運(yùn)籌學(xué)課程04-靈敏度分析

2023/2/71靈敏度分析又稱(chēng)“后驗(yàn)分析”，它是對(duì)已經(jīng)得到的最優(yōu)方案改變某些條件來(lái)檢驗(yàn)最優(yōu)解的“穩(wěn)定性”以及目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值隨各種條件變化的“敏感性”；換言之，假定對(duì)于已知線性規(guī)劃問(wèn)題已求得的最優(yōu)解是獲得的最大利潤(rùn)的生產(chǎn)計(jì)劃安排，現(xiàn)在如果在生產(chǎn)過(guò)程中成本系數(shù)向量C，約束常數(shù)向量b,約束系數(shù)A以及其他條件發(fā)生變化或波動(dòng)，這些變化限制在什么范圍內(nèi)，在原來(lái)得到的最優(yōu)安排仍為最優(yōu)，而不需要改變工作計(jì)劃？解決這些問(wèn)題的理論和方法就是靈敏度分析靈敏度越小，解的穩(wěn)定性越好2023/2/72靈敏度分析包括以下幾個(gè)方面的內(nèi)容分析成本系數(shù)向量C的變化對(duì)解和目標(biāo)函數(shù)值的影響分析約束常數(shù)向量b的變化對(duì)解的影響，以及通過(guò)對(duì)偶最優(yōu)解研究b的變化對(duì)目標(biāo)函數(shù)值的影響分析系數(shù)矩陣A中元素變化對(duì)解和目標(biāo)值的影響增加新變化量時(shí)最優(yōu)解和最優(yōu)值的變化增加新的約束條件后對(duì)最優(yōu)解和最優(yōu)值的影響2023/2/73單純形法計(jì)算的矩陣描述（回顧）線性規(guī)劃問(wèn)題化為標(biāo)準(zhǔn)型2023/2/74單純形法計(jì)算的矩陣描述（回顧）XS為松弛變量,XS=(xn+1,xn+2,…,xn+m),

I為m×m矩陣2023/2/75初始單純形表非基變量基變量初始基變量單純形法計(jì)算的矩陣描述（回顧）2023/2/76基變量非基變量當(dāng)前檢驗(yàn)數(shù)當(dāng)前基解設(shè)若干步迭代后，基變量為,

在初始單純形表中的系數(shù)矩陣為B，而A中去掉B的若干列組成矩陣N，則迭代后的單純形表為：?jiǎn)渭冃畏ㄓ?jì)算的矩陣描述（回顧）2023/2/77單純形法計(jì)算的矩陣描述（回顧）檢驗(yàn)數(shù)因此2023/2/78一、目標(biāo)函數(shù)系數(shù)C（價(jià)值系統(tǒng)）變化

cj

變動(dòng)可能由于市場(chǎng)價(jià)格的波動(dòng)，或生產(chǎn)成本的變動(dòng)

cj

的靈敏度分析是在保證最優(yōu)解的基變量不變的情況下，分析cj允許的變動(dòng)范圍cj

cj的變化會(huì)引起檢驗(yàn)數(shù)的變化，有兩種情況

非基變量?jī)r(jià)值系數(shù)變化，不影響其它檢驗(yàn)數(shù)

基變量?jī)r(jià)值系數(shù)變化，影響所有非基變量檢驗(yàn)數(shù)2023/2/79此表仍為最優(yōu)，此時(shí)最優(yōu)解不變但最優(yōu)值改變此表不是最優(yōu)單純形表檢驗(yàn)數(shù)和最優(yōu)值改變，用單純形法繼續(xù)迭代

XBXN常數(shù)項(xiàng)XBEB-1NB-1b檢驗(yàn)行0CN-CBB-1NZ：CBB-1b≤02023/2/7101、非基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析

則最優(yōu)解不變；否則，將最優(yōu)單純形表的檢驗(yàn)數(shù)

k

用k’取代，繼續(xù)單純形法的表格計(jì)算。

設(shè)變化為只要即2023/2/711

例：最優(yōu)單純形表

從表中看到σ3=c3+Δc3-(c2×a13+c1×a23)可得到Δc3≤9/5時(shí)，原最優(yōu)解不變。2023/2/7122、基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)的靈敏度分析由于基變量對(duì)應(yīng)的價(jià)值系數(shù)在中出現(xiàn)，因此它會(huì)影響所有非基變量的檢驗(yàn)數(shù)。設(shè)中一個(gè)基變量的發(fā)生變化，變化量為。

2023/2/7132023/2/714從表中看到σj=cj-(c1×a1j+c5×

a5j+(c2+Δc2)×a2j)j=3,4可得到-3≤Δc2≤1時(shí)，原最優(yōu)解不變。2023/2/715設(shè)XB=B1b是最優(yōu)解，則有XB=B1b0b的變化不會(huì)影響檢驗(yàn)數(shù)b的變化量b可能導(dǎo)致原最優(yōu)解變?yōu)榉强尚薪舛⒂疫呿?xiàng)b發(fā)生變化的靈敏度分析2023/2/716

最優(yōu)單純形表：≤0用對(duì)偶單純形法迭代求出最優(yōu)解

XBXN常數(shù)項(xiàng)XBEB-1NB-1b檢驗(yàn)行0CN-CBB-1NZ：CBB-1b2023/2/717最優(yōu)單純形表的s.t中松弛變量的系數(shù)2023/2/718

XBXN常數(shù)項(xiàng)XBEB-1NB-1b檢驗(yàn)行0CN-CBB-1NZ：CBB-1b2023/2/7192023/2/7202023/2/721例：某工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動(dòng)力和材料，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：

