數(shù)學(xué)建模-微分方程

§3.1微分方程的幾個簡單實例

在許多實際問題中，當直接導(dǎo)出變量之間的函數(shù)關(guān)系較為困難，但導(dǎo)出包含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的關(guān)系式較為容易時，可用建立微分方程模型的方法來研究該問題，本節(jié)將通過一些最簡單的實例來說明微分方程建模的一般方法。在連續(xù)變量問題的研究中，微分方程是十分常用的數(shù)學(xué)工具之一。例1（理想單擺運動）建立理想單擺運動滿足的微分方程，并得出理想單擺運動的周期公式。從圖3-1中不難看出，小球所受的合力為mgsinθ，根據(jù)牛頓第二定律可得：

從而得出兩階微分方程：（3.1）這是理想單擺應(yīng)滿足的運動方程

（3.1）是一個兩階非線性方程，不易求解。當θ很小時，sinθ≈θ，此時，可考察（3.1）的近似線性方程：（3.2）由此即可得出

（3.2）的解為:θ(t)=θ0cosωt

其中當時,θ(t)=0故有MQPmg圖3-1

（3.1）的近似方程例2我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。這一問題屬于對策問題，較為復(fù)雜。討論以下簡單情形：敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標，以B為極點，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標下的方程為r=r(θ)，見圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，故有:即:（3.3）解為：（3.4）先使自己到極點的距離等于潛艇到極點的距離然后按（3.4）對數(shù)螺線航行，即可追上潛艇。追趕方法如下：例3

一個半徑為Rcm的半球形容器內(nèi)開始時盛滿了水，但由于其底部一個面積為Scm2的小孔在t=0時刻被打開，水被不斷放出。問：容器中的水被放完總共需要多少時間？解:以容器的底部O點為原點，取坐標系如圖3.3所示。令h(t)為t時刻容器中水的高度，現(xiàn)建立h(t)滿足的微分方程。設(shè)水從小孔流出的速度為v(t)，由力學(xué)定律，在不計水的內(nèi)部磨擦力和表面張力的假定下，有：因體積守衡，又可得：易見：故有：即：這是可分離變量的一階微分方程，得RxySO圖3-3hr例4

一根長度為l的金屬桿被水平地夾在兩端垂直的支架上，一端的溫度恒為T1，另一端溫度恒為T2，（T1、T2為常數(shù)，T1>T2）。金屬桿橫截面積為A，截面的邊界長度為B，它完全暴露在空氣中，空氣溫度為T3，（T3<T2，T3為常數(shù)），導(dǎo)熱系數(shù)為α，試求金屬桿上的溫度分布T(x)，（設(shè)金屬桿的導(dǎo)熱率為λ）一般情況下，在同一截面上的各點處溫度也不盡相同，如果這樣來考慮問題，本題要建的數(shù)學(xué)模型當為一偏微分方程。但由題意可以看出，因金屬桿較細且金屬桿導(dǎo)熱系數(shù)又較大，為簡便起見，不考慮這方面的差異，而建模求單變量函數(shù)T(x)。熱傳導(dǎo)現(xiàn)象機理：當溫差在一定范圍內(nèi)時，單位時間里由溫度高的一側(cè)向溫度低的一側(cè)通過單位面積的熱量與兩側(cè)的溫差成正比，比例系數(shù)與介質(zhì)有關(guān)。T1T2oxABT3l

dt時間內(nèi)通過距離O點x處截面的熱量為：dt時間內(nèi)通過距離O點x+dx處截面的熱量為：由泰勒公式：金屬桿的微元[x,x+dx]在dt內(nèi)由獲得熱量為：同時，微元向空氣散發(fā)出的熱量為：系統(tǒng)處于熱平衡狀態(tài)，故有：所以金屬桿各處溫度T(x)滿足的微分方程:這是一個兩階常系數(shù)線性方程，很容易求解

為了保持自然資料的合理開發(fā)與利用，人類必須保持并控制生態(tài)平衡，甚至必須控制人類自身的增長。本節(jié)將建立幾個簡單的單種群增長模型，以簡略分析一下這方面的問題。一般生態(tài)系統(tǒng)的分析可以通過一些簡單模型的復(fù)合來研究，大家若有興趣可以根據(jù)生態(tài)系統(tǒng)的特征自行建立相應(yīng)的模型。

