塑性理論 第五章 應(yīng)變分析

第五章應(yīng)變分析

主要內(nèi)容5.1應(yīng)變的基本概念5.2幾何方程5.3一點附近的應(yīng)變分析5.4主應(yīng)變、應(yīng)變張量不變量5.5主剪應(yīng)變，最大剪應(yīng)變５.6應(yīng)變速率5.7變形表示法5.8應(yīng)力一應(yīng)變曲線5·9變形體模型5.10變形協(xié)調(diào)方程5.11平面變形問題和軸對稱問題gaugelength,2in.reducedsection,2.25in.diameter,0.5in.diameter,0.75in.radius3/8in.5.1

應(yīng)變的基本概念

問題的提出：平衡方程，6個未知量，三個方程，無法求解工程應(yīng)用中，關(guān)心成形零件一點處的應(yīng)變否達到該材料的極限應(yīng)變，能否成形零件。破壞點？變形量？變形是否均勻，改變條件，使變形盡可能均勻

虛擬技術(shù)的應(yīng)用（成形過程模擬）

cavity

coalescence變形的基本概念：

基本假設(shè)：變形體是連續(xù)的，不存在微觀結(jié)構(gòu)，是宏觀的，材料是均勻的。位移：質(zhì)點從一點移至另一點：剛性位移，相對位移變形：只有質(zhì)點間的位移不一致時，才產(chǎn)生變形：剛性位移（旋轉(zhuǎn)和平移）不產(chǎn)生變形正變形：線尺寸伸長或縮短剪變形：形狀發(fā)生畸變（角度發(fā)生變化）變形的大小與位移有關(guān)一點的不同方向，變形數(shù)值不同單元體均勻變形：直線—→直線，平行—→平行小變形：大變形：crackpropagation

(inshear)例：將矩形六面體在千錘下進行撤粗，其塑性變形前后物體的形狀：圖矩形件塑性變形前后形狀第一類變形：諸棱邊的相對變化，其下標表示伸長的方向或與棱邊平行的軸向。只有當各邊都有伸長的變形（或都有縮短的變形）時，才可能得到體積變形。三個線分量——線變形：第二類變形：兩棱邊之間（即兩軸向之間）角度的變化稱為角變形。角變形只引起單元體形狀的改變而不引起體積的變化。。三個線分量——角變形：變形分量及其標號：

5.2

幾何方程

1、小變形下的正應(yīng)變、剪應(yīng)變αxyαyxABCPP1x0yx0yx0yA’1A1C’1C1ABCPP(P1)CB1AC1B1ΦxyA1C1γyxγxy單元體在xoy坐標平面內(nèi)的應(yīng)變線應(yīng)變：工程剪應(yīng)變：剪應(yīng)變：這時，在和中已包含了剛體轉(zhuǎn)動。設(shè)剛體轉(zhuǎn)動為則有：αyxαxyγxyOxy=+ABCPABCPPCBAωzγxyαxyωz這時，在和中已包含了剛體轉(zhuǎn)動。設(shè)剛體轉(zhuǎn)動為則有：同理:

剪應(yīng)變:剛體轉(zhuǎn)動：相對位移張量：

一般情況下：∴

變形張量剛體轉(zhuǎn)動張量2、小應(yīng)變幾何方程

x0yzM(xi)

uxuyuzM1變形體內(nèi)無限接近兩點的位移分量——M點位移到M1點——M’點位移到M’1點——如果MM’平行于某X坐標軸x0yzM(xi)

uxuyuzM1位移增量：變形體內(nèi)無限接近兩點的位移增量xy平面上位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系小變形幾何方程:

則切應(yīng)變?yōu)?

同樣，單元體在可得單元體在yoz和zox坐標平面上投影的幾何關(guān)系:應(yīng)變分量與位移分量間的微分關(guān)系——幾何方程:因為:

3、直角坐標系下的一點的應(yīng)變狀態(tài)由該點的應(yīng)變張量：

柱坐標、球坐標見書P.24。

5.3一點附近的應(yīng)變分析

直線ＭＮ連接物體內(nèi)變形前無限靠近的兩點，直線Ｍ1Ｎ1連接處于變形狀態(tài)中的兩點：故：因為：將上式進行整理后，得：5.4主應(yīng)變、應(yīng)變張量不變量

主應(yīng)變:在變形體內(nèi)一點附近，也存在三個互相垂直的主應(yīng)變方向。在這些方向中，只有正應(yīng)變而無剪應(yīng)變。

主應(yīng)變張量:推導:與l、ｍ、ｎ無關(guān)，求的極值，也就是求的極值。求出對于l、ｍ、ｎ的導數(shù)并使它等于零。得的三次方程：由于：解方程組：所以：應(yīng)變張量不變量：特征方程在主應(yīng)變條件下應(yīng)變張量不變量為：正八面體面上的線應(yīng)變：在塑性變形時，假定體積是不變的，于是：

