第三章隨機(jī)變量的數(shù)字特征

第一節(jié)數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了.

然而，在實(shí)際問(wèn)題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實(shí)際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.

因此，在對(duì)隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的.在這些數(shù)字特征中，最常用的是數(shù)學(xué)期望、方差、協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望1、概念的引入：我們來(lái)看一個(gè)引例.

例1

某車間對(duì)工人的生產(chǎn)情況進(jìn)行考察.車工小張每天生產(chǎn)的廢品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量.如何定義X的平均值呢？我們先觀察小張100天的生產(chǎn)情況若統(tǒng)計(jì)100天,32天沒(méi)有出廢品;30天每天出一件廢品;17天每天出兩件廢品;21天每天出三件廢品;可以得到這100天中每天的平均廢品數(shù)為這個(gè)數(shù)能否作為X的平均值呢？（假定小張每天至多出現(xiàn)三件廢品）可以想象，若另外統(tǒng)計(jì)100天，車工小張不出廢品，出一件、二件、三件廢品的天數(shù)與前面的100天一般不會(huì)完全相同，這另外100天每天的平均廢品數(shù)也不一定是1.27.n0天沒(méi)有出廢品;n1天每天出一件廢品;n2天每天出兩件廢品;n3天每天出三件廢品.可以得到n天中每天的平均廢品數(shù)為(假定小張每天至多出三件廢品)一般來(lái)說(shuō),若統(tǒng)計(jì)n天,這是以頻率為權(quán)的加權(quán)平均

當(dāng)N很大時(shí)，頻率接近于概率，所以我們?cè)谇髲U品數(shù)X的平均值時(shí)，用概率代替頻率，得平均值為這是以概率為權(quán)的加權(quán)平均這樣得到一個(gè)確定的數(shù).我們就用這個(gè)數(shù)作為隨機(jī)變量X的平均值

.定義1

設(shè)X是離散型隨機(jī)變量，它的分布率是:P{X=xk}=pk,k=1,2,…請(qǐng)注意:離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的級(jí)數(shù)的和.數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望，又稱為均值。若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則稱級(jí)數(shù)即的和為隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，記為,例1例2二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),在數(shù)軸上取很密的分點(diǎn)x0<x1<x2<…,則X落在小區(qū)間[xi,xi+1)的概率是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為

由于xi與xi+1很接近,所以區(qū)間[xi,xi+1)中的值可以用xi來(lái)近似代替.這正是的漸近和式.

近似,因此X與以概率取值xi的離散型r.v

該離散型r.v

的數(shù)學(xué)期望是小區(qū)間[xi,xi+1)陰影面積近似為由此啟發(fā)我們引進(jìn)如下定義.定義2

設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為f(x),如果積分絕對(duì)收斂,則稱此積分值為X的數(shù)學(xué)期望,即請(qǐng)注意:

連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個(gè)絕對(duì)收斂的積分.例4三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望1.問(wèn)題的提出：

設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計(jì)算的不是X的期望，而是X的某個(gè)函數(shù)的期望，比如說(shuō)g(X)的期望.那么應(yīng)該如何計(jì)算呢？

一種方法是，因?yàn)間(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來(lái).一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把E[g(X)]計(jì)算出來(lái).

那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得E[g(X)]呢？下面的定理指出，答案是肯定的.

使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的.(1)當(dāng)X為離散型時(shí),它的分布率為P(X=xk)=pk;(2)當(dāng)X為連續(xù)型時(shí),它的密度函數(shù)為f(x).若定理設(shè)Y是隨機(jī)變量X的函數(shù):Y=g(X)(g是連續(xù)函數(shù))

該公式的重要性在于:當(dāng)我們求E[g(X)]時(shí),不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了.這給求隨機(jī)變量函數(shù)的期望帶來(lái)很大方便.

四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)

1.設(shè)C是常數(shù)，則E(C)=C;4.設(shè)X、Y相互獨(dú)立，則E(XY)=E(X)E(Y);

2.若k是常數(shù)，則E(kX)=kE(X);

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y);（諸Xi相互獨(dú)立時(shí)）請(qǐng)注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨(dú)立五、數(shù)學(xué)期望性質(zhì)的應(yīng)用例8

求二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望若X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).現(xiàn)在我們來(lái)求X的數(shù)學(xué)期望.

