醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)-回歸與相關(guān)

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)歡迎學(xué)習(xí)2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)

第十一章回歸與相關(guān)分析

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

本章學(xué)習(xí)重點(diǎn)1、直線回歸與相關(guān)的概念；2、直線回歸方程的建立；3、回歸系數(shù)、相關(guān)系數(shù)的建設(shè)檢驗(yàn)；4、直線回歸與相關(guān)的區(qū)別和聯(lián)系；5、直線回歸與相關(guān)的應(yīng)用。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編回歸與相關(guān)概述什么是標(biāo)準(zhǔn)體重，如何測(cè)量？

男性：身高(cm)-105＝標(biāo)準(zhǔn)體重(kg)女性：身高(cm)-100＝標(biāo)準(zhǔn)體重(kg)

北方人理想體重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)南方人理想體重＝(身高cm-150)×0.6+48(kg)2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

回歸與相關(guān)是研究變量之間相互關(guān)系的統(tǒng)計(jì)分析方法，它是一類雙變量或多變量統(tǒng)計(jì)分析方法（本章主要介紹雙變量分析方法），在實(shí)際之中有著廣泛的應(yīng)用。如年齡與體重、年齡與血壓、身高與體重、體重與肺活量、體重與體表面積、毒物劑量與動(dòng)物死亡率、污染物濃度與污染源距離等都要運(yùn)用回歸與相關(guān)方法對(duì)資料進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

變量之間的關(guān)系：（１）直線關(guān)系（線性關(guān)系）；（２）曲線關(guān)系（非線性關(guān)系）。在回歸與相關(guān)分析中，直線回歸與相關(guān)是最簡單的一種，是本章主要內(nèi)容。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編直線回歸分析：分析兩個(gè)變量間的數(shù)量關(guān)系，目的是用一個(gè)變量推算另一個(gè)變量(建立回歸方程)。

直線相關(guān)分析：分析兩個(gè)變量之間有無相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的性質(zhì)（正、負(fù)相關(guān)）和相關(guān)的密切程度。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編第一節(jié)直線回歸

一、直線回歸的概念“回歸”一詞首先由英國生物統(tǒng)計(jì)學(xué)家Ｓ．Ｆ．Ｇａｌｔｏｎ（１８８５）提出，他發(fā)現(xiàn)，高個(gè)子的父代其子代平均身高不是更高，而是稍矮；相反，矮個(gè)子的父代其子代平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平，他把這種身高趨向種族穩(wěn)定的現(xiàn)象稱為“回歸”。目前回歸的含義已經(jīng)演變成變量之間的某種數(shù)量依存關(guān)系。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編函數(shù)關(guān)系：確定的關(guān)系。例如園周長與半徑：y=2πr?；貧w關(guān)系：不確定的關(guān)系（隨機(jī)的關(guān)系）。例如血壓和年齡的關(guān)系，稱為直線回歸(linearregression)。

北方人理想體重＝(身高cm-150)×0.6+50(kg)

變量間的關(guān)系2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

變量間的回歸關(guān)系

由于生物間存在變異，故兩相關(guān)變量之間的關(guān)系具有某種不確定性，如同性別、同年齡的人，其肺活量與體重有關(guān)，肺活量隨體重的增加而增加，但體重相同的人其肺活量并不一定相等。因此，散點(diǎn)呈直線趨勢(shì)，但并不是所有的散點(diǎn)均在同一條直線上，肺活量與體重的關(guān)系與嚴(yán)格對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系不同，它們之間是一種回歸關(guān)系，稱直線回歸。這種關(guān)系是用直線回歸方程來定量描述。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編回歸分析涉及到兩個(gè)變量，X與Y，其中X稱自變量，Y為因變量或反應(yīng)變量。回歸分析對(duì)資料的要求Y—必須是呈正態(tài)分布的隨機(jī)變量。可以是非隨機(jī)變量:年齡、藥物濃度或劑量—Ⅰ型回歸也可以是隨機(jī)變量:身高、體重、血清膽固醇的含量，血紅蛋白的含量—Ⅱ型回歸X2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

