)分界面上存在自由電荷時(shí)，切向不連續(xù)，其不連續(xù)量等于分界面上面電荷密度。當(dāng)且僅當(dāng)分界面上不存在自由電荷時(shí)，切向連續(xù)。5、J的邊界條件在理想介質(zhì)分界面上，不存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。二、理想介質(zhì)分界面上的邊界條件在理想介質(zhì)分界面上，矢量切向連續(xù)在理想介質(zhì)分界面上，矢量法向連續(xù)BoundaryconditionsBetweentwoPerfectdielectrics在理想導(dǎo)體內(nèi)部，在導(dǎo)體分界面上，一般存在自由電荷和傳導(dǎo)電流。式中：為導(dǎo)體外法向。三、理想導(dǎo)體分界面上的邊界條件

對(duì)于時(shí)變場(chǎng)中的理想導(dǎo)體，電場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相垂直，磁場(chǎng)總是與理想導(dǎo)體相切。BoundaryconditionsBetweenPerfectconductorsandperfectdielectric時(shí)變場(chǎng)的邊界條件包括四個(gè)關(guān)系式?？梢宰C明它們并不是相互獨(dú)立的，當(dāng)滿足兩個(gè)切向分