第二十七章2721相似三角形的判定第4課時(人教版九下)

27.2.1相似三角形的判定（第4課時）1.掌握“兩角對應相等，兩個三角形相似”的判定方法.（重點）2.掌握“斜邊的比等于一組直角邊的比的兩個直角三角形相似”.（重點）3.靈活運用三角形相似的判定方法，并能運用三角形相似的條件解決簡單的問題.（重點、難點）一、三角形相似的條件1.操作探究：作△ABC和△DEF，使∠A=∠D，∠B=∠E：(1)∠C與∠F的大小關(guān)系是：_____.(2)分別度量這兩個三角形的邊長，計算的值，可以發(fā)現(xiàn)，它們的值_____.（3）根據(jù)你的計算，猜想這兩個三角形的關(guān)系是_____.相等相等相似2.證明猜想：如圖：△ABC和△DEF，∠A=∠D，∠B=∠E.求證：△ABC∽△DEF.請將證明過程補充完整：在線段DE上截取DM=AB，過點M作MN∥EF，交DF于點N.∴△DMN∽______，∠DMN=∠E，又∵∠B=∠E，∴∠B=∠DMN，又∵∠A=∠D，AB=DM，∴△ABC≌_______.∴△ABC∽△DEF.【總結(jié)】_____對應相等，兩個三角形相似.△DEF△DMN兩角二、直角三角形相似的判定1.有_________對應相等的兩個直角三角形相似.2.兩組___________對應相等的兩個直角三角形相似.3._________等于_______________的兩個直角三角形相似.一個銳角直角邊的比斜邊的比一組直角邊的比（打“√”或“×”）（1）等腰直角三角形都相似.（）（2）有一組角對應相等的兩個等腰三角形相似.（）（3）有一組角對應相等的兩個直角三角形相似.（）(4)直角三角形與該三角形中被斜邊上的高分成的兩個較小的直角三角形彼此相似.（）√××√知識點1應用兩角相等判定三角形的相似【例1】如圖，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．(1)寫出圖中兩對相似三角形（不得添加輔助線）.(2)請分別說明（1）中兩對三角形相似的理由.

