概率論與數(shù)理統(tǒng)計第一章(黃色背景)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計任課教師:姚香娟一、概率論的起源概率論的起源之一是博奕問題。15～16世紀意大利數(shù)學家帕喬利(Pacioli)、塔爾塔利亞(Tartaglia)和卡爾達諾的著述中曾討論過“如果兩人賭博提前結(jié)束，該如何分配賭金”等概率問題。1654年左右，愛好賭博的法國人梅雷（A．G．C．deMere）向帕斯卡提出了類似的合理分配賭金問題，引發(fā)了帕斯卡與費馬之間探討概率論問題的多封通信，他們用不同的組合方法給出了這類問題的正確答案。荷蘭數(shù)學家惠更斯（C．Huygens，

1629～1695）訪問巴黎時了解到帕斯卡與費馬的通信研究，對這類問題產(chǎn)生興趣并著《論賭博中的計算》

(1657）探討概率問題的原理。這些數(shù)學家主要以代數(shù)方法計算概率，他們的著述中出現(xiàn)了第一批概率論專門概念（如數(shù)學期望）與定理（如概率加法、乘法定理），標志著概率論作為一門科學的誕生。

二內(nèi)容與學時第一章——第五章第六章——第八章概率論數(shù)理統(tǒng)計如何學習概率統(tǒng)計?1.認識其重要性,培養(yǎng)濃厚的學習興趣2.學數(shù)學最好的方式是做數(shù)學讀、聽、作

在科學上沒有平坦的大道,只有不畏勞苦沿著陡峭山路攀登的人,才有希望到達光輝的頂點.馬克思3.學習要求:預習聽課(記筆記)復習、鞏固教材：《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，周圣武編，煤炭工業(yè)出版社1、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，同濟版2、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》，華東師范大學數(shù)學系

參考書:三、教材與參考書另注：歷年考題和作業(yè)習題冊將近期印刷，自愿購買，近乎成本價。以班級為單位購買。購買時間：第十二周周三下午4點。地點：理A312

四、作業(yè)及答疑交作業(yè)時間：每周周二上課之前答疑：地點：教1-C300(答疑室)時間：周三7-8節(jié)課（第14-20周）考前答疑的具體時間另行通知五、考核方式1、平時成績（40%）

平時成績由作業(yè)及出勤、測驗、實驗三部分組成，各部分成績在總成績中的占比分別為20%、15%、5%。注：測驗1次（提前1~2周通知）。測驗時，要嚴格自律，不允許抄襲。如因抄襲而引起的相關(guān)成績問題，學生自己承擔責任；因請假沒能參加測驗的學生，要進行補測；沒請假，無故不參加測驗的學生不能補測。

2、考試成績（60%）

六、其他根據(jù)學校有關(guān)規(guī)定：未經(jīng)主講教師批準學生缺課累計超過該門課程總學時的三分之一（或缺課累計超過該門課程考勤次數(shù)的三分之一），或?qū)W生未交作業(yè)達到該門課程作業(yè)總量三分之一的，不得參加該課程的考核。注：請假必須持有學生所在院系相關(guān)負責人簽字蓋章的請假條。自然界和社會中有兩類現(xiàn)象：①確定性現(xiàn)象：在一定條件下必然發(fā)生的現(xiàn)象例

拋一石子必然落下；（結(jié)果可以事先預言的）②隨機現(xiàn)象：在個別試驗中其結(jié)果呈現(xiàn)出不確定性在大量的重復觀察中又具有某種統(tǒng)計規(guī)律性的現(xiàn)象。（結(jié)果不可事先預言）例

拋一枚硬幣，落下時正面朝上或反面朝上；緒言同性電荷互斥

第一章第1節(jié)隨機事件及其運算一、隨機試驗二、樣本空間與隨機事件三、事件間的關(guān)系及其運算（重點）一、隨機試驗對隨機現(xiàn)象進行觀察的試驗1、可以在相同的條件下重復進行；2、試驗的可能結(jié)果不止一個，并且在試驗前能預先知道全部可能結(jié)果；3、在每次試驗前不能預先知道哪個結(jié)果會出現(xiàn)。E1

:拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正反面情況。例：E2

:將一枚硬幣連拋三次，觀察出現(xiàn)正反面的情況。E4:在一批燈泡中任取一只,測試它的壽命。

E3

:記錄電話交換臺一分鐘內(nèi)接到的呼喚次數(shù)。E(experimentation)，具有以下特點：二、樣本空間與隨機事件定義1隨機試驗E的所有可能結(jié)果組成的集合稱為E的樣本空間,記為S

,樣本空間的元素,即E的每個結(jié)果，稱為樣本點,記為e。例如上頁引例中：={H,T}={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}有限個樣本點可列無窮個={0,1,2,3……}={t|t≥0}連續(xù)、不可列Ⅰ.樣本空間S1

S2

S3

S4

例：將一枚硬幣連拋三次1)觀察正反面出現(xiàn)的情況,2)觀察正面出現(xiàn)的次數(shù),Ⅱ.隨機事件定義2樣本空間中的子集稱為隨機事件，簡稱事件，

一般記為A,B,C等。A—點數(shù)之和為7,例：拋兩個骰子，骰子可分辨，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，注意：樣本空間的元素是由試驗目的所決定的。={HHH,HHT……}S1

={0,1,2,3}S2

S={11,12,13,……,61,……,66}A={16,25,34,43,52,61}特殊隨機事件：3.基本事件：一個樣本點組成的單點集(試驗E的每個可能結(jié)果）例：有兩個基本事件{H}和{T}1.必然事件：每次試驗中必然發(fā)生的事件,記為S。2.不可能事件：每次試驗一定不發(fā)生的事件,記事件A發(fā)生A中的某一個樣本點在試驗中出現(xiàn)①包含、相等關(guān)系A(chǔ)發(fā)生必然導致B發(fā)生1.事件的關(guān)系三、事件間的關(guān)系及其運算（重點）事件B包含事件AA與B相等，記為A=B。②事件的和A和B的和事件表示A與B中至少有一個發(fā)生，即：A與B中至少有一個發(fā)生時，發(fā)生。③事件的積表示事件A和B同時發(fā)生，即：且A與B的積事件當且僅當A與B同時發(fā)生時，通常簡記為AB。發(fā)生。④事件的差A-B表示事件A發(fā)生但事件B不發(fā)生但⑤互斥事件(互不相容)，則稱A,B為互不相容事件即：A、B不能同時發(fā)生。⑥對立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A與B的差事件且，則稱事件A與B互為逆事件或互為對立事件。A的對立事件記為,=S-A。2.事件的運算法則①交換律；②結(jié)合律③分配律④德·摩根律：；推廣：;①，，，則，設②③注：事件的一些關(guān)系式

例1.設A,B,C表示三個事件,試表示下列事件(1)A發(fā)生,B與C不發(fā)生(2)A與B發(fā)生,C不發(fā)生(3)A,B與C都發(fā)生(4)A,B與C至少有一個發(fā)生(5)A,B與C全不發(fā)生(6)A,B與C至少有兩個發(fā)生例2

以A表示“甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則為(A)甲滯銷，乙暢銷(B)甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷(C)甲種產(chǎn)品暢銷(D)甲滯銷或乙暢銷解設B=“甲產(chǎn)品暢銷”，C=“乙產(chǎn)品暢銷”則，故選(D)例3

關(guān)系()成立，則事件A與B為對立事件。(a)(b)(c)(d)與為對立事件(c)顯然成立，(d)也成立。解釋(d)：例4.在擲子的試驗中,樣本空間事件A—出現(xiàn)偶數(shù)點,事件B—出現(xiàn)奇數(shù)點事件C—出現(xiàn)點數(shù)大于4,事件D—點數(shù)大于5求:解:∵A={2,4,6},B={1,3,5},C={5,6}

D={6}A與B為對立事件二、概率的統(tǒng)計定義一、頻率第2節(jié)頻率與概率三、概率的公理化定義重點掌握利用關(guān)系式計算概率一個事件在某次試驗中的出現(xiàn)具有偶然性，但在大量重復試驗中隨機事件的出現(xiàn)呈現(xiàn)出一定的數(shù)量規(guī)律，頻率這一概念近似反映了這個數(shù)量規(guī)律。1.定義1