美麗的大自然

種群的數(shù)量本應(yīng)取離散值，但由于種群數(shù)量一般較大，為建立微分方程模型，可將種群數(shù)量看作連續(xù)變量，甚至允許它為可微變量，由此引起的誤差將是十分微小的。離散化為連續(xù)，方便研究§3.2

Malthus模型與Logistic模型模型1馬爾薩斯（Malthus）模型馬爾薩斯在分析人口出生與死亡情況的資料后發(fā)現(xiàn)，人口凈增長率r基本上是一常數(shù)，（r=b-d,b為出生率，d為死亡率），既：

或（3.5）

（3.6）

（3.1）的解為：其中N0=N(t0)為初始時刻t0時的種群數(shù)。

馬爾薩斯模型的一個顯著特點：種群數(shù)量翻一番所需的時間是固定的。令種群數(shù)量翻一番所需的時間為T，則有：故模型檢驗

比較歷年的人口統(tǒng)計資料，可發(fā)現(xiàn)人口增長的實際情況與馬爾薩斯模型的預(yù)報結(jié)果基本相符，例如，1961年世界人口數(shù)為30.6（即3.06×109），人口增長率約為2%，人口數(shù)大約每35年增加一倍。檢查1700年至1961的260年人口實際數(shù)量，發(fā)現(xiàn)兩者幾乎完全一致，且按馬氏模型計算，人口數(shù)量每34.6年增加一倍，兩者也幾乎相同。模型預(yù)測假如人口數(shù)真能保持每34.6年增加一倍，那么人口數(shù)將以幾何級數(shù)的方式增長。例如，到2510年，人口達2×1014個，即使海洋全部變成陸地，每人也只有9.3平方英尺的活動范圍，而到2670年，人口達36×1015個，只好一個人站在另一人的肩上排成二層了。故馬爾薩斯模型是不完善的。幾何級數(shù)的增長Malthus模型實際上只有在群體總數(shù)不太大時才合理，到總數(shù)增大時，生物群體的各成員之間由于有限的生存空間，有限的自然資源及食物等原因，就可能發(fā)生生存競爭等現(xiàn)象。所以Malthus模型假設(shè)的人口凈增長率不可能始終保持常數(shù)，它應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)。模型2Logistic模型人口凈增長率應(yīng)當與人口數(shù)量有關(guān)，即：r=r(N)

從而有：（3.7）r(N)是未知函數(shù)，但根據(jù)實際背景，它無法用擬合方法來求。為了得出一個有實際意義的模型，我們不妨采用一下工程師原則。工程師們在建立實際問題的數(shù)學(xué)模型時，總是采用盡可能簡單的方法。r(N)最簡單的形式是常數(shù)，此時得到的就是馬爾薩斯模型。對馬爾薩斯模型的最簡單的改進就是引進一次項（競爭項）對馬爾薩斯模型引入一次項（競爭項），令r(N)=r-aN

此時得到微分方程：或（3.8）

（3.8）被稱為Logistic模型或生物總數(shù)增長的統(tǒng)計籌算律，是由荷蘭數(shù)學(xué)生物學(xué)家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次項系數(shù)是負的，因為當種群數(shù)量很大時，會對自身增大產(chǎn)生抑制性，故一次項又被稱為競爭項。（3.8）可改寫成：

（3.9）

(3.9)式還有另一解釋，由于空間和資源都是有限的，不可能供養(yǎng)無限增長的種群個體，當種群數(shù)量過多時，由于人均資源占有率的下降及環(huán)境惡化、疾病增多等原因，出生率將降低而死亡率卻會提高。設(shè)環(huán)境能供養(yǎng)的種群數(shù)量的上界為K（近似地將K看成常數(shù)），N表示當前的種群數(shù)量，K-N恰為環(huán)境還能供養(yǎng)的種群數(shù)量，（3.9）指出，種群增長率與兩者的乘積成正比，正好符合統(tǒng)計規(guī)律，得到了實驗結(jié)果的支持，這就是（3.9）也被稱為統(tǒng)計籌算律的原因。圖3-5對（3.9）分離變量：兩邊積分并整理得：令N(0)=N0，求得：故（3.9）的滿足初始條件N(0)=N0的解為：（3.10）易見：N(0)=N0