可見，服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望是np.

X~B(n,p),若設(shè)則X=X1+X2+…+Xn=npi=1,2，…，n因?yàn)镻(Xi=1)=p,P(Xi=0)=1-p所以E(X)=則X表示n重貝努里試驗(yàn)中的“成功”次數(shù).E(Xi)==p七、小結(jié)

這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它反映了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.

接下來(lái)的一講中，我們將向大家介紹隨機(jī)變量另一個(gè)重要的數(shù)字特征：方差第二節(jié)方差方差的定義方差的計(jì)算方差的性質(zhì)切比雪夫不等式課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

上一節(jié)我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，它體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均水平，是隨機(jī)變量的一個(gè)重要的數(shù)字特征.

但是在一些場(chǎng)合，僅僅知道平均值是不夠的.

例如，某零件的真實(shí)長(zhǎng)度為a，現(xiàn)用甲、乙兩臺(tái)儀器各測(cè)量10次，將測(cè)量結(jié)果X用坐標(biāo)上的點(diǎn)表示如圖：

若讓你就上述結(jié)果評(píng)價(jià)一下兩臺(tái)儀器的優(yōu)劣，你認(rèn)為哪臺(tái)儀器好一些呢？乙儀器測(cè)量結(jié)果

甲儀器測(cè)量結(jié)果較好測(cè)量結(jié)果的均值都是a因?yàn)橐覂x器的測(cè)量結(jié)果集中在均值附近又如,甲、乙兩門炮同時(shí)向一目標(biāo)射擊10發(fā)炮彈，其落點(diǎn)距目標(biāo)的位置如圖：你認(rèn)為哪門炮射擊效果好一些呢?甲炮射擊結(jié)果乙炮射擊結(jié)果乙炮因?yàn)橐遗诘膹椫c(diǎn)較集中在中心附近.

中心中心

由此可見,研究隨機(jī)變量與其均值的偏離程度是十分必要的.那么,用怎樣的量去度量這個(gè)偏離程度呢?容易看到這個(gè)數(shù)字特征就是我們這一講要介紹的方差

能度量隨機(jī)變量與其均值E(X)的偏離程度.但由于上式帶有絕對(duì)值,運(yùn)算不方便,通常用量來(lái)度量隨機(jī)變量X與其均值E(X)的偏離程度.一、方差的定義

設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，若E[(X-E(X)]2存在,稱E[(X-E(X)]2為X的方差.記為D(X)或Var(X)，即D(X)=Var(X)=E[X-E(X)]2若X的取值比較分散，則方差D(X)較大.

方差刻劃了隨機(jī)變量的取值對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度.若X的取值比較集中，則方差D(X)較?。灰虼?，D（X）是刻畫X取值分散程度的一個(gè)量，它是衡量X取值分散程度的一個(gè)尺度。X為離散型，分布率P{X=xk}=pk

由定義知，方差是隨機(jī)變量X的函數(shù)

g(X)=[X-E(X)]2的數(shù)學(xué)期望.二、方差的計(jì)算X為連續(xù)型，X概率密度f(wàn)(x)計(jì)算方差的一個(gè)簡(jiǎn)化公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

展開證：D(X)=E[X-E(X)]2=E{X2-2XE(X)+[E(X)]2}=E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2=E(X2)-[E(X)]2利用期望性質(zhì)例1設(shè)隨機(jī)變量X具有(0—1）分布，其分布率為求D(X).解由公式因此,0-1分布例2解X的分布率為上節(jié)已算得因此,泊松分布例3解因此,均勻分布例4設(shè)隨機(jī)變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為解由此可知,指數(shù)分布三、方差的性質(zhì)1.設(shè)C是常數(shù),則D(C)=0;2.若C是常數(shù),則D(CX)=C2

D(X);3.設(shè)X與Y是兩個(gè)隨機(jī)變量，則

D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}

4.

