彈性體的形變勢能位移變分方程林國昌

彈性體的形變勢能位移變分方程林國昌第一頁，共四十六頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)的微分提法微分法：從微元入手，建立其基本微分方程。在給定邊界條件下，求解偏微分方程問題（偏微分方程的邊值問題）。平衡方程幾何方程物理方程微元體微分法的解：解為精確解，完全滿足微分方程。2第二頁，共四十六頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)的變分法(能量法)變分法：考慮整個系統(tǒng)的能量關(guān)系(如形變勢能，外力勢能等)，建立泛函變分方程；在給定約束條件下求解泛函極值的變分問題。最后將問題歸結(jié)為易于求解的線性方程組，從而獲得問題的近似解答。變分法的解：解為近似解，近似滿足微分方程。以整個系統(tǒng)為研究對象彈性力學(xué)中的變分法又稱為能量法。3第三頁，共四十六頁，2022年，8月28日彈性力學(xué)的變分法(能量法)力學(xué)概念：形變勢能外力勢能數(shù)學(xué)概念：泛函變分4第四頁，共四十六頁，2022年，8月28日

§11-1彈性體的形變勢能林國昌第五頁，共四十六頁，2022年，8月28日數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識

泛函變分6第六頁，共四十六頁，2022年，8月28日泛函的提出約翰·伯努利（JohannBernoulli，1667－1748）于1696年提出一個問題：最速降線問題。問題描述：時間集合T函數(shù)集合yT1y11T2y22TiyiiTnynn(a,b)設(shè)有兩點A、B不在同意鉛垂線上，在A、B兩點間連接一條曲線，有一重物沿曲線從A到B受重力作用自由下滑。若忽略摩擦力，問怎樣的曲線使得從A到B的自由下滑時間最短？函數(shù)是數(shù)學(xué)中的一種對應(yīng)關(guān)系，是從非空數(shù)集A到實數(shù)集B的對應(yīng)。7第七頁，共四十六頁，2022年，8月28日函數(shù)與泛函函數(shù)：f(x)是變量x的實函數(shù)，即在其定義域內(nèi)，任一x值都有一個實數(shù)f(x)與之對應(yīng)。泛函：Π(y)是函數(shù)y(x)的泛函，即在其定義域內(nèi)，任一函數(shù)y(x)都有一個實數(shù)Π(y)與之對應(yīng)。自變量因變量f(x1)f(x2)f(xi)f(xn)函數(shù)f(x)x1x2xixn實數(shù)實數(shù)y1y2yiyn函數(shù)自變量Π(y1)Π(y2)Π(yi)Π(yn)實數(shù)因變量泛函：就是以函數(shù)為自變量的一類函數(shù)。簡單的講，泛函就是函數(shù)的函數(shù)。對應(yīng)法則f泛函Π(y)對應(yīng)法則Π8第八頁，共四十六頁，2022年，8月28日泛函從點A到點B的總時間是T是y(x)的泛函滿足y(0)=

0，y(a)

=b(a,b)最速降線問題：稱時間T是函數(shù)y的泛函。求泛函的極值問題——變分。9第九頁，共四十六頁，2022年，8月28日變分變分命題的實質(zhì)是求泛函的極值問題。給定函數(shù)y(x)變量：x函數(shù)：y(x)變量的增量：Δx函數(shù)的增量：Δy＝y(tǒng)(x+Δx)-y(x)當(dāng)兩點無限接近：Δx→dx，Δy→dy略去高階微量：dy＝y(tǒng)’(x)dx當(dāng)在x處取得函數(shù)極值dy＝0給定泛函Π(y)變量：y泛函：Π(y)函數(shù)的變分：δy泛函的變分：δΠ＝Π(y+δy)-Π(y)在計算δΠ時可以展開Π(y+δy)中的被積函數(shù)只保留線性項。當(dāng)在y處取得泛函極值δΠ＝0泛函Π(y)為極小值；泛函Π(y)為極大值.10第十頁，共四十六頁，2022年，8月28日變分與微分的比較