，N(t)的圖形請看圖3.5模型檢驗

用Logistic模型來描述種群增長的規(guī)律效果如何呢？1945年克朗皮克（Crombic）做了一個人工飼養(yǎng)小谷蟲的實驗，數(shù)學(xué)生物學(xué)家高斯（E·F·Gauss）也做了一個原生物草履蟲實驗，實驗結(jié)果都和Logistic曲線十分吻合。

大量實驗資料表明用Logistic模型來描述種群的增長，效果還是相當不錯的。例如，高斯把5只草履蟲放進一個盛有0.5cm3營養(yǎng)液的小試管，他發(fā)現(xiàn)，開始時草履蟲以每天230.9%的速率增長，此后增長速度不斷減慢，到第五天達到最大量375個，實驗數(shù)據(jù)與r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲線：

幾乎完全吻合，見圖3.6。

圖3-6Malthus模型和Logistic模型的總結(jié)

Malthus模型和Logistic模型均為對微分方程（3.7）所作的模擬近似方程。前一模型假設(shè)了種群增長率r為一常數(shù)，（r被稱為該種群的內(nèi)稟增長率）。后一模型則假設(shè)環(huán)境只能供養(yǎng)一定數(shù)量的種群，從而引入了一個競爭項。

用模擬近似法建立微分方程來研究實際問題時必須對求得的解進行檢驗，看其是否與實際情況相符或基本相符。相符性越好則模擬得越好，否則就得找出不相符的主要原因，對模型進行修改。Malthus模型與Logistic模型雖然都是為了研究種群數(shù)量的增長情況而建立的，但它們也可用來研究其他實際問題，只要這些實際問題的數(shù)學(xué)模型有相同的微分方程即可，下面我們來看兩個較為有趣的實例。歷史背景:例5贗品的鑒定在第二次世界大戰(zhàn)比利時解放以后，荷蘭野戰(zhàn)軍保安機關(guān)開始搜捕納粹同謀犯。他們從一家曾向納粹德國出賣過藝術(shù)品的公司中發(fā)現(xiàn)線索，于1945年5月29日以通敵罪逮捕了三流畫家范·梅格倫（H·A·Vanmeegren），此人曾將17世紀荷蘭名畫家揚·弗米爾（JanVeermeer）的油畫“捉奸”等賣給納粹德國戈林的中間人?？墒牵丁っ犯駛愒谕?月12日在牢里宣稱：他從未把“捉奸”賣給戈林，而且他還說，這一幅畫和眾所周知的油畫“在埃牟斯的門徒”以及其他四幅冒充弗米爾的油畫和兩幅德胡斯（17世紀荷蘭畫家）的油畫，都是他自己的作品，這件事在當時震驚了全世界，為了證明自己是一個偽造者，他在監(jiān)獄里開始偽造弗米爾的油畫“耶穌在門徒們中間”，當這項工作接近完成時，范·梅格倫獲悉自己的通敵罪已被改為偽造罪，因此他拒絕將這幅畫變陳，以免留下罪證。為了審理這一案件，法庭組織了一個由著名化學(xué)家、物理學(xué)家和藝術(shù)史學(xué)家組成的國際專門小組查究這一事件。他們用X射線檢驗畫布上是否曾經(jīng)有過別的畫。此外，他們分析了油彩中的拌料（色粉），檢驗油畫中有沒有歷經(jīng)歲月的跡象。科學(xué)家們終于在其中的幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代顏料鈷蘭的痕跡，還在幾幅畫中檢驗出了20世紀初才發(fā)明的酚醛類人工樹脂。根據(jù)這些證據(jù)，范·梅格倫于1947年10月12日被宣告犯有偽造罪，被判刑一年。可是他在監(jiān)獄中只待了兩個多月就因心臟病發(fā)作，于1947年12月30日死去。