D(X)=0P{X=C}=1,這里C=E(X)下面我們證明性質(zhì)3證明若X,Y相互獨(dú)立,由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)4得此性質(zhì)可以推廣到有限多個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之和的情況.例6

設(shè)X~B(n,p)，求E(X)和D(X).若設(shè)i=1,2，…，n

則是n次試驗(yàn)中“成功”的次數(shù)下面我們舉例說(shuō)明方差性質(zhì)的應(yīng)用.解X~B(n,p),“成功”次數(shù).則X表示n重努里試驗(yàn)中的于是i=1,2，…，n

由于X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立=np(1-p)E(Xi)=p,D(Xi)=

p(1-p),例7解于是例如,四、切比雪夫不等式或

由切比雪夫不等式可以看出，若越小，則事件{|X-E(X)|<}的概率越大，即隨機(jī)變量X集中在期望附近的可能性越大.證我們只就連續(xù)型隨機(jī)變量的情況來(lái)證明.當(dāng)方差已知時(shí)，切比雪夫不等式給出了r.v

X與它的期望的偏差不小于的概率的估計(jì)式.如取

可見，對(duì)任給的分布，只要期望和方差存在，則r.vX取值偏離E(X)超過(guò)3

的概率小于0.111.例9

已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率.解：設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X依題意，E(X)=7300,D(X)=7002所求為

P(5200X9400)P(5200X9400)=P(-2100X-E(X)2100)=P{|X-E(X)|2100}由切比雪夫不等式

P{|X-E(X)|2100}即估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率不小于8/9.

例10

在每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.75,利用切比雪夫不等式求：n需要多么大時(shí)，才能使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90?解：設(shè)X為n

次試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的次數(shù)，E(X)=0.75n,的最小的n.則X~B(n,0.75)所求為滿足D(X)=0.75×0.25n=0.1875n=P(-0.01n<X-0.75n<0.01n)=P{|X-E(X)|<0.01n}

P(0.74n<X<0.76n)可改寫為在切比雪夫不等式中取n，則=P{|X-E(X)|<0.01n}解得依題意，取

即n取18750時(shí)，可以使得在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中,事件A出現(xiàn)的頻率在0.74~0.76之間的概率至少為0.90.五、課堂練習(xí)1、設(shè)隨機(jī)變量X服從幾何分布，概率分布為P{X=k}=p(1-p)k-1,k=1,2,…其中0<p<1,求E(X),D(X)2、1、解：記

q=1-p求和與求導(dǎo)交換次序無(wú)窮遞縮等比級(jí)數(shù)求和公式

D(X)=E(X2)-[E(X)]2

+E(X)2、解六、小結(jié)這一講，我們介紹了隨機(jī)變量的方差.

它是刻劃隨機(jī)變量取值在其中心附近離散程度的一個(gè)數(shù)字特征.下一講，我們將介紹刻劃兩r.v間線性相關(guān)程度的一個(gè)重要的數(shù)字特征：協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)第三節(jié)協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)協(xié)方差相關(guān)系數(shù)課堂練習(xí)小結(jié)布置作業(yè)

前面我們介紹了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和方差，對(duì)于二維隨機(jī)變量（X，Y），我們除了討論X與Y的數(shù)學(xué)期望和方差以外，還要討論描述X和Y之間關(guān)系的數(shù)字特征，這就是本講要討論的協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)

量E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}稱為隨機(jī)變量X和Y的協(xié)方差,記為Cov(X,Y)，即

⑶Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)⑴Cov(X,Y)=Cov(Y,X)一、協(xié)方差2.簡(jiǎn)單性質(zhì)⑵Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)a,b是常數(shù)Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}1.定義

Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)

可見，若X與Y獨(dú)立，Cov(X,Y)=0.3.計(jì)算協(xié)方差的一個(gè)簡(jiǎn)單公式由協(xié)方差的定義及期望的性質(zhì)，可得Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}=E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y)=E(XY)-E(X)E(Y)即D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)4.隨機(jī)變量和的方差與協(xié)方差的關(guān)系特別地

協(xié)方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互間的關(guān)系，但它還受X與Y本身度量單位的影響.例如：Cov(kX,kY)=k2Cov(X,Y)為了克服這一缺點(diǎn)，對(duì)協(xié)方差進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化，這就引入了相關(guān)系數(shù)

.二、相關(guān)系數(shù)為隨機(jī)變量X和Y的相關(guān)系數(shù)

.定義:

設(shè)D(X)>0,D(Y)>0,稱在不致引起混淆時(shí)，記

為

.相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)：證:由方差的性質(zhì)和協(xié)方差的定義知,對(duì)任意實(shí)數(shù)b,有0≤D(Y-bX)=b2D(X)+D(Y)-2b