第一個為偏差應(yīng)變張量：表示在給定點的元素僅改變其形狀而不改變其體積

第二個為球形應(yīng)變張量：表示在給定點的元素各個方向的正應(yīng)變相同，它僅改變其體積而不改變其形狀如坐標軸為主軸，則：式中：應(yīng)變張量分解

偏差應(yīng)變張量的不變量：

主應(yīng)變圖

由于塑性變形時，工件受體積不變條件的限制，可能的變形圖示僅所示的三種：(a）第一類應(yīng)變圖示；（b）第二類應(yīng)變圖示；c）第三類應(yīng)變圖示（１）a為壓縮類應(yīng)變圖示，表明一向縮短兩向伸長。軋制、自由鍛等屬于此類變形圖（２）b為平面應(yīng)變圖示，表明一向縮短一向伸長。軋制寬板帶時屬于此類變形圖示（３）c為伸長類應(yīng)變圖示，表明兩向縮短一向伸長。擠壓、拉拔等屬于此類變形圖示。

方向為與主應(yīng)變方向成

O3OO1O2εε1ε2ε3γ應(yīng)變莫爾圓5.5主剪應(yīng)變，最大剪應(yīng)變

八面體應(yīng)變：

等效應(yīng)變：（廣義應(yīng)變，應(yīng)變強度）平面變形時：（例軋制板帶時）平面變形時，在沒有主變形的方向上有主應(yīng)力存在。５.6應(yīng)變速率

應(yīng)變速率：是應(yīng)變對時間的變化率，也稱變形速度或應(yīng)變速度。用于計算變形體內(nèi)部的變形功率、用實驗方法研究應(yīng)力的分布、對金屬的性能也有較大的影響。設(shè)物體變形時其質(zhì)點的位移速度為：質(zhì)點的位移分量為：

位移速度約為：微小應(yīng)變、微小位移應(yīng)變速率和應(yīng)變速率張量應(yīng)變速率張量：式中：平均應(yīng)變速率

通常，用最大主要變形方向的應(yīng)變速率來表示各種變形過程的應(yīng)變速率。

例題：求平均應(yīng)變速率解：鍛壓：高度為變形的平均高度式中：軋制：

式中：拉伸：

在拉伸試驗中拉伸速度認為常數(shù)

擠壓：式中：Ｖ—變形區(qū)體積；Ｆf—制品截面積；Ｖf－金屬流出速度。各種塑性加工設(shè)備上進行加工時的平均應(yīng)變速率5.7變形表示法在塑性加工中，物體的彈性變形量與塑性變形相比小至可忽略，為計算方便，物體塑性變形前后體積不變。一、工程相對變形表示法工程算法：是指一軸向尺寸變化的絕對量與該軸向原來（或完工）尺寸的比值。它能表達每單位尺寸的變化率，可以明晰地看出該物體所承受的變形程度。1、用壓下率（加工率）、寬展率、伸長率表示變形程度（相對應(yīng)變）壓下率（加工率）：

寬展率：

伸長率

：

一般而言，成形時坯料的三個軸上的尺寸都在變化，但常以尺寸變化量最大的方向為主來計算坯料的變形程度。2、用斷面減縮率、延伸系數(shù)表示變形程度對某些變形過程，也可用斷面面積的改變率——斷面減縮率:長度增長的倍數(shù)——延伸系數(shù)來表示變形程度：

二、對數(shù)變形表示法上述表示法不足以反映實際變形情況，只表達了終了時刻的狀態(tài)，而實際變形過程中長度L是經(jīng)過無窮多個中間數(shù)值變成L0，如L１，L２，L３，…，Lｎ－１。其中相鄰兩次度相差均極微小，由L0至Ln的總變形程度，可近似地看作是各個階段變形之和：真實應(yīng)變：工程相對變形與對數(shù)變形的比較：（１）相對變形不能表示實際情況，而且變形程度愈大，誤差也愈大。只有當變形程度很小時，兩種者才近似相等。（２）對數(shù)變形為可加變形，相對變形為不可加變形。（３）對數(shù)變形為可比變形，相對變形為不可比變形注：實際生產(chǎn)中，多采用相對變形算式，對數(shù)變形一般用于科學研究中。5.8應(yīng)力一應(yīng)變曲線單向拉伸（或壓縮）：能得到應(yīng)力一應(yīng)變曲線，給出了材料的強度和塑性性能指標，它是塑性成形力學理論最基本的試驗資料。實驗表明，薄壁管扭轉(zhuǎn)試驗——純扭轉(zhuǎn)實驗曲線與拉伸曲線基本相似。單向拉伸（或壓縮）實驗結(jié)論：

