化工設(shè)計(jì)-4直梁的彎曲課件

CHAP.4直梁的彎曲

彎曲概念與梁的分類(lèi)1）彎曲的概念及實(shí)例圖1實(shí)例：兩臺(tái)設(shè)備安裝在兩根橫梁上的簡(jiǎn)圖，簡(jiǎn)化為力學(xué)模型G/2G/2RARB受力特點(diǎn)：a.作用在桿件上的載荷和支座反力均垂直于桿件的軸線。軸線在桿件變形前為直線，變形后成為曲線。（區(qū)別于拉伸，外力作用于軸線上）b.外力彼此相距較遠(yuǎn)，某些橫截面上雖有剪力或扭矩，但就整個(gè)梁來(lái)說(shuō)，彎曲是主要的。凡是具備上述受力特點(diǎn)，并產(chǎn)生彎曲變形的桿件――梁（廣義），如臥式容器，塔設(shè)備等。CHAP.4直梁的彎曲

平面彎曲實(shí)例1CHAP.4直梁的彎曲

平面彎曲實(shí)例2CHAP.4直梁的彎曲

平面彎曲―當(dāng)作用在梁上的所有橫向力均作用在梁的對(duì)稱平面內(nèi)時(shí)，則在梁發(fā)生彎曲變形以后，梁的軸線便在對(duì)稱平面內(nèi)彎成一條曲線，這種彎曲成為平面彎曲。平面彎曲是彎曲問(wèn)題中最基本且最常見(jiàn)的情況，這章主要討論梁的平面彎曲的強(qiáng)度和剛度問(wèn)題。3)梁上的外力、梁的支座及分類(lèi)CHAP.4直梁的彎曲

工程上梁的支承情況很復(fù)雜，可以簡(jiǎn)化歸納為以下三種典型形式：a.固定鉸鏈支座（阻止梁在支座處沿水平和垂直方向移動(dòng)，但不能阻止梁繞鉸鏈中心轉(zhuǎn)動(dòng)）。因此其受力情況用位移表示b.活動(dòng)鉸鏈支座（阻止梁沿支座面的法線方向移動(dòng)）。因此其受力情況用位移表示c.固定端（使梁即不能沿水平方向和豎直方向移動(dòng)，也不能繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)）因此其受力情況用位移表示CHAP.4直梁的彎曲

實(shí)際上工程結(jié)構(gòu)的受力情況，可以視具體情況簡(jiǎn)化為上述三種形式之一，根據(jù)梁的支承情況，可將梁簡(jiǎn)化為三種。力學(xué)模型如下（考慮關(guān)于梁本身的簡(jiǎn)化，梁通常用某軸線表示）簡(jiǎn)支梁―梁的一端為固定鉸鏈支座，另一端為活動(dòng)鉸鏈支座;外伸梁―支座情況同上，梁的一端或兩端伸出在支座之外;懸臂梁―梁的一端固定，另一端自由外伸CHAP.4直梁的彎曲

2.梁的內(nèi)力分析作用在梁上外載荷在傳遞載荷過(guò)程中，力所經(jīng)過(guò)的各個(gè)橫截面都將產(chǎn)生相應(yīng)的內(nèi)力，如何進(jìn)行梁的內(nèi)力分析,可通過(guò)靜力平衡和變形兩方面分析。1）靜力平衡仍以前圖所示橫梁為例，由靜力平衡及RA=RB=P

CHAP.4直梁的彎曲

AC段：分析1－1截面，切開(kāi)1－1截面，取其左邊一段，該段梁上另作用有一向上的外力RA，根據(jù)靜力平衡，得到在1－1截面的左側(cè)作用著Q1,M1，Q1－梁在該截面上的剪力，M1－梁在該截面上的彎矩，Q1，M1是1-1截面右側(cè)作用于左側(cè)的，截面左側(cè)同時(shí)作用給右側(cè)同樣大小的力。應(yīng)當(dāng)把作用在同一截面左右二側(cè)的剪力和彎矩看成一個(gè)。剪力、彎矩是成對(duì)出現(xiàn)的。b.CD段CD段任一截面2－2，Q=0，M2=Px－P(x－a)＝Pa（設(shè)AC=DB=a）CHAP.4直梁的彎曲