設E,S,A為E中某一事件，在相同條件下進行n次獨立重復試驗，事件A發(fā)生的次數(shù)記為稱為A的頻率。(frequency)2.性質(zhì)：0≤≤1一、頻率則比值若兩兩互不相容結(jié)論：當n較小時，頻率呈偶然性，波動性很大；隨著n的增加，波動幅度減小，最后集中在某一個數(shù)附近。歷史上著名的統(tǒng)計學家蒲豐和皮爾遜曾進行過大量擲硬幣的試驗，所得結(jié)果如下：試驗者蒲豐皮爾遜皮爾遜次數(shù)正面的次數(shù)正面的頻率404020480.50691200060190.501624000120120.5005這種現(xiàn)象稱為頻率穩(wěn)定性，也就是通常所說的統(tǒng)計規(guī)律性，頻率穩(wěn)定值注：試驗次數(shù)越多，并不說明越精確，只能說明波動范圍越小。即概率的統(tǒng)計定義。二、概率（概率的公理化定義）1.定義設E,S

,對于E的每一事件A，賦予一個實數(shù)，記為P(A),稱為事件A的概率,如果P(·)滿足以下三個公理：⑴非負性：⑵規(guī)范性：⑶可列可加性：2.性質(zhì)：故由可列可加性又因為≥0，有限可加性其中兩兩互不相容。，則證明

取所以如果則①≤②證明

且A和B－A互不相容得①式成立；，0≤≤1證明推廣：(加法公式)BA提示：可用歸納法證明例1.

已知證明:例2、解：例3

某人外出旅游兩天，據(jù)天氣預報知：第一天下雨的概率為0.6，第二天下雨的概率為0.3，兩天都下雨的概率為0.1,試求下列事件的概率：(2)第一天不下雨，第二天下雨(4)兩天都不下雨；(1)第一天下雨，第二天不下雨(3)至少有一天下雨解：設A—第一天下雨，B—第二天下雨則(5)至少有一天不下雨(1)(2)(3)(4)(5)例4

(訂報問題)在某城市中，共發(fā)行三種報紙A，B，C，訂購A，B，C的用戶占用分別為45%，35%，30%，同時訂購A，B的占10%，同時訂購A，C的占8%，同時訂購B，C的占5%，同時訂購A，B，C的占3%，試求下列事件的概率：(1)只訂購A的(2)只訂購A，B的(3)只訂購一種報紙的(4)只訂購兩種報紙的(5)至少訂購一種報紙的(6)不訂購任何報紙的解

設A，B，C分別表示“用戶訂購A，B，C報紙”(1)(2)(3)﹏﹏﹏﹏﹏﹏兩兩互不相容的(4)﹏﹏﹏﹏﹏﹏兩兩互不相容(5)(6)例5

已知求A,B,C中至少有一個發(fā)生解的概率。例6

證明證例7，求解

第一章第3節(jié)等可能概型（古典概型）一、等可能概型的定義二、計算公式三、計算方法1.定義：具有以下兩個條件的隨機試驗稱為等可能概型，有限性試驗的樣本空間中的元素只有有限個；等可能性每個基本事件的發(fā)生的可能性相同。例：E1—拋硬幣,觀察哪面朝上2.計算公式：①等可能概型也稱為古典概型。E2—投一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù)={H,T}S1

={1,2,3,4,5,6}S2

②若事件A包含k個基本事件，即其中(表示中的k個不同的數(shù))則有例1

投兩枚骰子，事件A——“點數(shù)之和為3”，求解法一：出現(xiàn)點數(shù)之和的可能數(shù)值111221×∵不是等可能的法二：36個∴要注意對于用的時候要兩個條件都滿足。例2