X與Y:年齡與身高藥物劑量與動(dòng)物死亡率肺活量與體重身高與體重、年齡與體重、年齡與血壓、體重與體表面積、毒物劑量與動(dòng)物死亡率、污染物濃度與污染源距離2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編例如：年齡(X)與尿肌酐含量(Y)研究;身高(X)與(Y)體重研究人為確定隨機(jī)變量兩個(gè)都是隨機(jī)變量2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編由X推算Y的直線回歸方程一般表達(dá)式（11-1）a稱為截距,b為回歸系數(shù),即直線的斜率。ab>0yx2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2、回歸系數(shù)b的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義b>0時(shí),Y隨X增大而增大;b<0時(shí),Y隨X的增大而減少；b=0時(shí)，X與Y無直線關(guān)系。b的統(tǒng)計(jì)學(xué)意義是：X每增（減）一個(gè)單位，Y平均改變b個(gè)單位。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編b>0b<0b>0b<0d2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編b=0b=0b=0b=0d2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

二、直線回歸方程的建立

式中、分別是X、Y的均數(shù)；為X的離均差平方和；為X與Y的離均差積和，按下式計(jì)算。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編回歸分析的步驟1、用原始數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖；2、求a和b(如果呈直線關(guān)系)3、對(duì)回歸系數(shù)b作假設(shè)檢驗(yàn)（方法：a.F檢驗(yàn)b.t檢驗(yàn)c.用r檢驗(yàn)來代替）。

4、如果x與y存在直線關(guān)系（b假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果P<0.05），列出回歸方程。否則，不列回歸方程。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編例11.12/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

（1）畫散點(diǎn)圖2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編求ΣX、ΣY、ΣX2、ΣY2及ΣXY；本例：ΣX=592.6、ΣY=1428.70；ΣX2=41222.14，ΣY2=220360.47；ΣXY=91866.46計(jì)算、、lxx、lyy、lxy；（2）計(jì)算a、b2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編(4)列出回歸方程：（3）對(duì)回歸系數(shù)b作假設(shè)檢驗(yàn)（見下）2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

三、回歸系數(shù)b的假設(shè)檢驗(yàn)

所建立的回歸方程，不一定都有意義，必須對(duì)回歸方程和回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。直線回歸方程一般只對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

P(X,Y)

Y

X

圖11.2應(yīng)變量Y的平方和劃分示意

Y的離均差平方和的劃分2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編P為散點(diǎn)圖上任意一點(diǎn)，其縱向距離(縱坐標(biāo))被回歸直線和Y值的均數(shù)分割三段：第一段：表示P點(diǎn)與回歸直線的縱向距離,即實(shí)測(cè)值Y與估計(jì)值之差,稱剩余或殘差。第二段：即估計(jì)值與均數(shù)之差，它與回歸系數(shù)的大小有關(guān)。|b|值越大，的差值也越大，反之越小。當(dāng)b=0時(shí)，則=也就是回歸直線并不能使殘差減小。第三段：，是應(yīng)變量Y的均數(shù)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編上述三個(gè)線段的代數(shù)和為：=++

移項(xiàng)得：=+對(duì)上式兩邊同時(shí)平方后求和可以得到：其中：稱總平方和，用SS總表示，稱回歸平方和，用SS回表示；稱剩余平方和，用SS剩表示。

1、三種平方和的關(guān)系是：SS總=SS回+SS剩

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2、三種平方和的意義（1）SS總，為Y值的離均差平方和，說明未考慮X與Y的回歸關(guān)系時(shí)Y總的變異。（2）SS回，它反映在Y的變異中由于X與Y的直線關(guān)系而使Y變異減少的部分，也是在總平方和中可以用X解析的部分。SS回越大，說明回歸效果越好。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編3、三種平方和的自由度及其關(guān)系如下