微分─是在同一狀態(tài)下，研究由于位置(坐標(biāo))改變而引起函數(shù)的改變。其中的自變量為坐標(biāo)變量x,y；而因變量為函數(shù)，如位移u，有

由于微分和變分都是微量，所以它們的運算方式相同，如上面兩式變分─是在同一點位置上，由于狀態(tài)改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態(tài)函數(shù)，如位移；而因變量為泛函，如勢能V

11第十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日泛函變分的基本運算法則(1)、泛函變分運算與微分運算法則基本相同

(2)、和以及積分算子具有交換律：12第十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日應(yīng)變能密度，形變勢能13第十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日1應(yīng)變能密度假定：彈性體在受力過程中始終保持平衡，

(1)沒有動能的改變；

(2)彈性體的非機械能(例如溫度)也沒有變化。則外力勢能的減少(外力所作的功)=形變勢能(應(yīng)變能)的增加。形變勢能的計算：形變勢能可以用應(yīng)力在其相應(yīng)的應(yīng)變上所做的功來計算。14第十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日1應(yīng)變能密度設(shè)彈性體只在某一方向上，如x方向，受均勻的正應(yīng)力作用，相應(yīng)的線應(yīng)變?yōu)?，則每單位體積內(nèi)具有形變勢能表示為：(a)應(yīng)變能密度是應(yīng)變分量的泛函，因為自變函數(shù)為。當(dāng)彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時，即(c)應(yīng)變能密度：每單位體積內(nèi)具有形變勢能。應(yīng)變能密度為應(yīng)力-應(yīng)變曲線右下方分面積。15第十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日2應(yīng)變余能密度應(yīng)力-應(yīng)變曲線左上方的面積，稱為應(yīng)變余能密度。記為：(b)當(dāng)彈性體的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時，即(d)應(yīng)變余能密度是應(yīng)力分量的泛函，自變函數(shù)為。表示的就是單位體積內(nèi)的應(yīng)變余能。16第十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日說明(c)(d)注意：(1)數(shù)值相等；(2)自變量不同。應(yīng)變能密度：應(yīng)變余能密度：當(dāng)應(yīng)力-應(yīng)變曲線為線性時：17第十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日3全部的應(yīng)變能密度同理，彈性體只在某兩個相互垂直的方向，如x、y受均勻的切應(yīng)力作用，其相應(yīng)的切應(yīng)變?yōu)椋瑒t應(yīng)變能密度為：(應(yīng)力-應(yīng)變線性關(guān)系)(e)疑問：一個應(yīng)力分量會引起另一應(yīng)力分量相應(yīng)的形變分量(如)，似乎形變勢能與彈性體的受力次序不同而不同。同理，如果彈性體同時受到作用，則全部的應(yīng)變能密度可以寫為：18第十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日3全部的應(yīng)變能密度

形變勢能的多少與彈性體受力的次序無關(guān)，而完全確定于應(yīng)力與形變的最終值。能量守恒定律：反證：按某一次序?qū)椥泽w加載，而按照另一次序卸載，在一個循環(huán)中使彈性體增加或減少一定的能量，這是不可能的。疊加原理：復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)可以分解為各個簡單應(yīng)力狀態(tài)的組合，各個簡單應(yīng)力在對應(yīng)的形變下所做的功之和，即為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能。19第十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日4整個彈性系統(tǒng)的形變勢能

一般情況下，彈性體受力不均勻，應(yīng)力分量和形變分量都是位置坐標(biāo)的函數(shù)；應(yīng)變能密度也是坐標(biāo)的函數(shù)，整個彈性體的形變勢能是把應(yīng)變能密度在整個彈性體內(nèi)的積分，即：(f)(g)形變勢能是形變分量的泛函。代入(e)式：20第二十頁，共四十六頁，2022年，8月28日5形變表示的彈性體形變勢能利用物理方程(8-19)，形變勢能可僅用形變分量表示。其中，(h)將(h)代入(g)式得：彈性體的形變勢能表達式：(11-1)其中，21第二十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日表明：(1)不論形變?nèi)绾危瑥椥泽w的形變勢能總不會是負的，在所有的形變分量為0時，形變勢能才為0。(2)形變勢能是應(yīng)變(或位移)的二次函數(shù)，因此不能用疊加原理，如先發(fā)生位移u1，再發(fā)生位移u2