然而，事情到此并未結(jié)束，許多人還是不肯相信著名的“在埃牟斯的門徒”是范·梅格倫偽造的。事實上，在此之前這幅畫已經(jīng)被文物鑒定家認定為真跡，并以17萬美元的高價被倫布蘭特學(xué)會買下。專家小組對于懷疑者的回答是：由于范·梅格倫曾因他在藝術(shù)界中沒有地位而十分懊惱，他下決心繪制“在埃牟斯的門徒”，來證明他高于三流畫家。當創(chuàng)造出這樣的杰作后，他的志氣消退了。而且，當他看到這幅“在埃牟斯的門徒”多么容易賣掉以后，他在炮制后來的偽制品時就不太用心了。這種解釋不能使懷疑者感到滿意，他們要求完全科學(xué)地、確定地證明“在埃牟斯的門徒”的確是一個偽造品。這一問題一直拖了20年，直到1967年，才被卡內(nèi)基·梅倫（Carnegie-Mellon）大學(xué)的科學(xué)家們基本上解決。原理與模型測定油畫和其他巖石類材料的年齡的關(guān)鍵是本世紀初發(fā)現(xiàn)的放射性現(xiàn)象。放射性現(xiàn)象：著名物理學(xué)家盧瑟夫在本世紀初發(fā)現(xiàn)，某些“放射性”元素的原子是不穩(wěn)定的，并且在已知的一段時間內(nèi)，有一定比例的原子自然蛻變而形成新元素的原子，且物質(zhì)的放射性與所存在的物質(zhì)的原子數(shù)成正比。用N(t)表示時間t時存在的原子數(shù),則：常數(shù)λ是正的，稱為該物質(zhì)的衰變常數(shù)用λ來計算半衰期T:與負增長的Malthus模型完全一樣其解為:令則有:許多物質(zhì)的半衰期已被測定，如碳14，其T=5568；軸238，其T=45億年。與本問題相關(guān)的其他知識:

(1)藝術(shù)家們應(yīng)用白鉛作為顏料之一，已達兩千年以上。白鉛中含有微量的放射鉛210，白鉛是從鉛礦中提煉出來的，而鉛又屬于鈾系，其演變簡圖如下（刪去了許多中間環(huán)節(jié)）

(2)地殼里幾乎所有的巖石中均含有微量的鈾。一方面，鈾系中的各種放射性物質(zhì)均在不斷衰減，而另一方面，鈾又不斷地衰減，補充著其后繼元素。從而，各種放射性物質(zhì)（除鈾以外）在巖石中處于放射性平衡中。根據(jù)世界各地抽樣測量的資料，地殼中的鈾在鈾系中所占平均重量比約為百萬分之2.7（一般含量極微）。各地采集的巖石中鈾的含量差異很大，但從未發(fā)現(xiàn)含量高于2—3%的。

(3)從鉛礦中提煉鉛時，鉛210與鉛206一起被作為鉛留下，而其余物質(zhì)則有90—95%被留在礦渣里，因而打破了原有的放射性平衡。（注：這些有關(guān)物理、地質(zhì)方面的知識在建模時可向相應(yīng)的專家請教。）簡化假定：本問題建模是為了鑒定幾幅不超過300年的古畫，為了使模型盡可能簡單，可作如下假設(shè)：

(1)由于鐳的半衰期為1600年，經(jīng)過300年左右，應(yīng)用微分方程方法不難計算出白鉛中的鐳至少還有原量的90%，故可以假定，每克白鉛中的鐳在每分鐘里的分解數(shù)是一個常數(shù)。

(2)鉛210的衰變?yōu)椋恒U210T=22年釙210鉛206T=138天若畫為真品，顏料應(yīng)有300年左右或300年以上的歷史，容易證明：每克白鉛中釙210的分解數(shù)等于鉛210的分解數(shù)（相差極微，已無法區(qū)別）?？捎们罢叽婧笳撸蜥暤陌胨テ谳^短，易于測量。建模：