υ總=n-1，υ回=1，υ剩=n-2υ總=υ回+υ剩

（3）SS剩，反映X對(duì)Y的線性影響之外其它因素對(duì)Y的變異的作用，也是在總平方和中無法用X解析的部分。SS剩越小，說明回歸方程的估計(jì)誤差越小。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編SS回及SS剩的計(jì)算方法

1、先計(jì)算SS剩，再反推SS回SS剩的計(jì)算采用直接法進(jìn)行，見表11.1；SS剩=7746.2189，SS總=16242.101，則SS回=SS總-SS剩=16242.101-7746.2189=8495.8821。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2、先計(jì)算SS回，再反推SS剩SS回=blxy=（lxy）2/lxx本例lxx=6104.664，lxy=7201.70，lyy=16242.101，則SS回=（7201.70）2/6104.664=8495.878379SS剩=SS總-SS回=16242.101-8495.878379=7746.222622/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

(三)b的假設(shè)檢驗(yàn)方法

1、方差分析方法將SS總分解為SS回和SS剩兩部分后，按下式計(jì)算F值:MS回，MS剩分別為回歸均方及剩余均方，求出F值后查F界值表確定P值，按所取檢驗(yàn)水準(zhǔn)推斷結(jié)論。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2、t檢驗(yàn)法按下列公式計(jì)算t值：上式中，Sb為樣本回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，Sy.x為剩余標(biāo)準(zhǔn)差,也稱回歸標(biāo)準(zhǔn)差,它表示應(yīng)變量Y的觀察值對(duì)于回歸直線的離散程度；Sy.x可以作為回歸方程估計(jì)的精度指標(biāo)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編（四）例1.1回歸系數(shù)b的假設(shè)檢驗(yàn)

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編1、t檢驗(yàn)方法假設(shè)及檢驗(yàn)水準(zhǔn)H0:β=0H1:β≠0α=0.05本例n=10，SS剩=7746.2189

，lxx=306.6667，b=1.17972/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

按v=8查t界值表得,t0.02,8=2.821,t0.01,8=3.2501由于t0.01,8>t>t0.02,8,故0.02>P>0.01,按α=0.05水準(zhǔn),拒絕H0,接受H1,故可以認(rèn)為SAH患者血清IL-6和腦積液IL-6之間有直線關(guān)系,所求回歸方程存在。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

2、方差分析方法

假設(shè)及檢驗(yàn)水準(zhǔn)同前

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編方差分析表

變異來源自由度SSMSFP

回歸18495.8838495.8838.7740.018殘差87746.2161968.277總變異916242.1000注意：t2=F2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編按v1=1,v2=8,查F界值表得，F(xiàn)0.05,1,8=5.32,F0.01,1,8=11.26，0.05>P>0.01,按α=0.05水準(zhǔn),拒絕H0,接受H1,故可以認(rèn)為SAH患者血清IL-6和腦積液IL-6之間有直線關(guān)系,所求回歸方程存在。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編直線回歸分析的區(qū)間估計(jì)(一)總體回歸系數(shù)β的估計(jì)用樣本回歸系數(shù)b估計(jì)總體回歸系數(shù)β，方法如下：β95%可信區(qū)間是：（b-t0.05,(n-2)Sb,b+t0.05,(n-2)Sb）,縮寫為b±t0.05,(n-2)Sb

Sb為回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤,n-2為自由度。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

（二）總體均數(shù)

的區(qū)間估計(jì)是總體中當(dāng)X為某定值X0時(shí)Y的總體均數(shù)。而將X的值代入回歸方程中所求得的為樣本均數(shù)，是的估計(jì)值。比如,SAH患者(指總體),血清IL-6為50的人,其腦脊液IL-6平均含量就是，而往往未知,可以通過來估計(jì)，計(jì)算方法如下：2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編（1-）的可信區(qū)間是：（-tα,n-2，+tα,n-2），縮寫為±tα,n-2

