抽樣分布與估計(jì)課件

現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)與SAS統(tǒng)計(jì)推斷的過(guò)程樣本總體樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差總體均值、比例、方差等抽樣分布對(duì)總體X和給定的，若存在，使，則稱為X分布的上側(cè)分位數(shù)或分位數(shù)上側(cè)臨介值，使的稱為X分布的雙側(cè)分位數(shù)。特別地，若X的分布密度是關(guān)于軸對(duì)稱的，則它的雙側(cè)分位數(shù)是使的例1設(shè)求上側(cè)分位數(shù)及雙側(cè)分位數(shù)。解：上側(cè)分位數(shù)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)是：和例2設(shè)求上側(cè)分位數(shù)及雙側(cè)分位數(shù)。解：上側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)分位數(shù)設(shè)又是的一個(gè)樣本。則因?yàn)樗?，也服從正態(tài)分布。證法2：由獨(dú)立同分布的中心極限定理，又所以例3設(shè)是它的一個(gè)樣本，求解：正態(tài)總體的樣本均值的抽樣分布自由度記作正態(tài)總體的樣本方差的抽樣分布設(shè)又是的一個(gè)樣本。則統(tǒng)計(jì)量稱服從自由度為的分布，有時(shí)也將記作分布——即：服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的相互獨(dú)立的個(gè)隨機(jī)變量的平方和服從分布。分布的性質(zhì)設(shè)且它們相互獨(dú)立，則求的分布。解：例4設(shè)是它的一個(gè)樣本，樣本均值的抽樣分布與中心極限定理=50

=10X總體分布n=4抽樣分布Xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N~(μ,σ2)時(shí)，來(lái)自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布，X的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)中心極限定理(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(shí)(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布中心極限定理：設(shè)從均值為，方差為

2的一個(gè)任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時(shí)，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ、方差為σ2/n的正態(tài)分布一個(gè)任意分布的總體X例5設(shè)是它的一個(gè)樣本，求的分布。解：使例5設(shè)是它的一個(gè)樣本，求的分布。使解：例5設(shè)是它的一個(gè)樣本，求的分布。使解：查表得：即：（上側(cè)臨介值：）設(shè)且與相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記作：正態(tài)總體的樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比的抽樣分布該分布的密度函數(shù)圖形類似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的密度函數(shù)的圖形，越大越接近。例6設(shè)求上側(cè)分位數(shù)及雙側(cè)分位數(shù)。解：上側(cè)分位數(shù)雙側(cè)分位數(shù)正態(tài)總體的樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比的抽樣分布正態(tài)總體的樣本均值與標(biāo)準(zhǔn)差之比的抽樣分布設(shè)又是的一個(gè)樣本。定理5.2則統(tǒng)計(jì)量：則統(tǒng)計(jì)量：設(shè)是的一個(gè)樣本定理5.3是的一個(gè)樣本。又與相互獨(dú)立，其中：兩個(gè)正態(tài)總體的樣本方差之比的抽樣分布例7若求的分布。解：因?yàn)槠渲锌稍O(shè)是的一個(gè)樣本。又與相互獨(dú)立，是的一個(gè)樣本例8設(shè)求統(tǒng)計(jì)量：的分布。解：如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為其中且則稱X服從分布，記作分布與函數(shù)（附錄）稱為函數(shù)。有如下性質(zhì)：當(dāng)時(shí)收斂，且當(dāng)時(shí)有例2由此也可說(shuō)函數(shù)是階乘的推廣。據(jù)說(shuō)，這里正是一般定義的由來(lái)。分布的一個(gè)特殊情形是一指數(shù)分布。如果隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)為其中且則稱X服從分布，記作很多重要分布是分布的特殊情形。分布的另一特殊情形是分布。抽樣分布(samplingdistribution)總體計(jì)算樣本統(tǒng)計(jì)量例如：樣本均值、比例、方差樣本抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本正態(tài)分布正態(tài)分布非正態(tài)分布樣本均值的數(shù)學(xué)期望樣本均值的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本均值的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差)樣本均值的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差)比較及結(jié)論：1.樣本均值的均值(數(shù)學(xué)期望)等于總體均值2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n樣本比例的抽樣分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品)與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