(1)記提煉白鉛的時刻為t=0，當時每克白鉛中鉛210的分子數(shù)為y0，由于提煉前巖石中的鈾系是處于放射性平衡的，故鈾與鉛的單位時間分解數(shù)相同。由此容易推算出每克白鉛中鉛210每分鐘分解數(shù)不能大于30000個，否則鈾的含量將超過4%，而這是不可能的。因為：若則（個）這些鈾約重（克）即每克白鉛約含0.04克鈾，含量為4%以上確定了每克白鉛中鉛分解數(shù)的上界，若畫上的鉛分解數(shù)大于該值，說明畫是贗品；但若是小于不能斷定畫一定是真品。

(2)設(shè)t時刻1克白鉛中鉛210含量為y(t)，而鐳的單位時間分解數(shù)為r（常數(shù)），則y(t)滿足微分方程：

由此解得：故：

若此畫是真品，t-t0≈300（年）。畫中每克白鉛所含鉛210目前的分解數(shù)λy(t)及目前鐳的分解數(shù)r均可用儀器測出，從而可求出λy0的近似值，并利用（1）判斷這樣的分解數(shù)是否合理。若判斷結(jié)果為不合理，則可以確定此畫必是贗品，但反之不一定說明畫是真品（因為估計仍是十分保守的且只能證明畫的“年齡”）。Carnegie-Mellon大學(xué)的科學(xué)家們利用上述模型對部分有疑問的油畫作了鑒定，測得數(shù)據(jù)如下（見表3-1）。油畫名稱210分解數(shù)（個/分）鐳226分解數(shù)（個/分）1、在埃牟斯的門徒8.50.82、濯足12.60.263、看樂譜的女人10.30.34、演奏曼陀琳的女人8.20.175、花邊織工1.51.46、笑女5.26.0計算λy0

（個/分）980501571301273401022501274.8-10181表3-1對“在埃牟斯的門徒”，λy0≈98050（個/每克每分鐘），它必定是一幅偽造品。類似可以判定（2），（3），（4）也是贗品。而（5）和（6）都不會是幾十年內(nèi)偽制品，因為放射性物質(zhì)已處于接近平衡的狀態(tài)，這樣的平衡不可能發(fā)生在十九世紀和二十世紀的任何作品中。判定結(jié)果：利用放射原理，還可以對其他文物的年代進行測定。例如對有機物（動、植物）遺體，考古學(xué)上目前流行的測定方法是放射性碳14測定法，這種方法具有較高的精確度，其基本原理是：由于大氣層受到宇宙線的連續(xù)照射，空氣中含有微量的中微子，它們和空氣中的氮結(jié)合，形成放射性碳14（C14）。有機物存活時，它們通過新陳代謝與外界進行物質(zhì)交換，使體內(nèi)的C14處于放射性平衡中。一旦有機物死亡，新陳代謝終止，放射性平衡即被破壞。因而，通過對比測定，可以估計出它們生存的年代。例如，1950年在巴比倫發(fā)現(xiàn)一根刻有Hammurabi王朝字樣的木炭，經(jīng)測定，其C14衰減數(shù)為4.09個/每克每分鐘，而新砍伐燒成的木炭中C14衰減數(shù)為6.68個/每克每分鐘，C14的半衰期為5568年，由此可以推算出該王朝約存在于3900-4000年前。例6新產(chǎn)品的推廣

經(jīng)濟學(xué)家和社會學(xué)家一直很關(guān)心新產(chǎn)品的推銷速度問題。怎樣建立一個數(shù)學(xué)模型來描述它，并由此析出一些有用的結(jié)果以指導(dǎo)生產(chǎn)呢？以下是第二次世界大戰(zhàn)后日本家電業(yè)界建立的電飯包銷售模型。

設(shè)需求量有一個上界，并記此上界為K，記t時刻已銷售出的電飯包數(shù)量為x(t)，則尚未使用的人數(shù)大致為K－x(t)，于是由統(tǒng)計籌算律：記比例系數(shù)為k，則x(t)滿足：