是的標(biāo)準(zhǔn)誤。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編例11.4利用例11.1的結(jié)果，計(jì)算當(dāng)X0=50時(shí)，的95%可信區(qū)間。的95%可信區(qū)間為：（109.43，154.47）其含義是：當(dāng)血清IL-6為50時(shí)，腦脊液的IL-6的總體均數(shù)為131.95（點(diǎn)值估計(jì)），95%可信區(qū)間為：109.43-154.47（區(qū)間估計(jì)）。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編（三）個(gè)體值Y的容許區(qū)間當(dāng)即總體中，當(dāng)X為某定值時(shí)，個(gè)體值Y的波動(dòng)范圍，個(gè)體值Y的離散程度用Sy（稱個(gè)體值的標(biāo)準(zhǔn)差）來表示，其計(jì)算方法如下：當(dāng)X與接近，且n充分大時(shí)，可用Sy.x代替Sy。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編個(gè)體值Y的1-α容許區(qū)間計(jì)算方法如下：2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編例11.4利用例11.1的結(jié)果，計(jì)算當(dāng)X0=50時(shí)，相應(yīng)個(gè)體值的95%容許區(qū)間。經(jīng)計(jì)算，得：當(dāng)X0=50時(shí)，相應(yīng)個(gè)體值的95%容許區(qū)間為：（56.73，207.16）其含義是：當(dāng)血清IL-6為50時(shí)，有95%的病人其腦脊液的IL-6的含量在56.73-207.16范圍內(nèi)。即在100個(gè)血清IL-6為50的病人中，有95個(gè)病人的腦脊液的IL-6的含量在56.73-207.16范圍內(nèi)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編四、直線回歸方程的應(yīng)用1、描述兩變量間依存的數(shù)量關(guān)系。=72.961+1.1797X就是描述SAH患者第1天腦脊液IL-6隨血清IL-6變化的定量表達(dá)式。2、利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)這是回歸方程重要的應(yīng)用方面。將預(yù)報(bào)因子（自變量X）代入回歸方程，對(duì)預(yù)報(bào)量（應(yīng)變量Y）進(jìn)行估計(jì)。預(yù)報(bào)量的波動(dòng)范圍可按求個(gè)體值Y的容許區(qū)間進(jìn)行計(jì)算。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編例某地防疫站根據(jù)近10年來乙腦發(fā)病率（1/10萬，預(yù)報(bào)量Y）與相應(yīng)前一年7月份日照時(shí)間（小時(shí)，預(yù)報(bào)因子X）建立回歸方程，將乙腦發(fā)病率作平方根反正弦變換，即取y=sin-1，求得回歸方程:=-1.197+0.0068X，Sy.x=0.0223，=237.43，lxx=5690，n=10。已知1990年7月份日照時(shí)間X=260，試估計(jì)1991年該地乙腦發(fā)病率（設(shè)α=0.05）。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

（1）、求個(gè)體值Y的離散度Sy

（2）、求X=260時(shí)，=-1.197+0.0068（260）=0.571α=0.05時(shí)，t0.05，8=2.30695%容許區(qū)間是：（-t0.05（n-2）Sy，+t0.05（n-2）Sy）（0.571-2.306×0.0243，0.571+2.306×0.0243）=（0.5150，0.6270）2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編取原函數(shù)，Y=（siny）2，得乙腦發(fā)病率95%容許區(qū)間（0.0000808，0.0001197），故可預(yù)測(cè)該地1991年乙腦發(fā)病率有95%的可能在8.08~11.97/10萬之間。(注：將y還原時(shí)，角度單位定為度)2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編3、用容易測(cè)量的指標(biāo)估計(jì)不易測(cè)量的指標(biāo)4、利用回歸方程制定醫(yī)學(xué)參考值范圍體重（易）→體表面積（難）計(jì)算個(gè)體值Y的容許區(qū)間。如年齡與身高有線性關(guān)系，可根據(jù)回歸方程估計(jì)年齡為X時(shí)，身高的波動(dòng)范圍（容許區(qū)間），即醫(yī)學(xué)參考值范圍。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編5、利用回歸進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制統(tǒng)計(jì)控制是利用回歸方程進(jìn)行逆估計(jì)，也就是已知y之后反推x。如要求y在一定范圍內(nèi)波動(dòng)時(shí)，可按求Y的容許區(qū)間來推算x的取值來實(shí)現(xiàn)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編例：某市環(huán)境監(jiān)測(cè)站在交通點(diǎn)連續(xù)測(cè)定30天，每天定時(shí)采樣3次，測(cè)得大氣中NO2濃度Y（mg/m3）與當(dāng)時(shí)汽車流量X（輛/小時(shí)），共90對(duì)數(shù)據(jù)，求得回歸方程：=-0.064866+0.000133X,