【思路點撥】∠BAD=∠CAE→∠BAC=∠DAE→△ABC∽△ADE→對應邊的比相等→△ABD∽△ACE.【自主解答】(1)△ABC∽△ADE,△ABD∽△ACE.(2)①證△ABC∽△ADE．∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC，即∠BAC=∠DAE.又∵∠ABC=∠ADE，∴△ABC∽△ADE.②證△ABD∽△ACE．∵△ABC∽△ADE，∴則又∵∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽△ACE.【總結(jié)提升】相似三角形的三類構(gòu)圖1.類型為平行線型（如圖）.2.類型為相交線型（如圖）.3.類型為旋轉(zhuǎn)型（如圖）.知識點2直角三角形相似的判定【例2】已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠ACB=∠A′C′B′=90°，CD，C′D′分別是兩個三角形斜邊上的高，且CD∶C′D′=AC∶A′C′.證明：△ABC∽△A′B′C′．【解題探究】1.要證△ABC∽△A′B′C′，需要證明什么？提示:需要證：∠A=∠A′或∠B=∠B′.2.要證明1中的條件，需證明什么？條件是否具備？提示:需證明：Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，這兩個直角三角形相似的條件已經(jīng)具備：CD∶C′D′=AC∶A′C′.3.根據(jù)1，2的解題思路完成證明過程.提示:證明如下：∵CD，C′D′分別是兩個三角形斜邊上的高，∴∠ADC=∠A′D′C′=90°，又∵CD∶C′D′=AC∶A′C′，∴Rt△ADC∽Rt△A′D′C′，∴∠A=∠A′.又∵∠ACB=∠A′C′B′=90°，∴△ABC∽△A′B′C′.【互動探究】△DBC與△D′B′C′相似嗎？為什么？提示:相似，由題中的結(jié)論可知∠B=∠B′，所以△DBC∽△D′B′C′.【總結(jié)提升】判定直角三角形相似的兩個思路1.找角：找直角三角形的一個銳角對應相等.2.找邊：（1）找兩組直角邊的比相等.（2）找斜邊的比和一直角邊的比對應相等.題組一:應用兩角相等判定三角形的相似1.(2013·淄博中考)如圖,直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠C=90°,∠BDA=90°,AB=a,BD=b,CD=c,BC=d,AD=e則下列等式成立的是()A.b2=ac B.b2=ceC.be=ac D.bd=ae【解析】選A.∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，又∵∠C=∠BDA，∴△CDB∽△DBA，∴，即，根據(jù)比例的基本性質(zhì)，得bd=ce，b2=ac，be=ad.2.如圖，∠1=∠2，添加一個條件使得△ADE∽△ACB：_____.【解析】∵∠1=∠2，∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE，即∠DAE=∠CAB.要使三角形相似，如根據(jù)兩角對應相等，兩三角形相似，則可加∠B=∠E或∠D=∠C；若根據(jù)兩邊對應成比例，夾角相等的兩三角形相似，則可添加答案:∠B=∠E或∠D=∠C或3.如圖，在△ABC中，AB=5，AC=4，點D在邊AB上，∠ACD=∠B，則AD的長為______.【解析】因為∠A=∠A，∠ACD=∠B，所以△ABC∽△ACD，所以，所以，即AD=答案:4.如圖，△ABC是等邊三角形，CE是外角平分線，點D在AC上，連接BD并延長與CE交于點E．求證：△ABD∽△CED．【證明】∵△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∠ACB＝60°，∠ACF＝120°．∵CE是外角平分線，∴∠ACE＝60°．∴∠BAC＝∠ACE．又∵∠ADB＝∠CDE，∴△ABD∽△CED．5.如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是△ABC的邊BC上的高，AE是⊙O的直徑，連接BE，△ABE與△ADC相似嗎？請證明你的結(jié)論.【解析】△ABE與△ADC相似．理由如下：在△ABE與△ADC中，∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE=90°.∵AD是△ABC的邊BC上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC．又∵同弧所對的圓周角相等，∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE∽△ADC．題組二:直角三角形相似的判定1.如圖，AB是⊙O的直徑，點C在圓上，CD⊥AB，DE∥BC,則圖中與△ABC相似的三角形的個數(shù)有（）A．4個B．3個C．2個D．1個【解析】選A.因為AB是直徑，所以∠ACB=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，所以有∠B=∠EDA=∠ECD，由此分析可知△CDE，△CDA，△AED，△BCD都與△ABC相似．2.如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點，AF⊥DE于點O，則等于()A.B.C.D.【解析】選D.∵AF⊥DE，四邊形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠AOD=90°.又∵∠ADO=∠EDA，∴△DAO∽△DEA，∴∴又∵E為AB的中點，∴即3.如圖，在△ABC中，∠C=90°，D是AC上一點，DE⊥AB于點E，若AC=8，BC=6，DE=3，則AD的長為（）A．3B．4C．5D．6【解析】選C.∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ACB，

在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB=10，∴AD=AB=5.4.如圖，△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3.半徑為1的圓的圓心P以1個單位/s的速度由點A沿AC方向在AC上移動，設移動時間為t（單位：s）.當t=_________s時，⊙P與AB相切.【解析】當⊙P在移動中與AB相切時，設切點為M，連接PM，則∠AMP=90°.∴△APM∽△ABC，∴∵AP=t,AB==5,∴，∴t=.答案:5.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于點D．求證：AB2＝AD·AC.【證明】∵BD⊥AC，∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC.又∵∠A=∠A，∴△ADB∽△ABC，∴，∴AB2=AD·AC.【歸納整合】證明等積式的思路1.先把等積式轉(zhuǎn)化成比例式.2.應用三點定形法確定所需證明相似的三角形：（1）橫向定形：觀察比例式的分子和分母，根據(jù)各自兩條線段中不同的三個字母確定要證的三角形.（2）縱向定形：等號左右兩邊的分子、分母所包含的不同的三個字母進行定形.（3）若出現(xiàn)四個字母或三個字母所表示的點在同一條直線上，則考慮通過相等的線段進行轉(zhuǎn)化.3.證明所確定的三角形相似.6.（2012·鐵嶺中考）已知：在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32.連接BD，AE⊥BD，垂足為E.（1）求證：△ABE∽△DBC.（2）求線段AE的長.【解析】（1）∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴∠ABD=∠DBC.∵AE⊥BD，∴∠AEB=∠C=90°，∴△ABE∽△DBC.