由此可見(jiàn)，彎曲梁的各個(gè)截面上作用著不同的Q,M，AC段，即有Q，又有M—橫力彎曲（剪切彎曲）,CD段—純彎曲。2）變形分析（定性）梁未受外載荷在CD段任取二個(gè)相鄰橫截面a1b1c1d1~a2b2c2d2,畫(huà)上三條縱向線m1m2，o1o2,n1n2（梁的1/2高度處），當(dāng)梁上施加外載荷及支座反力RA,RB后，我們發(fā)現(xiàn)：CHAP.4直梁的彎曲

截面的中性軸（Z方向）。將梁所有橫截面上的中心軸連接起來(lái)形成梁的中性層（通過(guò)截面形心，且垂直于截面的垂直對(duì)稱軸線）。顯然，梁發(fā)生平面彎曲時(shí)，中性層內(nèi)的縱向纖維長(zhǎng)度不變。幾個(gè)名詞：梁的軸線、梁的對(duì)稱平面，橫截面的中性軸，垂直對(duì)稱軸，梁的中性層。正是由于梁的一系列相鄰橫截面之間發(fā)生了繞各自中性軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，所以才導(dǎo)致了梁的由直變彎，以及梁的縱向纖維的伸長(zhǎng)、縮短。CHAP.4直梁的彎曲

現(xiàn)在來(lái)分析梁彎曲的任一橫截面上彎曲應(yīng)力情況。假想將梁沿平面截開(kāi)：由于縱向纖維受到不同程度的拉伸、壓縮，因此該截面上必定作用著正應(yīng)力，與拉伸不同，非均布。在中性層以上縱向纖維縮短，產(chǎn)生壓縮應(yīng)力，在中性層以下縱向纖維伸長(zhǎng)，產(chǎn)生拉伸應(yīng)力，中性層處應(yīng)力＝0。作用在橫截面上這些正應(yīng)力，由于中性軸以上是壓應(yīng)力，中性軸以下是拉應(yīng)力。于是無(wú)數(shù)微面積dA上的力對(duì)中性軸構(gòu)成了一個(gè)合力矩（即前面提到的彎矩M）CHAP.4直梁的彎曲

內(nèi)力矩的產(chǎn)生伴隨著梁的相鄰橫截面之間發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，隨著外載荷增加而增加；內(nèi)力矩作用，阻止該截面在外力矩作用下企圖發(fā)生的進(jìn)一步轉(zhuǎn)動(dòng)（起著平衡力矩作用）并且力圖恢復(fù)梁的變形。彎矩、剪力總是成對(duì)出現(xiàn)的，大小相等，方向相反。3.剪力與彎矩的計(jì)算由上一節(jié)分析可知，任一截面上的剪力，其作用是抵抗該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面的剪力作用,其大小應(yīng)該等于該截面一側(cè)所有橫向外力之和。任一截面上的彎矩，其作用是抵抗該截面一側(cè)所有外力使截面繞其中性軸轉(zhuǎn)動(dòng)，它的大小應(yīng)等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)改截面中性軸取矩之和。剪力、彎矩均有二種方向，須規(guī)定其“正負(fù)”：由于Q,M均是內(nèi)力，其正負(fù)要根據(jù)變形而定。CHAP.4直梁的彎曲

2）彎矩正負(fù)的規(guī)定彎矩正負(fù)的規(guī)定也要依據(jù)變形。彎曲變形的實(shí)質(zhì)是兩個(gè)相鄰橫截面之間發(fā)生繞各自中性軸的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。伴隨這種轉(zhuǎn)動(dòng)，橫截面上才有彎矩產(chǎn)生。一種相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)是使二相鄰橫截面之間的縱向間距發(fā)生上邊縮短，下邊伸長(zhǎng)的變形圖（a），伴隨這種相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)而在該截面上所發(fā)生的彎矩，通常規(guī)定為正，反之為負(fù)。