（1）一般金屬材料按其塑性變形性能的不同可分為：有明顯屈服流動臺階和無明顯屈服流動臺階兩類：有明顯屈服流動臺階：例如低碳鋼、鑄鋼和某些合金鋼，對于此類金屬材料通常是把初始屈服時的應(yīng)力作為屈服極限。

無明顯屈服流動臺階：中碳鋼、某些高強度合金鋼和某些有色金屬，對于此類金屬材料則規(guī)定有0.２％殘余應(yīng)變時的應(yīng)力作為條件屈服極限。拉伸實驗結(jié)果表明，如應(yīng)力小于彈性極限，則加載和卸載時都服從彈性的虎克定律。材料進人塑性狀態(tài)以后，加載和卸載將遵循不同的規(guī)律。例如：材料塑性變形規(guī)律：（ａ）有明顯屈服極限（b）無明顯屈服極限圖應(yīng)力一應(yīng)變曲線應(yīng)變總量為：應(yīng)變強化或加工硬化：在第二次加載過程中，彈性系數(shù)仍保持不變，但彈性極限及屈服極限常有升高現(xiàn)象，其升高程度與塑性變形的歷史有關(guān)，決定于前階段的塑性變形程度。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變強化或加工硬化。曲線的斜率越大，則硬化效應(yīng)越顯著。應(yīng)力與應(yīng)變之間的關(guān)系：不是單值對應(yīng)的關(guān)系。（２）對一般金屬材料的拉伸和壓縮曲線，在小變形階段基本上是重合的，在大塑性變形階段則差別顯著。（３）包辛格效應(yīng)：比較Ｂ、Ｄ兩點處屈服應(yīng)力的絕對值可見，反方向加載在Ｄ點處的屈服應(yīng)力比Ｂ點處的小。

靜水壓力（各向均勻受壓）試驗

Ｐ．Ｗ．布里奇曼關(guān)于靜水壓力對塑性變形的影響：當壓力達到１５００ＭＰ時，他提出各向均勻壓力ｐ與單位體積變化之間的關(guān)系為：式中，Ｋ為體積壓縮模量；Ｋ1為派生模量，對不同的金屬其數(shù)值是不同的；dＶ及Ｖ0分別為體積的增量和初始體積。結(jié)論：對于一般金屬材料，可以認為其體積變化是彈性的，除去靜水壓力后體積變形可以完全恢復(fù)，而沒有殘余的體積變形。在塑性變形過程中，體積變形與塑性變形相比，往往是可以忽略的，因此，在研究大塑性變形的塑性成形力學問題時，忽略體積變化并認為材料是不可壓縮的假設(shè)是有試驗基礎(chǔ)的。5.9變形體模型在進行塑性成形力學問題解析時，常把實際變形體——工件理想化而采用以下幾種“模型”：理想彈塑性體“模型”:線性彈性體“模型:彈塑性強化體“模型”:復(fù)雜“模型”:剛一塑性體的“模型”:圖剛一塑性材料剛一塑性線性強化材料5.10變形協(xié)調(diào)方程

三個位移分量—→六個應(yīng)變分量，相互不獨立，要保證變形協(xié)調(diào)—→協(xié)調(diào)方程。

∴

同理得：

上式表示在每個坐標平面內(nèi)應(yīng)變分量之間的關(guān)系：

兩個線變分量一經(jīng)確定，則剪應(yīng)變分量也即確定。不同的坐標平面中應(yīng)變之間：1234用2+3-4聯(lián)立1，得:同理得:上式表示在空間：

三個剪變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量也即確定。變形協(xié)調(diào)方程或應(yīng)變連續(xù)方程：上式表示在每個坐標平面內(nèi)：

兩個線變分量一經(jīng)確定，則剪應(yīng)變分量也即確定。上式表示在空間：

三個剪變分量一經(jīng)確定，則線應(yīng)變分量也即確定。結(jié)論：必須滿足連續(xù)方程（6個），變形才是協(xié)調(diào)的。5.11平面變形問題和軸對稱問題一、平面變形

某一方向上沒有應(yīng)變，稱為平面變形。

設(shè)z方向上無應(yīng)變則ω=0

τ1τ2σ2σσ1τOL(0,τ1)M(0,-τ1)0xy純切應(yīng)力狀態(tài)及其應(yīng)力莫爾圓在z方向上，

z方向上有無應(yīng)力？

平面變形時，與z軸垂直的平面始終不會傾斜和扭曲

∴

z方向必為主方向

平面應(yīng)變只有三個