，則。5形變表示的彈性體形變勢能(11-1)22第二十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日6格林公式在六個應(yīng)力分量作用下，應(yīng)變能密度僅用形變分量表示為：(i)對六個形變分量求導(dǎo)，得：(11-2)表明：(1)彈性體的應(yīng)變能密度對任一形變分量的改變率，等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。(2)應(yīng)變能密度是彈性體材料本構(gòu)關(guān)系的另一種表達形式。(11-2)式稱為格林(Green,G.)公式。(11-1)23第二十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日7位移表示的彈性體形變勢能形變勢能用位移分量表示，(11-3)由空間問題幾何方程代入(11-1)，彈性體的形變勢能表達式為：(8-9)(11-1)24第二十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日8應(yīng)變余能同理：整個彈性體的應(yīng)變余能為：（j）應(yīng)變余能密度在應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為線性時，同樣可表示為（k）注：應(yīng)變余能是以應(yīng)力分量為自變函數(shù)的泛函，因此應(yīng)變余能可僅用應(yīng)力分量來表示（l）由物理方程：代入(k)式，簡化后得應(yīng)變余能密度表達式：（m）是否可能為負？25第二十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日9卡斯蒂利亞諾(Castigliano)公式對整個彈性體積分后得，整個彈性體的應(yīng)變余能：（11-4）(m)式對應(yīng)力分量求導(dǎo)得：（11-5）表明：彈性體的應(yīng)變余能密度對任一應(yīng)力分量的改變率，等于相應(yīng)的形變分量。稱為卡斯蒂利亞諾(Castigliano)公式。（m）26第二十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日10小結(jié)形變勢能的性質(zhì)：形變勢能的大小與受力順序無關(guān)。當(dāng)應(yīng)變或位移發(fā)生時，形變勢能總是正的，即形變勢能是位移或應(yīng)變的二次函數(shù)，因此不能用疊加原理，如先發(fā)生位移

u1，在發(fā)生位移u2，則單位體積的形變勢能(即應(yīng)變能密度)對任一應(yīng)變分量的導(dǎo)數(shù)等于相應(yīng)的應(yīng)力分量。27第二十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日

§11.2位移變分方程林國昌哈爾濱工業(yè)大學(xué)復(fù)合材料與結(jié)構(gòu)研究所第二十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日0實際平衡狀態(tài)下的位移(1)、實際平衡狀態(tài)下的位移設(shè)彈性體實際平衡狀態(tài)下的位移為

u、v、w,必須滿足用位移表示的平衡微分方程用位移表示的應(yīng)力邊界條件位移邊界條件其中，和屬于靜力平衡條件，反映了載荷作用下各微元以及整個物體都處于平衡狀態(tài)的要求；屬于約束條件，是求解位移的必要條件，和是充分條件。前面各章在求解位移分量時，都直接致力于尋找同時滿足以上三個條件的真實位移；本章則分兩步處理：首先尋找滿足位移邊界條件的位移分量(可能有無數(shù)多個)，之后在這些位移分量中尋找滿足以上所有條件的真實位移。29第二十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日1.虛位移F虛位移：在數(shù)學(xué)上稱為位移變分，即表示約束條件允許下平衡狀態(tài)附近的微小增量。約束條件允許：滿足位移邊界條件。以一個懸臂梁為例，只考慮位移邊界條件的約束（不考慮懸臂梁是否平衡），w和w+δw都是可能出現(xiàn)的位移。w和w+δw是滿足位移邊界條件的位移自變函數(shù)。他們的差δw稱為虛位移。虛位移不反應(yīng)真實性，只反映可能性。30第三十頁，共四十六頁，2022年，8月28日2.虛功