也即橫截面上存在的“上半部受壓，下半部受拉”的正應(yīng)力對(duì)中性軸取矩構(gòu)成正的彎矩。反之，構(gòu)成負(fù)的彎矩。向上的外力均產(chǎn)生正的彎矩，向下的外力均產(chǎn)生負(fù)的彎矩。彎矩法則：梁在外力作用下，其任意指定截面上的彎矩等于該截面一側(cè)所有外力對(duì)該截面中性軸取矩的代數(shù)和。凡是向上的外力，其矩取正值，向下的外力，取負(fù)值。若是集中力偶，則截面左側(cè)順時(shí)針轉(zhuǎn)向，截面右側(cè)逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的力偶取正值，反之取負(fù)值。CHAP.4直梁的彎曲

3）剪力圖和彎矩圖橫截面上的剪力、彎矩隨截面的位置發(fā)生變化。假設(shè)以梁的左端為原點(diǎn)，沿梁的軸線建立x軸，于是，梁各個(gè)橫截面上的剪力Q、彎矩M均可表示為截面所在位置坐標(biāo)x的函數(shù)，剪力方程和彎矩方程。同繪制軸力圖或扭矩圖一樣，按選定的比例尺，以橫截面上的剪力或彎矩為縱坐標(biāo)，以橫截面位置為橫坐標(biāo)，把的圖線表示出來(lái)。這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖。目的―分析找出梁內(nèi)的大小及其橫截面所在位置（危險(xiǎn)截面），從而進(jìn)行梁的強(qiáng)度計(jì)算。下面分別討論集中力、集中力偶、均布載荷作用下的Q、M圖。CHAP.4直梁的彎曲

例1：集中力作用AC=a=0.25m,BE=b=0.2m,AB=l=1m,P1=500N,P2=1000N,P3=300N步驟：a.根據(jù)靜力學(xué)平衡條件，求出未知約束反力及力偶RA=935N,RB=865N；b.分段、逐段計(jì)算剪力，定特殊點(diǎn)，畫(huà)出剪力圖；c.分段、逐段計(jì)算彎矩，定出特殊點(diǎn)，畫(huà)彎矩圖d.對(duì)于復(fù)雜梁，可采用分解，合成法，先分解為若干受力情況簡(jiǎn)單的梁，然后疊加而成。CHAP.4直梁的彎曲

集中力偶作用處，M－x圖有突變，突變值大小等于集中力偶值，Q－x圖不變。例2：集中力偶作用Q－x圖：AC段CB段M－x圖：AC段CB段（截面左側(cè)的m逆時(shí)針取負(fù)值）若按右側(cè)考慮，CHAP.4直梁的彎曲

例3：均布載荷作用AC=BD=a，CD=l，載荷集度qQ－x圖：CA段

AB段

BD段：M－x圖:CA段

AB段

BD段CHAP.4直梁的彎曲

當(dāng)載荷分布較合理

此值為臥式容器支座的合理位置。均布載荷作用下，剪力圖是一條斜線，彎矩圖是一拋物線；MMAX發(fā)生處位于Q=0，集中力或集中力偶作用處。CHAP.4直梁的彎曲

現(xiàn)在來(lái)尋找橫截面上正應(yīng)力變化規(guī)律，推導(dǎo)其計(jì)算公式。為此須對(duì)縱向纖維的線應(yīng)變作進(jìn)一步的定量分析。仍取相鄰二截面a1b1c1d1,a2b2c2d2，坐標(biāo)系取法同前，x軸－中軸線（－>為正），y軸－截面垂直于對(duì)稱軸（為正），Z軸垂直于xy平面―中性軸方向，原點(diǎn)通過(guò)截面形心。變形前變形后CHAP.4直梁的彎曲