剩余標(biāo)準(zhǔn)差Sy.x=0.032522，若NO2的最大容許濃度為0.15/m3，則汽車流量應(yīng)如何控制？設(shè)α=0.05。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編分析：NO2的濃度以過高為異常，應(yīng)求個(gè)體值y的單側(cè)波動(dòng)范圍的上限值，其95%的波動(dòng)范圍是：+t（0.05，v）Sy=-0.064866+0.000133X+t（0.05，v）Sy要求NO2的最高容許濃度為0.15，即：-0.064866+0.000133X+t（0.05，v）Sy=0.152/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編單側(cè)t0.05，（90-2）=1.662，以Sy.x代替Sy，帶入上式得：-0.064866+0.000133X+1.662×0.032522=0.15解上式得：X=1209.13（輛/小時(shí)）即只要把汽車流量控制在1209輛/小時(shí)以下，就有95%的可能使NO2濃度不超過0.15mg/m3。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編（1）作回歸分析要有實(shí)際意義。（2）進(jìn)行直線回歸分析前，應(yīng)繪制散點(diǎn)圖。作用：①看散點(diǎn)是否呈直線趨勢(shì)；②有無異常點(diǎn)、高杠桿點(diǎn)和強(qiáng)影響點(diǎn)；五、應(yīng)用直線回歸分析應(yīng)注意的問題異常點(diǎn)2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編（3）注意建立線性回歸模型的基本條件

線性、獨(dú)立性、正態(tài)性、方差齊性（4）直線回歸方程的適用范圍以求回歸方程時(shí)X的實(shí)測(cè)值范圍為限；若無充分理由證明超過該范圍還是直線，應(yīng)避免外延。（5）兩變量有線性關(guān)系，不一定是因果關(guān)系，也不一定表明兩變量間確有內(nèi)在聯(lián)系。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

一、直線相關(guān)的概念

在實(shí)際應(yīng)用中若只需了解兩個(gè)隨機(jī)變量之間相互關(guān)系的情況，而不要求由X推算Y，此時(shí)就宜進(jìn)行直線相關(guān)分析（積差相關(guān)分析）。

1、相關(guān)分析的目的分析隨機(jī)變量X與Y是否有直線相關(guān)關(guān)系以及相關(guān)的性質(zhì)和相關(guān)的密切程度等（暫不考慮X和Y數(shù)量上的關(guān)系）。直線相關(guān)的性質(zhì)可通過散點(diǎn)圖直觀地說明。

第二節(jié)直線相關(guān)2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

直線相關(guān)的性質(zhì)（1）正相關(guān)（Y隨X的增大而增大，如散點(diǎn)在一直線上，稱完全正相關(guān)）；（2）負(fù)相關(guān)（Y隨X的增大而減小，如散點(diǎn)在一直線上，稱完全負(fù)相關(guān)）；

（3）零相關(guān)：散點(diǎn)分布呈圓形等，反映兩變量間無直線關(guān)系，也可能存在曲線關(guān)系。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

2、相關(guān)分析對(duì)資料的要求要求X與Y均呈正態(tài)分布的隨機(jī)變量，稱雙變量正態(tài)分布資料。

3、相關(guān)分析方法相關(guān)分析是通過計(jì)算相關(guān)系數(shù)r（稱積差相關(guān)系數(shù)）來定量地描述隨機(jī)變量X與Y之間的關(guān)系。計(jì)算r之后，還要對(duì)r是否來自ρ=0的總體進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)（采用t檢驗(yàn)或直接查r界值表確定P值。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編注意：通過相關(guān)分析認(rèn)為X與Y有相關(guān)關(guān)系，并不一定是因果關(guān)系，可能是一種伴隨關(guān)系，即X與Y同時(shí)受到另外一個(gè)因素的影響。因此，相關(guān)分析的任務(wù)就是對(duì)兩變量之間的關(guān)系給以定量的描述。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編二、相關(guān)系數(shù)的意義及計(jì)算

