數(shù)分二十二章習(xí)題

二、內(nèi)容復(fù)習(xí)三、例題習(xí)題課一、基本要求第二十二章曲面積分２理解Gauss公式和Stokes公式的證明思路，會(huì)分３了解如何計(jì)算由隱式方程或參數(shù)方程表示的曲曲面積分，了解兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系.１正確理解第一、二型曲面積分的概念、性質(zhì)，一、基本要求掌握用顯式方程表示的曲面的第一、二型曲面積分計(jì)算公式.別運(yùn)用它們計(jì)算第二型曲面積分和第二型曲線(xiàn)積分.上任取一點(diǎn)若存在極限

定義在

S

上的函數(shù).對(duì)曲面

S

作分割

T,它把S分成n個(gè)小曲面塊記小曲面塊

的面積,分割

T的細(xì)度在

定義設(shè)

S

是空間中可求面積的曲面,為1、第一型曲面積分的定義二、內(nèi)容復(fù)習(xí)曲面塊的質(zhì)量由第一型曲面積分表示為:特別地,當(dāng)時(shí),曲面積分就是曲面

塊的面積.

且與分割的取法

無(wú)關(guān),則稱(chēng)此極限為上的第一型曲面積分,記作的投影區(qū)域的面積,它們的符號(hào)由的方向來(lái)確定:

分別表示在三個(gè)坐標(biāo)面上定義設(shè)P,Q,R為定義在雙側(cè)曲面S上的函數(shù).對(duì)S作分割T,它把S分為分割T的細(xì)度為2、第二型曲面積分定義若在曲面所指定一側(cè)上的第二型曲面積分,記作的選取無(wú)關(guān),則稱(chēng)此極限I為向量函數(shù)中的三個(gè)極限都存在,且與分割

T和點(diǎn)

的據(jù)此定義,某流體以速度從曲面的

負(fù)側(cè)流向正側(cè)的總流量即為又如,若空間中的磁場(chǎng)強(qiáng)度為則按指定方向穿過(guò)曲面的磁通量(磁力線(xiàn)總數(shù))為3、第一型、第二型曲面積分的性質(zhì)若以-S表示曲面S的另一側(cè),則有第一型曲面積分的性質(zhì)完全類(lèi)以與第一型曲線(xiàn)積分．第二型曲面積分的性質(zhì)完全類(lèi)以與第二型曲線(xiàn)積分．４、第一型曲面積分的計(jì)算公式第一型曲面積分需要化為二重積分來(lái)計(jì)算.定理

22.1設(shè)有光滑曲面為

S

上的連續(xù)函數(shù),則注:為

S

上的連續(xù)函數(shù),則為

S

上的連續(xù)函數(shù),則對(duì)于由參量形式表示的光滑曲面在上第一型曲面積分的計(jì)算公式則為其中５、第二型曲面積分的計(jì)算公式

定理22.2設(shè)是定義在光滑曲面上的連續(xù)函數(shù)，以S的上側(cè)為正側(cè)(這時(shí)S的法線(xiàn)方向與z軸正向成銳角)，則有基本方法：化為二重積分前側(cè)為正,后側(cè)為負(fù)類(lèi)似地,當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí),有右側(cè)為正,左側(cè)為負(fù)當(dāng)在光滑曲面上連續(xù)時(shí),有步驟：1.寫(xiě)出曲面方程：3.把曲面方程：代入中得4.求二重積分.計(jì)算“一投,二代,三定號(hào)”2.把S投影在面上得投影區(qū)域?yàn)?；定?2.3設(shè)S為光滑曲面,正側(cè)法向量為

６、兩類(lèi)曲面積分的聯(lián)系在上連續(xù)，則函數(shù),以的上側(cè)為正側(cè),則在光滑曲面上的連續(xù)定理22.4設(shè)是定義７、高斯公式定理22.3

設(shè)空間區(qū)域由分片光滑的雙側(cè)封閉曲

面

S圍成.若函數(shù)

P,Q,R

在上連續(xù),且有一階連

續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則其中

S取外側(cè).上式稱(chēng)為高斯公式.定理22.4設(shè)光滑曲面

S的邊界

L是按段光滑的連續(xù)曲線(xiàn).若函數(shù)

P,Q,R在

S(連同

L)上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有斯托克斯公式如下:８、斯托克斯公式其中

S的側(cè)與

L的方向按右手法則確定.９、空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件不經(jīng)過(guò)

V以外的點(diǎn)而連續(xù)收縮于屬于

V的一點(diǎn).例區(qū)域

V稱(chēng)為單連通的,如果

V內(nèi)任一封閉曲線(xiàn)皆可如球面是單連通曲面,非單連通區(qū)域稱(chēng)為復(fù)連通區(qū)域.如車(chē)胎狀的環(huán)形區(qū)域不是非單連通區(qū)域,復(fù)連通區(qū)域.定理22.5設(shè)為空間單連通區(qū)域.若函數(shù)P,

個(gè)條件是等價(jià)的:Q,R在

上連續(xù),且有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則以下四與路線(xiàn)無(wú)關(guān);(i)對(duì)于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線(xiàn)

L有(ii)對(duì)于

內(nèi)任一按段光滑的封閉曲線(xiàn)

L,曲線(xiàn)積分個(gè)條件是等價(jià)的:在

內(nèi)處處成立.(iii)

內(nèi)某一函數(shù)

u的全微分,即三、例題例1計(jì)算積分其中是曲面介與兩平面之間的部分.解曲面方程:于是(利用對(duì)稱(chēng)性)應(yīng)用極坐標(biāo)變換（令）R0xz

yH例2計(jì)算積分其中是圓柱體的外側(cè).解1其中取左側(cè)；取后側(cè)；先求R0xz

yH取右側(cè)，或取后側(cè)；取下側(cè)；取上側(cè)；依題義分為：R0xz

yH平