圖（a）是變形前情況，三條縱向線m1m2=o1o2=n1n2=dx圖（b）是彎曲以后情況，相鄰二橫截面發(fā)生了繞各自中性軸的相對(duì)移動(dòng)，于是有：中性層上縱向纖維o1o2變成弧線，其長(zhǎng)度不變，但其曲率半徑由b.其它位置上縱向纖維有不同程度的拉伸（n1n2）或縮短（m1m2）。任取一距中性層為y的縱向纖維n1n2來(lái)研究，彎曲后弧線n1n2＝變形前n1n2＝o1o2＝弧線o1o2＝于是其縱向線應(yīng)變又因上式中表示的是梁某截面a1b1c1d1與相鄰截面之間發(fā)生的相對(duì)移動(dòng)程度大小，而表示梁的軸線在所討論截面形心處的曲率變化量。從不同角度反映了梁在討論的橫截面處的彎曲變形梯度。（4-1）（4-2）CHAP.4直梁的彎曲

例：直徑1mm的鋼絲纏繞在一圓柱體上，要保持受彎鋼絲的彈性，試問(wèn)圓柱體的直徑不得小于多少？已知鋼絲的比例極限為400MPa,彈性模量E=2*105MPa所以圓柱體直徑不得小于500mm。CHAP.4直梁的彎曲

（3）靜力關(guān)系（4-4）式得到了彎曲正應(yīng)力和曲率半徑的關(guān)系。更多時(shí)候，曲率半徑未知，必須確定曲率半徑與外載荷M之間的關(guān)系，從靜力學(xué)關(guān)系中尋找曲率半徑與外載荷M的關(guān)系。由彈性理論證明，中性軸（截面上縱向纖維長(zhǎng)度不變的軸）必須通過(guò)橫截面形心，這樣我們可以完全確定中性軸位置，中性軸上各縱向纖維，在中性層平面，其長(zhǎng)度不變。前面已經(jīng)討論過(guò)，在形成橫截面的無(wú)數(shù)個(gè)微小面積dA上作用著力對(duì)中性軸所構(gòu)成的合力矩即為該截面的彎矩M，由是截面常量，稱為橫截面對(duì)中性軸Z的軸慣性矩。用IZ表示（m4，mm4），其值取決于橫截面的形狀和尺寸。CHAP.4直梁的彎曲

由此得到，（4-5）上式表示直梁彎曲時(shí)，相對(duì)轉(zhuǎn)角越大的橫截面，其截面上彎矩越大，它反映了截面轉(zhuǎn)動(dòng)與截面內(nèi)力之間的關(guān)系。

將（4－5）代入（4—4）得到正應(yīng)力計(jì)算公式

（4-6）上式中，y為討論點(diǎn)離中性軸的距離，向下為正，中性軸Z過(guò)截面形心，且垂直截面對(duì)稱軸。（4－6）式適用前提：a.梁的材料服從虎克定律（縱向纖維間不存在相互擠壓，僅有單向拉（壓））b.CHAP.4直梁的彎曲

對(duì)于T，槽形等截面，橫截面不對(duì)稱于中性軸，此時(shí)有二個(gè)WZ，以y1，y2表示中性軸離上、下邊緣距離,

由令得（4-7）（4-8）WZ橫截面對(duì)中性軸Z的抗彎截面模量（m3，mm3）以上應(yīng)力公式雖然是在基于純彎曲的假設(shè)推導(dǎo)得出的，但只要梁的l/h>5，對(duì)于剪切彎曲的梁，上式仍有效。其一為拉應(yīng)力，另一為壓應(yīng)力。CHAP.4直梁的彎曲

（4）截面的IZ與WZIZ，WZ與A一樣，反映的是截面的幾何性質(zhì)，面積A的大小反映了桿件抗拉（壓）能力的強(qiáng)弱，而IZ，WZ則反映了截面抗彎能力的大小。相同材料，相同面積，若IZ（WZ）不同，則其抗拉能力相同，而抗彎能力可能差異很大。M一定，IZ（WZ）大則應(yīng)力小，因此在選擇梁的截面形狀和尺寸，應(yīng)盡量使橫截面具有較大的IZ（WZ）。下面分析計(jì)算矩形截面的IZ，WZ取dA＝bdy