1、r的計(jì)算方法

式中l(wèi)xy稱X和Y的離均差積和，lxx稱X的離均差平方和；lyy稱Y的離均差平方和。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

2、相關(guān)系數(shù)r的意義

r稱為積差相關(guān)系數(shù)，沒有單位，它反映具有直線關(guān)系的兩個(gè)變量間，相關(guān)關(guān)系的密切程度和相關(guān)性質(zhì)的指標(biāo)，取值范圍是-1≤r≤1。r為正表示正相關(guān)，r為負(fù)表示負(fù)相關(guān)，r的絕對(duì)值越大，則變量間的關(guān)系越密切；|r|=1，稱為完全正（或負(fù)）相關(guān)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編3、相關(guān)系數(shù)的計(jì)算例11.5對(duì)例11.1的資料計(jì)算SAH患者血清IL-6和腦脊液IL-6的相關(guān)系數(shù)。因?yàn)檠錓L-6和腦脊液IL-6均是隨機(jī)變量，且呈正態(tài)分布（可經(jīng)檢驗(yàn)證明），兩變量呈直線趨勢(shì)（見圖11.1），故可進(jìn)行直線相關(guān)分析。已知：lxx=6104.66，lyy=16242.10，lxy=7201.70

即血清IL-6和腦脊液IL-6的相關(guān)系數(shù)r=0.74952/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

三、相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)根據(jù)樣本資料計(jì)算所得的相關(guān)系數(shù)r，稱樣本相關(guān)系數(shù)，由于存在抽樣誤差，盡管r不為0，尚不能說明兩變量之間有直線相關(guān)關(guān)系。因此，要對(duì)r是否來自ρ=0的總體進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。可用t檢驗(yàn)或直接查附表15，r界值表確定P值。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量t值的計(jì)算方法如下：2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

對(duì)例11.5計(jì)算所得r進(jìn)行檢驗(yàn)，以說明血清IL-6和腦脊液IL-6是否有直線相關(guān)關(guān)系。H0：ρ=0，血清IL-6和腦脊液IL-6之間無直線相關(guān)關(guān)系H1：ρ≠0，血清IL-6和腦脊液IL-6之間有直線相關(guān)關(guān)系α=0.05本例：n=10，r=0.7232，按式(11.19)得：ν=10-2=8，查附表2，t界值表得，t0.02，8=2.896,t0.01，8=2.998。因?yàn)閠0.01，8>t>t0.02，8,所以0.02>P>0.01。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

按α=0.05水準(zhǔn),拒絕H0,接受H1,可以認(rèn)為血清IL-6和腦脊液IL-6之間呈正的直線相關(guān)關(guān)系。也可以按直接查附表15，r界值表（P280），確定P值。r0.02，8=0.715，r0.01，8=0.765。r0.02，8<r<r0.01，8,故0.02>P>0.01，結(jié)論同上。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編直線回歸與相關(guān)的區(qū)別和聯(lián)系一、區(qū)別

1、對(duì)資料要求不同（1）回歸分析要求因變量Y是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，X是可以精確測(cè)量和嚴(yán)格控制的變量，一般稱Ⅰ型回歸，即只能由X作自變量推算Y。（2）相關(guān)分析要求兩個(gè)變量X、Y是均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，即雙變量正態(tài)分布。對(duì)這種資料進(jìn)行回歸分析稱Ⅱ型回歸，可以求出兩個(gè)方程:2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編由X推算Y的方程：由Y推算X的方程：