投兩枚骰子，點數(shù)之和為奇數(shù)的概率。解

令A——點數(shù)之和為奇數(shù)法一，36個18個法二，所有可能結(jié)果(奇,奇)，(奇,偶)，(偶,奇)，(偶,偶)A={(奇,偶)，(偶,奇)}∴說明樣本空間的選取可以不同，但必須保證等可能。3.方法：構(gòu)造A和S的樣本點(當樣本空間S的元素較少時，先一一列出S和A中的元素，直接利用求解)用排列組合方法求A和S的樣本點個數(shù)預備知識Ⅰ.加法原理：完成一項工作m類方法，第i類方法有種，(i=1,2,m)，則完成這項工作共有：種方法。Ⅱ.乘法原理：完成一項工作有m個步驟，第i步有，則完成該項工作一共有：種方法。種方法（i=1,2,…,m)Ⅲ.排列：從n個元素中取出r個元素，按一定順序排成一列，稱為從n個元素里取出r個元素的排列。(n，r均為整數(shù))進行排列，共有①(無放回選取)從n個不同元素中無放回的取出m個(m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏種方法。②(有放回選取)從n個不同元素中有放回地抽取r個，依﹏﹏﹏﹏﹏次排成一列，稱為可重復排列，一共有Ⅳ.組合從n個元素中無放回取出r個元素，不考慮其順序，組合數(shù)為或,例：袋中有三個球，標號1,2,3，任取兩次①無放回，考慮順序{12,13,21,23,31,32}

無放回，不考慮順序{12,13,23}②有放回，考慮順序{11,12,13,21,22,23,31,32,33}例3

6只不同球(4白2紅)，從袋中依次取兩球，觀察其顏色。分別做a.有放回抽樣b.不放回抽樣，(1)“取到的兩只球都是白球”(2)“取到的兩只球顏色相同”(3)“取到的兩只球中至少有一個是白球”解

a.

(1)(2)(乘法原理)S：6×6=36求下列事件的概率：(3)表示“兩只都是紅球”，若直接考慮：(1)(2)(3)b.無放回(考慮先后順序)思考：如果不考慮順序呢？例4.某教研室共有11名教師,其中男教師7人,現(xiàn)在要選3名優(yōu)秀教師,問其中至少有一女教師概率解(方法一)設A=“3名優(yōu)秀教師中至少有一名女教師”=“3名優(yōu)秀教師中恰有名女教師”則方法二設A=“3名優(yōu)秀教師全是男教師”注：在使用排列組合時，分子分母要保持一致。例6(分房問題)

將r個球隨機地放入n(n>r)個盒子中，設各個球放入每個盒子是等可能的，解求：每個盒子至多有一個球的概率。將r個球放入n個盒子，每一種方法是一個基本事件例5

袋中有a只黑球和b只白球，k個人把球隨機的一只只摸出來，求第k個人摸出的是黑球的概率。解

將k個人取球的每一種取法看成一個樣本點例7(生日問題)

設每個人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么隨機選取n(≤365)人。(1)他們的生日各不相同的概率為多少？(2)n個人中至少有兩個人生日相同的概率為多少？解

(1)設A=“n個人的生日各不相同”(2)設B=“n個人中至少有兩個人生日相同”當n等于64時，在64人的班級中，B發(fā)生的概率接近于1，即B幾乎

總是會出現(xiàn)。設樣本空間為有限區(qū)域

,若樣本點落入內(nèi)任何區(qū)域G

中的概率與區(qū)域G

的測度成正比,則樣本點落入G內(nèi)的概率為幾何型概率計算公式測度指長度、面積、體積等，是對區(qū)域的一種度量.例8

兩船欲停同一碼頭,兩船在一晝夜內(nèi)獨立隨機地到達碼頭.若兩船到達后需在碼頭停留的時間分別是1小時與2小時，試求在一晝夜內(nèi)，任一船到達時，需要等待空出碼頭的概率.解設船1到達碼頭的瞬時為x,0x<24

船2到達碼頭的瞬時為y,0y<24設事件A=“任一船到達碼頭時需要等待空出碼頭”xy2424y=xy=x+1y=x-2“概率為1的事件一定發(fā)生嗎?”01xY1如圖，設試驗E為“隨機地向邊長為1的正方形內(nèi)投點”事件A為“點投在黃、藍兩個三角形內(nèi)部”,求P(A).由于點可能投在正方形的對角線上,所以事件A未必一定發(fā)生！“概率為0的事件一定不會發(fā)生嗎?”第4節(jié)條件概率一條件概率二乘法公式三全概率公式,貝葉斯公式（重點）