表4，P72列出了常用截面的IZ，WZ（圓（環(huán)），矩形，記住。CHAP.4直梁的彎曲

2）正應(yīng)力強(qiáng)度條件及應(yīng)用通常，等截面直梁在剪切彎曲時(shí)，的截面是梁的危險(xiǎn)截面，在危險(xiǎn)截面上下邊緣處所產(chǎn)生的正應(yīng)力是整個(gè)梁在工作時(shí)的最大應(yīng)力。從強(qiáng)度角度，為了保證梁能安全工作，須滿足：為許用彎曲應(yīng)力，可查手冊(cè)有2個(gè)注意點(diǎn)：（1）當(dāng)橫截面不對(duì)稱于中性軸（如T字鋼，工字鋼，槽鋼等）當(dāng)取W1,W2中較小者。（2）當(dāng)材料的許用拉伸（壓縮）應(yīng)力不等時(shí)，分別計(jì)算最大的正彎矩以及最大的負(fù)彎矩，分別求這2個(gè)橫截面上最大拉應(yīng)力，最大壓應(yīng)力，需校核4點(diǎn)。CHAP.4直梁的彎曲

解題步驟：a.求支座反力;b.作M－x圖，確定危險(xiǎn)截面;c.建立強(qiáng)度條件例4-4一簡(jiǎn)支梁受均布載荷作用，已知梁長(zhǎng)l=3m,其橫截面為矩形，h=15cm,b=10cm,均布載荷集度q=3000N/m,梁的材料為松木，其許用彎曲應(yīng)力=10MPa,試按正應(yīng)力校核此梁的強(qiáng)度。簡(jiǎn)單的強(qiáng)度校驗(yàn)，檢驗(yàn)Mmax截面處CHAP.4直梁的彎曲

例4-5一反應(yīng)釜重30KN，安放在跨長(zhǎng)1.6m的兩根橫梁中央，若梁的橫截面采用如圖所示的3種形狀（矩形截面a/b=2），試確定梁的截面尺寸，并比較鋼材重量。梁材料Q235-A，=120MPa。解：由正應(yīng)力強(qiáng)度條件可得所需的最小抗彎截面模量截面比較一：CHAP.4直梁的彎曲

平放：立放：工字鋼：查附表A-1，10#工字鋼的W=49cm3，較接近，可用。查得A=14.3cm2;三種不同截面所需鋼材質(zhì)量比（面積比）：

工字鋼：矩形立放：矩形平放=1：2.45：3.91CHAP.4直梁的彎曲

截面比較二：例4-6現(xiàn)有三根跨長(zhǎng)4m的簡(jiǎn)支梁，三根梁的材料均為Q235-A，許用彎曲應(yīng)力120MPa,它們截面形狀不同，但截面面積相同（21.5cm2)。若在梁中央有一集中載荷，試問(wèn)：三根梁所允許承受的最大載荷分別是多少？如果在距支座1m處置一集中載荷，該載荷最大允許值多少？如果該三根梁承受的是均布載荷，最大載荷又是多少？解：梁所能承受的最大彎矩工字鋼矩形立放矩形平放CHAP.4直梁的彎曲

當(dāng)梁在其中央承受集中載荷P時(shí)，其最大彎矩在梁的中央，且

故b.當(dāng)在距支座l/4處作用著集中載荷P時(shí)，最大彎矩在集中載荷作用點(diǎn)處。且故c.當(dāng)沿梁全長(zhǎng)承受均布載荷q（N/m）時(shí)，再大彎矩在梁中央，且故CHAP.4直梁的彎曲

從此例題可知，決定梁抗彎強(qiáng)度的截面幾何量是抗彎截面摩量W而不是面積A。對(duì)于彎曲梁，存在著所謂“合理截面”問(wèn)題。對(duì)于矩形截面平、立放及工字鋼截面，以工字鋼截面承受載荷最大。

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3）梁的合理