曲線及二次曲面

第七章一、空間曲線的一般方程二、空間曲線的參數(shù)方程三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影第四節(jié)空間曲線及其方程一、空間曲線的一般方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線

C.C又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C.二、空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)x,y,z表示成參數(shù)t

的函數(shù):稱它為空間曲線的參數(shù)方程.例.

空間曲線——圓柱螺線P同時(shí)又在平行于z軸的方向等速地上升。其軌跡就是圓柱螺線。

圓柱面yz0xa

x=

y=z=acostbtM(x,y,z)asinttM螺線從點(diǎn)P

Q當(dāng)t

從02，叫螺距N.Q（移動(dòng)及轉(zhuǎn)動(dòng)都是等速進(jìn)行，所以z與t成正比。)點(diǎn)P在圓柱面上等速地繞z軸旋轉(zhuǎn)；三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影定義：設(shè)空間曲線C的一般方程為定義以C為準(zhǔn)線，母線平行于坐標(biāo)軸的柱面稱為投影柱面。1、定義投影柱面與坐標(biāo)平面的交線C′稱為曲線C在坐標(biāo)平面上的投影（曲線）。2、投影曲線的方程設(shè)空間曲線C的一般方程為消去z

得投影柱面則C在xoy面上的投影曲線C′為消去x得C在yoz

面上的投影曲線方程消去y得C在zox面上的投影曲線方程例如,在xoy面上的投影曲線方程為又如,所圍的立體在xoy面上的投影區(qū)域?yàn)?上半球面和錐面在xoy面上的投影曲線二者交線所圍圓域:二者交線在xoy面上的投影曲線所圍之域.

1.解yxzo得交線L：例.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影由z=0.1yxzo解L...得交線L：例.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影.投影柱面由四、二次曲面第三節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面空間曲面及其方程

第七章

四、二次曲面三元二次方程適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹.研究二次曲面特性的基本方法:截痕法其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面.(二次項(xiàng)系數(shù)不全為0)1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c時(shí)為球面.(3)截痕:為正數(shù))2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號(hào))特別,當(dāng)p=q時(shí)為繞z軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面例.

橢圓拋物面xzy0截痕法用z=a截曲面用y=b截曲面用x=c截曲面例.

橢圓拋物面.2.拋物面(2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號(hào))用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面xzy0截痕法（馬鞍面）例.

雙曲拋物面截痕法.例.

雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面截痕法.例.

雙曲拋物面（馬鞍面）xzy0用z=a截曲面用y=0截曲面用x=b截曲面3.雙曲面(1)單葉雙曲面橢圓.時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于x

軸；虛軸平行于z軸）平面上的截痕情況:雙曲線:虛軸平行于x軸）時(shí),截痕為時(shí),截痕為(實(shí)軸平行于z

軸;相交直線:雙曲線:

直紋面在建筑學(xué)上有意義含兩個(gè)直母線系例如，儲(chǔ)水塔、電視塔等建筑都有用這種結(jié)構(gòu)的。.注.

單葉雙曲面是直紋面(2)雙葉雙曲面雙曲線橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別:雙曲線單葉雙曲面雙葉雙曲面圖形4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x或y方向的伸縮變換得到,見書P316)內(nèi)容小結(jié)1.空間曲面三元方程球面旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.2.二次曲面三元二次方程橢球面拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面橢圓錐面:斜率為1的直線平面解