第一章引例:取一副牌,隨機的抽取一張,問:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是紅桃,問抽中的是k的概率。解：A

——抽中的是紅桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性嗎?在古典概型中,一條件概率1、定義：設A，B為兩事件，且則稱為事件A發(fā)生條件下事件B發(fā)生的條件概率。3.設是兩兩互不相容的事件則條件概率滿足概率公理化定義中的三個公理:2.性質(zhì)：條件概率類似滿足概率的6條性質(zhì)。(1)在縮減樣本空間中求事件概率（實際意義法）(2)定義法例1、

設一批產(chǎn)品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,現(xiàn)從中任取一件，結(jié)果不是三等品，求取得是一等品的概率。解則由已知得如引例2、條件概率的求法定理

設，則有推廣

其中，則有或二、乘法公式推廣到n個事件，如果則有設袋中裝有r只紅球，t只白球，每次從袋中任取一只，觀察其顏色然后放回，并再放入a只與所取的同色的球，第一、二次取到紅球且第三、四次取到白球的概率。若在袋中連續(xù)取球四次，求：“第次取到紅球”解:

設例2.i=1，2，3，4注：a=0時，就是有放回抽樣；

a=-1時，就是無放回抽樣。設一個班中30名學生采用抓鬮的辦法分一張電影票,問各人獲得此票的機會是否均等？解

設“第名學生抓到電影票”i=1,2,…,30例3、同理,第i個人要抓到此票,他前面的i-1個人都沒抓到此票思考：如果是兩張電影票呢？首先，將復雜事件劃分成若干簡單事件之和，然后，利用簡單事件來推算復雜事件的概率。（1）樣本空間的劃分;（2）全概率公式.（3）貝葉斯公式基本思想：三、全概率公式與貝葉斯（Bayes）公式定義

設S為隨機試驗E的樣本空間，B1,B2,…,Bn是一組隨機事件，如果它們滿足：則事件B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分.例如

設試驗E

為“擲骰子觀察其點數(shù)”。樣本空間為，，，，而不是劃分。注:對每次試驗，若事件B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分，則任何事件A也被劃分成一些簡事件的和！兩兩互不相容定理若事件B1,B2,…,Bn為樣本空間S的一個劃分，并且每個P(Bi)>0，則任何事件A的全概率公式為：證:兩兩互不相容例1

某電子公司所用元件由三家元件配件廠提供，有如下數(shù)據(jù)：元件配件廠次品率提供份額10.020.1520.010.8030.030.05設這三家的產(chǎn)品在倉庫中均勻混合，且無任何標志.在倉庫中任取一只元件，求它是次品的概率.原理1：若樣本空間可以根據(jù)不同的方法進行分類，而問題關(guān)心的是按照某一分類方法進行分類時某種可能結(jié)果發(fā)生的概率，則我們可以根據(jù)另外一種分類方式對樣本空間進行劃分。由全概率公式得：解設：Bi＝“取到的元件是由第i廠提供的”，

A=“取到的元件是次品”則B1，B2，B3構(gòu)成的所有產(chǎn)品的一個劃分.

例2

有三個編號為1,2,3箱子,1號箱裝有1個紅球4個白球,2號箱裝有2紅3白球，3號箱裝有3紅球.某人從三箱中任取一箱,從中任意摸出一球,求取得紅球的概率.解記

Ai={取到i號箱},i=1,2,3;B={取得紅球}123則A1、A2、A3就是樣本空間的一個劃分.故原理2：若完成某項試驗需要多個步驟，問題關(guān)心的是某個步驟完成后某個事件發(fā)生的概率，則可以依據(jù)前面某個步驟完成后的所有可能結(jié)果對樣本空間進行劃分。去構(gòu)造這一組Bi往往可以簡化計算.全概率公式的理論和實用意義在于:在較復雜情況下計算P(A)不易,但A

總是伴隨著某個Bi出現(xiàn)，所以適當?shù)乩?.則甲乙丙三人同時向飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7,飛機被一人擊中而擊落的概率為0.2,