原料產(chǎn)品ABC擁有量勞動(dòng)力63545材料34530售價(jià)（元）314最優(yōu)單純形表X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/52023/2/722最優(yōu)單純形表X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/52023/2/723最優(yōu)單純形表X1X2X3X4X5X1101-25/301/3X450-5-51-2Z=300-3-10-1結(jié)論：最優(yōu)生產(chǎn)方案：10個(gè)A，其余不生產(chǎn)

原料產(chǎn)品ABC擁有量勞動(dòng)力63545材料34530售價(jià)（元）314X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/52023/2/724三、新增決策變量的靈敏度分析研究：增加新變量時(shí)最優(yōu)解和最優(yōu)值的變化2023/2/725資源的合理利用問(wèn)題：資源單位消費(fèi)產(chǎn)品資源限制單位利潤(rùn)新問(wèn)題：工廠研制了一種新產(chǎn)品，估計(jì)單位利潤(rùn)為cn+1，問(wèn)是否投入生產(chǎn)，若投入生產(chǎn)，求最優(yōu)生產(chǎn)方案2023/2/726對(duì)問(wèn)題：最優(yōu)單純形表增加一個(gè)新變量xn+1

XBXN常數(shù)項(xiàng)XBEB-1NB-1b檢驗(yàn)行0CN-CBB-1NZ：CBB-1b2023/2/727對(duì)問(wèn)題：

XBXN常數(shù)項(xiàng)XBEB-1NB-1b檢驗(yàn)行0CN-CBB-1NZ：CBB-1b最優(yōu)單純形表增加一個(gè)新變量xn+12023/2/728對(duì)新問(wèn)題：

XBXN常數(shù)項(xiàng)XBEB-1NB-1b檢驗(yàn)行0CN-CBB-1NZ：CBB-1b最優(yōu)單純形表此表達(dá)到最優(yōu)此表未達(dá)到最優(yōu)用單純形法迭代至找到最優(yōu)解2023/2/729例：某工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動(dòng)力和材料，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：產(chǎn)品原料ABC擁有量勞動(dòng)力63545材料34530售價(jià)（元）314最優(yōu)單純形表:最優(yōu)生產(chǎn)方案：5個(gè)A，0個(gè)B，3個(gè)C問(wèn)題1、若工廠開(kāi)發(fā)出第四種產(chǎn)品D，預(yù)計(jì)售價(jià)2元，生產(chǎn)每個(gè)D產(chǎn)品需要3個(gè)勞動(dòng)力和3個(gè)單位材料，問(wèn)是否生產(chǎn)該產(chǎn)品？2、若產(chǎn)品D的售價(jià)為3元，問(wèn)如何調(diào)整生產(chǎn)方案？？X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/52023/2/730問(wèn)題1、若工廠開(kāi)發(fā)出第四種產(chǎn)品D，預(yù)計(jì)售價(jià)2元，生產(chǎn)每個(gè)D產(chǎn)品需要3個(gè)勞動(dòng)力和3個(gè)單位材料，問(wèn)是否生產(chǎn)該產(chǎn)品？最優(yōu)基不變，X6是非基變量，在最優(yōu)解中取0即當(dāng)新產(chǎn)品D的售價(jià)為2元時(shí)，不生產(chǎn)該產(chǎn)品。2023/2/731X603/53/5最優(yōu)單純形表:2、若產(chǎn)品D的售價(jià)為3元，問(wèn)如何調(diào)整生產(chǎn)方案？X1X2X3X4X5X6X151-1/301/3-1/30X6505/35/3-1/32/31Z=300-3-10-10最優(yōu)生產(chǎn)方案：5個(gè)A產(chǎn)品，0個(gè)B產(chǎn)品，

0個(gè)C產(chǎn)品，5個(gè)D產(chǎn)品X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/5X1X2X3X4X5X151-1/301/3-1/3X33011-1/52/5Z=270-20-1/5-3/52023/2/732四、新增約束條件的靈敏度分析

1、將最優(yōu)解代入新的約束條件，若滿足，則最優(yōu)解不變2、若不滿足，則當(dāng)前最優(yōu)解要發(fā)生變化；將新增約束條件加入最優(yōu)單純形表，并變換為標(biāo)準(zhǔn)型3、利用單純形法或?qū)ε紗渭冃畏ɡ^續(xù)迭代

——為什么可以利用對(duì)偶單純形法？2023/2/733例：某工廠準(zhǔn)備生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，他們都消耗勞動(dòng)力和材料，有關(guān)數(shù)據(jù)如下：

原料產(chǎn)品ABC擁有量勞動(dòng)力63545材料34530售價(jià)（元）314最優(yōu)生產(chǎn)方案：5個(gè)A，0個(gè)B，3個(gè)C新問(wèn)題：由于特殊原因，要求至少生產(chǎn)6個(gè)C產(chǎn)品，求最優(yōu)生產(chǎn)方案最優(yōu)單純形表X1X2X3X4X50-20-1/5-3/5Z:27X11-1/301/3-1/35X3011-1/52/5300000-1001-6X6X62023/2/734X1X2X3X4X50-20-1/5-3/5Z:27X11-1/301/3-1/35X3011-1/52/53X6X6000X1X2X3X4X5X60-20-1/5-3/50Z:27X11-1/301/3-1/305X3011-1/52/503X6010-1/52/51-300-1001-6X1X2X3X4X5X60-100-1-1Z:24X114/3001/35/30X300100-16X40-501-2-515最優(yōu)生產(chǎn)方案：0個(gè)A，0個(gè)B，6個(gè)C2023/2/735最優(yōu)單純形