此方程即Logistic模型，解為：還有兩個奇解:x=0和x=K

對x(t)求一階、兩階導(dǎo)數(shù)：容易看出，x’(t)>0，即x(t)單調(diào)增加。由x’’(t0)=0，可以得出=1，此時，。當t<t0時，x’’(t)>0，x’(t)單調(diào)增加，而當t>t0時，x’’(t)<0，x’(t)單調(diào)減小。實際調(diào)查表明，銷售曲線與Logistic曲線十分接近，尤其是在銷售后期，兩者幾乎完全吻合。在銷出量小于最大需求量的一半時，銷售速度是不斷增大的，銷出量達到最大需求量的一半時，該產(chǎn)品最為暢銷，接著銷售速度將開始下降。所以初期應(yīng)采取小批量生產(chǎn)并加以廣告宣傳；從有20%用戶到有80%用戶這段時期，應(yīng)該大批量生產(chǎn)；后期則應(yīng)適時轉(zhuǎn)產(chǎn)，這樣做可以取得較高的經(jīng)濟效果?！?.3

為什么要用三級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，以說明為什么不能用一級火箭而必須用多級火箭來發(fā)射人造衛(wèi)星？為什么一般都采用三級火箭系統(tǒng)？1、為什么不能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星?

（1）衛(wèi)星能在軌道上運動的最低速度假設(shè)：（i）衛(wèi)星軌道為過地球中心的某一平面上的圓，衛(wèi)星在此軌道上作勻速圓周運動。（ii）地球是固定于空間中的均勻球體，其它星球?qū)πl(wèi)星的引力忽略不計。分析：根據(jù)牛頓第三定律，地球?qū)πl(wèi)星的引力為:在地面有:得:k=gR2

R為地球半徑，約為6400公里故引力:假設(shè)(ii)dmm-dmvu-v假設(shè)(i)衛(wèi)星所受到的引力也就是它作勻速圓周運動的向心力故又有:從而:設(shè)g=9.81米/秒2，得:

衛(wèi)星離地面高度(公里)衛(wèi)星速度(公里/秒)10020040060080010007.807.697.587.477.377.86（2）火箭推進力及速度的分析假設(shè)：火箭重力及空氣阻力均不計分析：記火箭在時刻t的質(zhì)量和速度分別為m(t)和υ(t)有：記火箭噴出的氣體相對于火箭的速度為u（常數(shù)），由動量守恒定理：υ0和m0一定的情況下，火箭速度υ(t)由噴發(fā)速度u及質(zhì)量比決定。

故：由此解得：(3.11)

（2）火箭推進力及速度的分析現(xiàn)將火箭——衛(wèi)星系統(tǒng)的質(zhì)量分成三部分：（i）mP（有效負載，如衛(wèi)星）（ii）mF（燃料質(zhì)量）（iii）mS（結(jié)構(gòu)質(zhì)量——如外殼、燃料容器及推進器）。最終質(zhì)量為mP+mS，初始速度為0，所以末速度：根據(jù)目前的技術(shù)條件和燃料性能，u只能達到3公里/秒，即使發(fā)射空殼火箭，其末速度也不超過6.6公里/秒。目前根本不可能用一級火箭發(fā)射人造衛(wèi)星火箭推進力在加速整個火箭時，其實際效益越來越低。如果將結(jié)構(gòu)質(zhì)量在燃料燃燒過程中不斷減少，那么末速度能達到要求嗎？2、理想火箭模型假設(shè)：記結(jié)構(gòu)質(zhì)量mS在mS+mF中占的比例為λ，假設(shè)火箭理想地好，它能隨時拋棄無用的結(jié)構(gòu)，即結(jié)構(gòu)質(zhì)量與燃料質(zhì)量以λ與（1-λ）的比例同時減少。建模:

由

得到：解得：

理想火箭與一級火箭最大的區(qū)別在于，當火箭燃料耗盡時，結(jié)構(gòu)質(zhì)量也逐漸拋盡，它的最終質(zhì)量為mP，所以最終速度為：

只要m0足夠大，我們可以使衛(wèi)星達到我們希望它具有的任意速度?？紤]到空氣阻力和重力等因素，估計（按比例的粗略估計）發(fā)射衛(wèi)星要使υ=10.5公里/秒才行，則可推算出m0/mp約為51,即發(fā)射一噸重的衛(wèi)星大約需要50噸重的理想火箭哈哈，我還是有可能上天的！3、理想過程的實際逼近——多級火箭衛(wèi)星系統(tǒng)記火箭級數(shù)為n，當?shù)趇級火箭的燃料燒盡時，第i+1級火箭立即自動點火，并拋棄已經(jīng)無用的第i級火箭。用mi表示第i級火箭的質(zhì)量，mP表示有效負載。為簡單起見，先作如下假設(shè)：（i）設(shè)各級火箭具有相同的λ,即i級火箭中λmi為結(jié)構(gòu)質(zhì)量，（1-λ）mi為燃料質(zhì)量。（ii）設(shè)燃燒級初始質(zhì)量與其負載質(zhì)量之比保持不變，并記比值為k?？紤]二級火箭：

由3.11式，當?shù)谝患壔鸺紵陼r，其末速度為：當?shù)诙壔鸺急M時，末速度為：該假設(shè)有點強加的味道，先權(quán)作討論的方便吧又由假設(shè)（ii），m2=kmP，m1=k(m2+mP)，代入上式，并仍設(shè)u=3公里/秒，且為了計算方便，近似取λ=0.1，則可得：要使υ2=10.5公里/秒，則應(yīng)使:即k≈11.2，而:類似地，可以推算出三級火箭：

在同樣假設(shè)下:

要使υ3=10.5公里/秒，則(k+1)/(0.1k+1)≈3.21，k≈3.25，而（m1+m2+m3+mP）/mP≈77。三級火箭比二級火箭幾乎節(jié)省了一半是否三級火箭就是最省呢？最簡單的方法就是對四級、五級等火箭進行討論。考慮N級火箭：

記n級火箭的總質(zhì)量（包含有效負載mP）為m0，在相同的假設(shè)下可以計算出相應(yīng)的m0/mP的值，見表3-2n（級數(shù)）12345…

∞（理想）

火箭質(zhì)量（噸）/149776560…50表3-2由于工藝的復(fù)雜性及每節(jié)火箭都需配備一個推進器，所以使用四級或四級以上火箭是不合算的，三級火箭提供了一個最好的方案。當然若燃料的價錢很便宜而推進器的價錢很貴切且制作工藝非常復(fù)雜的話，也可選擇二級火箭。4、火箭結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計3中已經(jīng)能說過假設(shè)(ii)有點強加的味道；現(xiàn)去掉該假設(shè)，在各級火箭具有相同λ的粗糙假設(shè)下，來討論火箭結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設(shè)計。W1=m1+…+mn+mP

W2=m2+…+mn+mP……Wn=mn+mPWn+1=mP記應(yīng)用（3.11）可求得末速度：記則又問題化為，在υn一定的條件下，求使k1k2…kn最小

解條件極值問題：或等價地求解無約束極值問題：可以解出最優(yōu)結(jié)構(gòu)設(shè)計應(yīng)滿足：火箭結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計討論中我們得到與假設(shè)（ii）相符的結(jié)果，這說明前面的討論都是有效的！§3.4

藥物在體內(nèi)的分布

何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，（注：考察對象一般并非均勻分布，這里采用了一種簡化方法一集中參數(shù)法）；房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。在本節(jié)中，我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。在下一節(jié)中，我們將用多房室系統(tǒng)的方法來研究另一問題。兩者都很簡單，意圖在于介紹建模方法。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認為是與藥物當前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的，設(shè)t時刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布情況1快速靜脈注射機體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：負增長率的Malthus模型

在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：（3.12）

情況2恒速靜脈點滴機體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物似恒速點滴方式進入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

（3.13）

這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對于多次點滴，設(shè)點滴時間為T1，兩次點滴之間的間隔時間設(shè)為T2，則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時間內(nèi)為情況1。故：（第一次）