被兩人擊中而擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必被擊落,求飛機被擊落的概率.解:設=“飛機被個人擊中”=“飛機被擊落”=“飛機被第人擊中”運用全概率公式計算P(A)2、貝葉斯公式定理設隨機試驗E的樣本空間為S,A為E的任意一個事件,為S的一個劃分,且則，稱此式為貝葉斯公式。例7.設某工廠甲,乙,丙3個車間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品,產(chǎn)量依次占全廠的45％,35％,20％,且各車間的合格品率為0.96,0.98,0.95,現(xiàn)在從待出廠的產(chǎn)品中檢查出1個次品,問該產(chǎn)品是由哪個車間生產(chǎn)的可能性最大？解分別表示該產(chǎn)品是由甲、乙、丙車間生產(chǎn)，設A

表示“任取一件產(chǎn)品為次品”由題意得由貝葉斯公式所以該產(chǎn)品是甲車間生產(chǎn)的可能性最大。用全概率公式求得例8、某炮臺有3門炮，第1、2、3門炮的命中率分別為0.4，0.3，0.5，3門炮各發(fā)射一枚炮彈，如果有兩枚命中目標，求第1門炮命中目標的概率。解：A—兩枚命中目標，B—第1門炮命中目標例9、A—某種臨床試驗呈陽性B—被診斷者患有癌癥根據(jù)以往的臨床紀錄，癌癥患者某項實驗呈陽性的概率為0.95，而正常人該試驗成陰性的概率為0.95，已知常人患癌癥的概率為0.005，現(xiàn)對自然人群進行普查，如果某人試驗呈陽性，求他患癌癥的概率有多大？解由題，已知注：樣本空間劃分的尋找1、直接找題目中概率相加等于1的事件;2、從問題分析，看影響問題的是什么事件。已知“結(jié)果”求“原因”全概率公式尋找導致A發(fā)生的每個原因的概率.②貝葉斯公式是在觀察到事件A已發(fā)生的條件下，注：①全概率公式是在已知導致事件A

的每個原因發(fā)生的概率的條件下，求事件A

發(fā)生的概率。已知“原因”求“結(jié)果”貝葉斯公式例

在電報系統(tǒng)中，不斷發(fā)出“0”和“1”，發(fā)“0”和“1”的概率為0.6和0.4，發(fā)“0”分別以0.7,0.1和0.2接受為“0”“1”和模糊信息“X”，發(fā)“1”分別以0.85,0.05和0.1接收“1”,“0”和模糊信息“X”，試求：⑴收到信息為模糊信息的概率。⑵收到模糊信息應該譯成什么信息的最好。分析

發(fā)信息

收信息“0”“0”0.7“1”0.1“X”0.20.6“1”“1”0.85“0”0.05“X”0.10.4解

設Ai表示“發(fā)出的信息為“i”，i=0,1Bi表示“收到的信息為“i”，i=0,1,X

⑴⑵，所以應為“0”信息好。備用：解:分別表示他乘火車,汽車,輪船,飛機設A=“他來遲了”由題意,則某人從外地來參加會議,他乘火車,汽車,輪船或飛機來的概率為如果他乘飛機來不會遲到;而乘火車,汽車或輪船來遲的概率為試求:1)他來遲的概率2)如果他來遲了，試推斷他是怎樣來的？下求下求1)由全概率公式2)由貝葉斯公式乘火車的可能性最大第5節(jié)事件的相互獨立性引例：E—擲兩枚硬幣，觀察正反面的情況A—甲幣出現(xiàn)H

，B—乙?guī)懦霈F(xiàn)H={HH，HT，TH，TT}S由此看出一、兩個事件相互獨立

定義1設A、B是兩個事件，如果有如下等式成立則稱事件A、B相互獨立。定理設A、B是兩個事件⑴若，則A、B

相互獨立的充分必要條件為⑵若A、B

相互獨立,證相互獨立,則有反之，由乘法公式⑴若，則A、B

相互獨立的充分必要條件為證：

其余同理可證。⑵若A、B

相互獨立,思考:如圖所示的事件獨立嗎?則A與