2、應(yīng)用不同：說明兩變量間依存變化的數(shù)量關(guān)系用回歸，說明變量間的相關(guān)關(guān)系用相關(guān)。

3、意義不同：b表示X每增（減）一個(gè)單位，Y平均改變b個(gè)單位；r說明具有直線關(guān)系的兩個(gè)變量間相關(guān)關(guān)系的密切程度與相關(guān)的方向。

4、算方法不同。

5、取值范圍不同；-1≤r≤1，-∞<b<+∞。

6、b有單位，r沒有單位。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編二、聯(lián)系1、對(duì)一組數(shù)據(jù)若同時(shí)計(jì)算r與b，則它們的正負(fù)號(hào)是一致的。2、r和b的假設(shè)檢驗(yàn)是等價(jià)的，即對(duì)同一資料，兩者的t值相等（）。在實(shí)際中常采用對(duì)r的檢驗(yàn)來代替對(duì)b的檢驗(yàn)。3、可用回歸解析相關(guān)。

r的平方，即r2，稱決定系數(shù)，它說明回歸平方和（SS回）占總平方和（SS總）的比重，其取值范圍在0~1之間。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

上式說明，當(dāng)SS總固定不變時(shí)，SS回的大小取決于r2。r2越大，則SS回就越大；SS回是由于引入了相關(guān)變量后使總平方和減少的部分。SS回越接近SS總，則r2越接近1，說明引入相關(guān)變量的效果越好。在臨床研究中，若r2達(dá)到0.7以上，就可認(rèn)為回歸效果不錯(cuò)；但在實(shí)驗(yàn)室研究中，如標(biāo)準(zhǔn)曲線的配制，r2的要求很高，達(dá)到0.95以上。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

可通過r2的大小來確定兩變量間相關(guān)關(guān)系的實(shí)際意義。例如r=0.2，n=100時(shí)，可以認(rèn)為兩變量間有直線相關(guān)關(guān)系，但r2=0.04，表示回歸平方和在總平方和中僅占4%，即X對(duì)Y的影響僅占4%，實(shí)際意義不大。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編等級(jí)相關(guān)分析適用資料（1）不服從雙變量正態(tài)分布而不宜作積差相關(guān)分析；（2）總體分布型未知；（3）原始數(shù)據(jù)用等級(jí)表示。第三節(jié)秩相關(guān)（等級(jí)相關(guān)）2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

一、Spearman等級(jí)相關(guān)與積差相關(guān)分析一樣，等級(jí)相關(guān)分析是用等級(jí)相關(guān)系數(shù)rs來說明兩個(gè)具有直線關(guān)系的兩個(gè)變量間相關(guān)的密切程度與相關(guān)方向。rs計(jì)算方法如下：上式中，為每對(duì)觀察值Xi、Yi的秩次Ui、Vi之差，n為對(duì)子數(shù)。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編rs為樣本等級(jí)相關(guān)系數(shù)，是總體等級(jí)相關(guān)系數(shù)ρs的估計(jì)值，其取值范圍是：-1≤rs≤1。rs的意義同r。求出rs后還要檢驗(yàn)rs是否來自ρs=0的總體，才能確定兩變量間是否存在直線相關(guān)關(guān)系。對(duì)rs的假設(shè)檢驗(yàn)可用查表法（附表16，rs界值表），或用下式作u檢驗(yàn)（當(dāng)n>50時(shí)，用該法）。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

例11.6某地作肝癌病因研究，調(diào)查了10個(gè)鄉(xiāng)肝癌死亡率（1/10萬）與食物中黃曲酶毒素相對(duì)含量（以最高就含量為10），見表11.6（2）、（4）欄。試作等級(jí)相關(guān)分析。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

表11.6等級(jí)相關(guān)系數(shù)計(jì)算表

黃曲霉毒素肝癌死亡率相對(duì)含量（1/10萬）dd2編號(hào)XUYV10.7121.53-2421.0218.920031.7314.412443.7446.57-3954.0527.341165.1664.69-3975.5746.361185.7834.253995.9977.610-111010.01055.1824