比例(proportion)容量相同的所有可能樣本的樣本比例的概率分布當(dāng)樣本容量很大時(shí)，樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似一種理論概率分布推斷總體總體比例的理論基礎(chǔ) 樣本比例的抽樣分布樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣樣本比例的抽樣分布(數(shù)學(xué)期望與方差)區(qū)間估計(jì)的圖示X95%的樣本-1.96x+1.96x99%的樣本-2.58x+2.58x90%的樣本-1.65x+1.65x將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平表示為(1-為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例常用的置信水平值有99%,95%,90%相應(yīng)的為0.01，0.05，0.10置信水平由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無(wú)法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)置信區(qū)間(confidenceinterval)置信區(qū)間與置信水平均值的抽樣分布(1-)%區(qū)間包含了%的區(qū)間未包含1-aa/2a/2影響區(qū)間寬度的因素1.總體數(shù)據(jù)的離散程度，用來(lái)測(cè)度2.樣本容量，3.置信水平(1-)，影響z的大小5.3總體均值的區(qū)間估計(jì)正態(tài)總體且方差已知，或正態(tài)總體，方差未知、大樣本正態(tài)總體，方差未知、小樣本一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量均值比例方差總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、２已知，或非正態(tài)總體、大樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)(大樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似(n

30)總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為重復(fù)抽樣不重復(fù)抽樣總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】某種零件的長(zhǎng)度服從正態(tài)分布，從某天生產(chǎn)一批零件中按重復(fù)抽樣方法隨機(jī)抽取9個(gè)，測(cè)得其平均長(zhǎng)度為21.4cm。已知總體標(biāo)準(zhǔn)差為=0.15cm。試估計(jì)該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間，置信水平為95%解：已知：=0.15cm，n=9，x=21.4，1-=95%即：21.4±0.098=（21.302，21.498），該批零件平均長(zhǎng)度的置信區(qū)間為21.302cm~21.498cm之間總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知Ｘ~N(，102)，n=25,1-=95%，z/2=1.96。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該食品平均重量的置信區(qū)間為101.44克~109.28克之總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】一家保險(xiǎn)公司收集到由36個(gè)投保個(gè)人組成的隨機(jī)樣本，得到每個(gè)投保人的年齡(周歲)數(shù)據(jù)如下表。試建立投保人年齡90%的置信區(qū)間36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)233539273644364246433133425345544724342839364440394938344850343945484532總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知n=36,1-=90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲~41.63歲總體均值的區(qū)間估計(jì)

(正態(tài)總體、２未知、小樣本)總體均值的區(qū)間估計(jì)(小樣本)1. 假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差(２)

未知小樣本(n<30)使用t

分布統(tǒng)計(jì)量總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為t分布

t分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的t分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，t分布也逐漸趨于正態(tài)分布Xt

分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的比較t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t不同自由度的t分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布t(df=13)t(df=5)Z總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(小時(shí))如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)1510152014801500145014801510152014801490153015101460146014701470總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)解：已知Ｘ~N(，2)，n=16,1-=95%，t/2=2.131。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得：，

總體均值在1-置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8小時(shí)～1503.2小時(shí)5.4

總體比例的區(qū)間估計(jì)大樣本重復(fù)抽樣時(shí)的估計(jì)方法大樣本不重復(fù)抽樣時(shí)的估計(jì)方法總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)1. 假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來(lái)近似使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量Ｚ3.總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為總體比例的區(qū)間估計(jì)(例題分析)【例】某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)抽取了100個(gè)下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間解：已知n=100，p＝65%,1-=95%，z/2=1.96該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%~74.35%

估計(jì)總體均值時(shí)