Cov(X,Y)令，則上式為

D(Y-bX)=

由于方差D(Y)是正的,故必有1-≥0,所以||≤1。2.X和Y獨(dú)立時(shí)，

=0，但其逆不真.由于當(dāng)X和Y獨(dú)立時(shí)，Cov(X,Y)=0.故=0但由并不一定能推出X和Y獨(dú)立.請(qǐng)看下例.，Cov(X,Y)=0，事實(shí)上，X的密度函數(shù)例1

設(shè)X服從(-1/2,1/2)內(nèi)的均勻分布,而Y=cosX,不難求得存在常數(shù)a,b(b≠0），使P{Y=a+bX}=1，即X和Y以概率1線性相關(guān).因而=0，即X和Y不相關(guān).但Y與X有嚴(yán)格的函數(shù)關(guān)系，即X和Y不獨(dú)立.考慮以X的線性函數(shù)a+bX來(lái)近似表示Y，以均方誤差e=E{[Y-(a+bX)]2}來(lái)衡量以a+bX近似表示Y

的好壞程度:e值越小表示a+bX

與Y的近似程度越好.

用微積分中求極值的方法，求出使e

達(dá)到最小時(shí)的a,b相關(guān)系數(shù)刻劃了X和Y間“線性相關(guān)”的程度.=E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y)e=E{[Y-(a+bX)]2}解得這樣求出的最佳逼近為L(zhǎng)(X)=a0+b0X

這樣求出的最佳逼近為L(zhǎng)(X)=a0+b0X這一逼近的剩余是若

=0，Y與X無(wú)線性關(guān)系;Y與X有嚴(yán)格線性關(guān)系;若可見,若0<|

|<1,|

|的值越接近于1,Y與X的線性相關(guān)程度越高;||的值越接近于0,Y與X的線性相關(guān)程度越弱.E[(Y-L(X))2]=D(Y)(1-

)但對(duì)下述情形，獨(dú)立與不相關(guān)等價(jià)若(X,Y)服從二維正態(tài)分布，則X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)前面，我們已經(jīng)看到：若X與Y獨(dú)立，則X與Y不相關(guān)，但由X與Y不相關(guān)，不一定能推出X與Y獨(dú)立.三、課堂練習(xí)1、2、1、解2、解四、小結(jié)

這一節(jié)我們介紹了協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)、相關(guān)系數(shù)是刻劃兩個(gè)變量間線性相關(guān)程度的一個(gè)重要的數(shù)字特征.注意獨(dú)立與不相關(guān)并不是等價(jià)的.當(dāng)(X,Y)服從二維正態(tài)分布時(shí)，有X與Y獨(dú)立X與Y不相關(guān)五、布置作業(yè)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》作業(yè)（四）三、解答題第6小題第四節(jié)矩、協(xié)方差矩陣原點(diǎn)矩中心矩協(xié)方差矩陣n元正態(tài)分布的概率密度小結(jié)布置作業(yè)一、原點(diǎn)矩中心矩定義設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若存在，稱它為X的k階原點(diǎn)矩，簡(jiǎn)稱k階矩存在，稱它為X的k階中心矩可見，均值E（X）是X一階原點(diǎn)矩，方差D（X）是X的二階中心矩。協(xié)方差Cov(X,Y)是X和Y的二階混合中心矩.稱它為X和Y的k+L階混合（原點(diǎn)）矩.若存在，稱它為X和

Y的

k+L階混合中心矩.設(shè)X和Y是隨機(jī)變量，若k,L=1,2,…存在，可見，二、協(xié)方差矩陣將二維隨機(jī)變量（X1,X2）的四個(gè)二階中心矩排成矩陣的形式:稱此矩陣為（X1,X2）的協(xié)方差矩陣.這是一個(gè)對(duì)稱矩陣類似定義n維隨機(jī)變量(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣.為(X1,X2,…,Xn)的協(xié)方差矩陣都存在,(i,j=1,2,…,n)若矩陣稱三、n元正態(tài)分布的概率密度f(wàn)(x1,x2,…,xn)則稱X服從n元正態(tài)分布.其中C是(X1,X2,…,