曲線積分-曲面積分-矢量分析初步-習題課

第九章曲線積分曲面積分矢量分析初步習題課1湘潭大學數(shù)學與計算科學學院（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步

一、主要內(nèi)容2湘潭大學數(shù)學與計算科學學院曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分3湘潭大學數(shù)學與計算科學學院曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯(lián)系計算三代一定二代一定(與方向有關(guān))4湘潭大學數(shù)學與計算科學學院與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題5湘潭大學數(shù)學與計算科學學院曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯(lián)系計算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))6湘潭大學數(shù)學與計算科學學院定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系7湘潭大學數(shù)學與計算科學學院積分概念的聯(lián)系定積分二重積分8湘潭大學數(shù)學與計算科學學院曲面積分曲線積分三重積分曲線積分9湘潭大學數(shù)學與計算科學學院計算上的聯(lián)系10湘潭大學數(shù)學與計算科學學院其中11湘潭大學數(shù)學與計算科學學院理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式12湘潭大學數(shù)學與計算科學學院3.三重積分與曲面積分的聯(lián)系高斯公式4.曲面積分與曲線積分的聯(lián)系斯托克斯公式13湘潭大學數(shù)學與計算科學學院Green公式,Guass公式,Stokes公式之間的關(guān)系或推廣推廣14湘潭大學數(shù)學與計算科學學院梯度通量旋度環(huán)流量散度（三）場論初步15湘潭大學數(shù)學與計算科學學院二、典型例題1.基本方法曲線積分第一類(對弧長)第二類(對坐標)(1)統(tǒng)一積分變量轉(zhuǎn)化定積分用參數(shù)方程用直角坐標方程用極坐標方程(2)確定積分上下限第一類:下小上大第二類:下始上終(一)、曲線積分的計算法16湘潭大學數(shù)學與計算科學學院(1)利用對稱性及重心公式簡化計算;(2)利用積分與路徑無關(guān)的等價條件;(3)利用格林公式(注意加輔助線的技巧);(4)利用斯托克斯公式;(5)利用兩類曲線積分的聯(lián)系公式.2.基本技巧17湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例1.計算其中為曲線解:利用輪換對稱性,有利用重心公式知(的重心在原點)18湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例2.計算其中L是沿逆時針方向以原點為中心,解法1令則這說明積分與路徑無關(guān),故a為半徑的上半圓周.19湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解法2

它與L所圍區(qū)域為D,(利用格林公式)思考:(2)若L同例2,如何計算下述積分:(1)若L改為順時針方向,如何計算下述積分:則添加輔助線段20湘潭大學數(shù)學與計算科學學院思考題解答:(1)(2)21湘潭大學數(shù)學與計算科學學院思路:閉合非閉閉合非閉補充曲線或用公式22湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解23湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解(如下圖)24湘潭大學數(shù)學與計算科學學院25湘潭大學數(shù)學與計算科學學院曲面面積的計算法SDxy26湘潭大學數(shù)學與計算科學學院曲頂柱體的表面積如圖曲頂柱體，27湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解由對稱性28湘潭大學數(shù)學與計算科學學院29湘潭大學數(shù)學與計算科學學院(二)、曲面積分的計算法1.基本方法曲面積分第一類(對面積)第二類(對坐標)轉(zhuǎn)化二重積分(1)統(tǒng)一積分變量—代入曲面方程(2)積分元素投影第一類:始終非負第二類:有向投影(3)確定二重積分域—把曲面積分域投影到相關(guān)坐標面30湘潭大學數(shù)學與計算科學學院思考題1)二重積分是哪一類積分?答:第一類曲面積分的特例.2)設曲面問下列等式是否成立?

不對!對坐標的積分與的側(cè)有關(guān)31湘潭大學數(shù)學與計算科學學院2.基本技巧(1)利用對稱性及重心公式簡化計算(2)利用高斯公式注意公式使用條件添加輔助面的技巧(輔助面一般取平行坐標面的平面)(3)兩類曲面積分的轉(zhuǎn)化32湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例6解利用兩類曲面積分之間的關(guān)系33湘潭大學數(shù)學與計算科學學院34湘潭大學數(shù)學與計算科學學院向量點積法35湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例7解利用向量點積法36湘潭大學數(shù)學與計算科學學院37湘潭大學數(shù)學與計算科學學院解(如下圖)38湘潭大學數(shù)學與計算科學學院39湘潭大學數(shù)學與計算科學學院40湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例9.證明:設(常向量)則單位外法向向量,試證設為簡單閉曲面,a

為任意固定向量,n為的41湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例10.計算曲面積分其中,解:思考:本題改為橢球面時,應如何計算?提示:在橢球面內(nèi)作輔助小球面內(nèi)側(cè),然后用高斯公式.42湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例11.設是曲面解:取足夠小的正數(shù),

作曲面取下側(cè)

使其包在內(nèi),為xoy平面上夾于之間的部分,且取下側(cè),取上側(cè),計算則43湘潭大學數(shù)學與計算科學學院第二項添加輔助面,再用高斯公式計算,得44湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例12.計算曲面積分中是球面解:利用對稱性用重心公式45湘潭大學數(shù)學與計算科學學院例13.設L是平面與柱面的交線從z軸正向看去,L為逆時針方向,計算解:記為平面上

L所圍部分的上側(cè),D為在xoy面上的投影.由斯托克斯公式46湘潭大學數(shù)學與計算科學學院D的形心47湘潭大學數(shù)學與計算科學學院測驗題48湘潭大學數(shù)學與計算科學學院