假定彈性體在虛位移過程中并沒有溫度的改變，也沒有速度的改變，即能量守恒，則形變勢能的增加等于外力勢能的減少，也就等于外力在虛位移上所作的功，即虛功。虛功：就是載荷在約束條件允許的虛位移上所做的功。31第三十一頁，共四十六頁，2022年，8月28日3、位移變分方程依據(jù)能量守恒定理，形變勢能的增加等于外力在虛位移上所做的虛功為：(11-6)(11-6)式為位移變分方程，也稱為拉格朗日變分方程?？疾欤阂粋€彈性體在一定的外力作用下處于平衡狀態(tài)，假想發(fā)生了位移所允許的微小改變，即虛位移

能量將產(chǎn)生什么變化？32第三十二頁，共四十六頁，2022年，8月28日3、位移變分方程(11-6)(11-6)式為位移變分方程，也稱為拉格朗日變分方程。它表示：在實際平衡狀態(tài)發(fā)生位移變分時，所引起的形變勢能的變分=外力功的變分。位移只滿足位移邊界條件導(dǎo)出位移變分方程沒有考慮以下條件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的應(yīng)力邊界條件。33第三十三頁，共四十六頁，2022年，8月28日4、虛功方程應(yīng)用位移變分方程，得到有限單元法中一個重要方程---虛功方程。依據(jù)變分原理，變分的運算與定積分運算可以交換次序。把應(yīng)變能密度看作形變分量的函數(shù)(泛函)：(11-2)格林公式34第三十四頁，共四十六頁，2022年，8月28日(11-7)這就是虛功方程.表示：如果在虛位移發(fā)生之前，彈性體是處于平衡狀態(tài)，則在虛位移過程中，外力在虛位移上所做的虛功=應(yīng)力在相應(yīng)虛應(yīng)變上所做的虛功。4、虛功方程代入位移變分方程(11-6)，得：(11-6)(11-7)35第三十五頁，共四十六頁，2022年，8月28日5、最小勢能原理由于虛位移是微小的，所以在虛位移過程中，外力的大小和方向可以認為保持不變，只是作用點有了改變，于是位移變分方程(11-6)可改寫為：將變分與定積分交換次序，移項后得:（a）(11-6)36第三十六頁，共四十六頁，2022年，8月28日5、最小勢能原理用V表示外力勢能(以u=v=w=0時的自然狀態(tài)下的勢能為0)，它等于外力在實際位移上所做的功，并在前加以負號，即：（b）即得：（a）

是形變勢能與外力勢能的總和，上式表明：在給定的外力作用下，實際存在的位移使總勢能的變分為0。37第三十七頁，共四十六頁，2022年，8月28日在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各位移中，實際存在一組位移應(yīng)使總勢能成為極值，即5、最小勢能原理也就表示在平衡狀態(tài)，體系的總勢能取極值。極大值？極小值？設(shè)總勢能為：

表示在實際位移u處，Ep曲線的切線為水平線；表示在實際位移u處，Ep曲線是上凹曲線，因此，Ep=min。最小勢能原理：38第三十八頁，共四十六頁，2022年，8月28日5、最小勢能原理如圖中的球，平衡時的總勢能可取極大值或極小值，對于穩(wěn)定的平衡(位移為實際的位移)，從這樣的平衡狀態(tài)產(chǎn)生虛位移時，總勢能的增量總是正的，因此在穩(wěn)定平衡狀態(tài)，實際的位移使彈性體的總勢能取最小值，這就是最小勢能原理。39第三十九頁，共四十六頁，2022年，8月28日說明導(dǎo)出位移變分方程沒有考慮以下條件：用位移表示的平衡微分方程。用位移表示的應(yīng)力邊界條件。位移只滿足位移邊界條件最小勢能原理求出真實的位移位移變分方程用位移表示的平衡微分方程。用