合計(jì)-----422/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編分析步驟如下：H0：ρs=0，即黃曲酶毒素含量與肝癌死亡率無直線關(guān)系H1：ρs≠0，即黃曲酶毒素含量與肝癌死亡率有直線關(guān)系α=0.05分別對(duì)X、Y的觀察值從小到大編秩，若有相同的觀察值則取平均秩次；求每對(duì)觀察值秩次之差值d、d2及Σd2。本例Σd2=42。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編計(jì)算rs：n=10，查附表16，rs界值表得：rs（0.02，10）=0.745，P=0.02，按α=0.05水準(zhǔn)，拒絕H0，接受H1，可以認(rèn)為黃曲霉毒素與肝癌死亡率之間存在正相關(guān)。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編三、rs的校正當(dāng)X及Y中，相同的秩次個(gè)數(shù)較多時(shí)（如等級(jí)資料），宜用下式計(jì)算校正rs。

上式Tx（或Ty）=Σ（t3-t）/12，t為X（或Y）中相同秩次的個(gè)數(shù)。顯然，當(dāng)Tx=Ty=0時(shí)，式（11.23）與（11.21）相等。（11.23）2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編假設(shè)上例中，黃曲酶毒素相對(duì)含量，1~5號(hào)鄉(xiāng)相等，這5個(gè)鄉(xiāng)平均秩次皆為（1+2+3+4+5）/5=3，則t=5；6~8號(hào)鄉(xiāng)相同，平均秩次為7，則t=3；9~10號(hào)鄉(xiāng)相同，平均秩次為9.5，則t=2。而肝癌發(fā)病率沒有相同的秩次，故Tx=[（53-5）+（33-3）+（23-2）]/12=12.5；Ty=0據(jù)此假設(shè)算得Σd2=33.5，則:2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編今以n=10，查附表15，0.02>P>0.01。如不校正0.01>P>0.005,可見若相同秩次較多時(shí)，如不校正，則rs偏大，而P值偏小。

2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

一、曲線擬合的意義在醫(yī)學(xué)研究中，兩變量之間的關(guān)系有時(shí)不呈直線而呈曲線關(guān)系。如藥物在體內(nèi)的濃度與時(shí)間的關(guān)系，兒童年齡與身長發(fā)育的關(guān)系等都不是簡單的直線關(guān)系，這種資料就不能用直線回歸分析，有時(shí)可以通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q使之直線化，從而擴(kuò)大了直線回歸的應(yīng)用。

第四節(jié)曲線擬合2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

1、曲線擬合：就是用適當(dāng)?shù)那€方程來描述變量之間的變化關(guān)系。曲線擬合最基本方法是曲線直線化，即通過適當(dāng)?shù)淖兞孔儞Q，使曲線關(guān)系變?yōu)橹本€關(guān)系，然后用直線回歸分析方法求出直線方程，然后還原為曲線方程。

2、直接使用變量變換后的直線回歸：若兩變量呈曲線趨勢(shì)，常使用直線化回歸方程，繪制標(biāo)準(zhǔn)曲線。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編二、曲線擬合步驟

1、選定曲線類型

指數(shù)曲線示意圖2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編

2、將變量作對(duì)數(shù)變換選定X（或K-X)或Y(或K-Y)進(jìn)行對(duì)數(shù)變換，K為常量，使變換后的兩變量呈直線關(guān)系。也可以將實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)在半對(duì)數(shù)坐標(biāo)紙上作直線化嘗試。2/7/2023廣西醫(yī)科大學(xué)衛(wèi)統(tǒng)黃高明編3、按求直線回歸方程的方法求直線化方程；4、將直線化方程轉(zhuǎn)為曲線方程，作曲線圖。

表11.7某地氰化物濃度與污染源距離的關(guān)系━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━與污染源氰化物距離(m)濃度(mg/m3)XYy=lgYY(1)(2)(3)(4)─────────────────────500.687-0.16300.5841000.398-0.40010.3641500.200-.069900.2272000.121-0.91720.1422500.090-1.0458