0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機體外部藥物

口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以：解得：從而藥物濃度：在通常情況下，總有k1>k（藥物未吸收完前，輸入速率通?？偞笥诜纸馀c排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質(zhì)及機體對該藥物的吸收、分解能力有關(guān)）。當k1>k時，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學(xué)上被稱為觸發(fā)翻轉(zhuǎn)（flip-flop）。當k1=k時，對固定的t，令k→k1取極限（應(yīng)用羅比達法則），可得出在這種情況下的血藥濃度為：圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同，（注：為達到治療目的，血藥濃度應(yīng)達到某一有效濃度，并使之維持一特定的時間長度）。圖3-9

我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。

新藥品、新疫苗在臨床應(yīng)用前必須經(jīng)過較長時間的基礎(chǔ)研究、小量試制、中間試驗、專業(yè)機構(gòu)評審及臨床研究。當一種新藥品、新疫苗研制出來后，研究人員必須用大量實驗搞清它是否真的有用，如何使用才能發(fā)揮最大效用，提供給醫(yī)生治病時參考。在實驗中研究人員要測定模型中的各種參數(shù)，搞清血藥濃度的變化規(guī)律，根據(jù)疾病的特點找出最佳治療方案（包括給藥方式、最佳劑量、給藥間隔時間及給藥次數(shù)等），這些研究與試驗據(jù)估計最少也需要數(shù)年時間。在2003年春夏之交的SARS（非典）流行期內(nèi)，有些人希望醫(yī)藥部門能趕快拿出一種能治療SARS的良藥或預(yù)防SARS的有效疫苗來，但這只能是一種空想。SARS的突如其來，形成了“外行不懂、內(nèi)行陌生”的情況。國內(nèi)權(quán)威機構(gòu)一度曾認為這是“衣原體”引起的肺炎，可以用抗生素控制和治療。但事實上，抗生素類藥物對SARS的控制與治療絲毫不起作用。以鐘南山院士為首的廣東省專家并不迷信權(quán)威，堅持認為SARS是病毒感染引起的肺炎，兩個月后（4月16日），世界衛(wèi)生組織正式確認SARS是冠狀病毒的一個變種引起的非典型性肺炎（注：這種確認并非是由權(quán)威機構(gòu)定義的，而是經(jīng)對猩猩的多次實驗證實的）。發(fā)現(xiàn)病原體尚且如此不易，要攻克難關(guān)，找到治療、預(yù)防的辦法當然就更困難了，企圖幾個月解決問題注定只能是一種不切實際的幻想。

上述研究是將機體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機體事實上并不是這樣。藥物進入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)圖3-10

圖3-10表示的是一種常見的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。當差異較大的部分較多時，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)§3.5

傳染病模型傳染病是人類的大敵，通過疾病傳播過程中若干重要因素之間的聯(lián)系建立微分方程加以討論，研究傳染病流行的規(guī)律并找出控制疾病流行的方法顯然是一件十分有意義的工作。在本節(jié)中，我們將主要用多房室系統(tǒng)的觀點來看待傳染病的流行，并建立起相應(yīng)的多房室模型。醫(yī)生們發(fā)現(xiàn)，在一個民族或地區(qū)，當某種傳染病流傳時，波及到的總?cè)藬?shù)大體上保持為一個常數(shù)。即既非所有人都會得病也非毫無規(guī)律，兩次流行（同種疾?。┑牟叭藬?shù)不會相差太大。如何解釋這一現(xiàn)象呢？試用建模方法來加以證明。問題的提出：設(shè)某地區(qū)共有n+1人，最初時刻共有i人得病，t時刻已感染（infective）的病人數(shù)為i(t)，假定每一已感染者在單位時間內(nèi)將疾病傳播給k個人（k稱為該疾病的傳染強度），且設(shè)此疾病既不導(dǎo)致死亡也不會康復(fù)模型1此模型即Malthus模型，它大體上反映了傳染病流行初期的病人增長情況，在醫(yī)學(xué)上有一定的參考價值，但隨著時間的推移，將越來越偏離實際情況。已感染者與尚未感染者之間存在著明顯的區(qū)別，有必要將人群劃分成已感染者與尚未感染的易感染，對每一類中的個體則不加任何區(qū)分，來建立兩房室系統(tǒng)。則可導(dǎo)出：故