機械振動5多自由度振動7矩陣迭代法

§5.7矩陣迭代法2023/2/71《振動力學》求多自由度系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)是振動分析的主要內容。下面介紹矩陣迭代法求系統(tǒng)的最低幾階固有頻率和模態(tài)。隨著自由度的增加，計算系統(tǒng)的固有頻率和模態(tài)難度增大。采用近似解，是個好辦法，特別是借助計算機，很有效。對于系統(tǒng)的任意階固有頻率和模態(tài)都有：2023/2/72《振動力學》任選系統(tǒng)的一個假設模態(tài)w

，它一般不是真實模態(tài)，但總能表示為真實模態(tài)的線性組合：上式左乘D矩陣：上式再左乘一次D矩陣：2023/2/73《振動力學》

k次左乘D矩陣（相當于k次迭代）后：由于每作一次迭代上式括號內第一項的優(yōu)勢就加強一次。2023/2/74《振動力學》k次迭代后：由于：每作一次迭代上式括號內第一項的優(yōu)勢就加強一次。迭代次數(shù)愈多，上式括號內第二項所包含的高于一階的模態(tài)成分所占比例愈小。將Dkw作為一階模態(tài)的k次近似，記作wk，則矩陣迭代法的計算公式為：2023/2/75《振動力學》k次迭代：當?shù)螖?shù)k足夠大，除一階模態(tài)以外的其余高階模態(tài)成分小于容許誤差時，即可將其略去，得到：于是k次迭代后的模態(tài)近似地等于第一階真實模態(tài)。對wk再作一次迭代，在wk和wk+1中任選第j個元素wj,k和wj,k+1，其比值關系如下：2023/2/76《振動力學》k次矩陣迭代：在具體計算過程中，前k次迭代均應進行歸一化。如使每個模態(tài)的最后元素成為1，使得各次迭代的模態(tài)之間具在第k+1次迭代后，不需歸一化，以算出基頻。第一階模態(tài)第一階固有頻率有可比性，也避免計算過程中模態(tài)迭代的數(shù)值過大或過小。2023/2/77《振動力學》例5.7-1：三自由度系統(tǒng)mmkk2m2k試用矩陣迭代法計算基頻和第一階模態(tài)：解：先求系統(tǒng)的柔度矩陣，由定義求或求剛度矩陣的逆陣。僅對m1施加F1=1,各坐標的位移：僅對m2施加F2=1,各坐標的位移：僅對m3施加F3=1,各坐標的位移：2023/2/78《振動力學》假設模態(tài)為：mmkk2m2k系統(tǒng)的動力矩陣：第一次迭代：歸一化：2023/2/79《振動力學》第二次迭代：歸一化：第三次迭代：歸一化：2023/2/710《振動力學》第四次迭代：歸一化：第五次迭代：歸一化：2023/2/711《振動力學》終止迭代，為第一階模態(tài)。利用和的最后一個元素計算基頻：2023/2/712《振動力學》采用常規(guī)方法，基頻：采用矩陣迭代法，基頻：第一階模態(tài)：第一階模態(tài)：基頻誤差為0.2%。模態(tài)在精確到四位小數(shù)時，完全一致。正則化第一階模態(tài)：2023/2/713《振動力學》趨于零的速度。從迭代過程看出，獲得模態(tài)（收斂）的速度取決于主要體現(xiàn)在兩個方面：一是，λ1比λ2大多少，相差越大，收斂越快，迭代次數(shù)越少；二是，假設模態(tài)選取的準確性，w越接近于第一階模態(tài)u1

，收斂速度越快，迭代次數(shù)越少。有時從模型可以粗略推測第一階模態(tài)中質量位移的比值關系。矩陣迭代有個最大的優(yōu)點“防止誤差”。即使某一步迭代發(fā)生誤差，只是意味著以新的假設模態(tài)重新開始迭代。只不過延緩了收斂，但不會破壞收斂。只要動力矩陣D正確，無論假設模態(tài)如何，總能得到近似解。2023/2/714《振動力學》高階模態(tài)及固有頻率用矩陣迭代法求出系統(tǒng)的第一階模態(tài)和基頻后，還可以用同樣的方法求第二階模態(tài)和頻率。任選一個假設模態(tài)w

，總能通過迭代算得第一階模態(tài)u(1)，有一個原因是假設模態(tài)w

中含有第一階模態(tài)u(1)的成分C1，若假設模態(tài)w

中第一階模態(tài)u(1)的成分C1=0，則迭代的結果趨向于第二階模態(tài)u(2)。因此求第二階模態(tài)u(2)時，需使w中的C1=0。同樣求第三階模態(tài)u(3)時，須使假設模態(tài)w的成分C1=C2=0。2023/2/715《振動力學》已經求出第一階正則模態(tài)u(1)，利用正交性可得C1：任選系統(tǒng)的一個假設模態(tài)w1，它一般不是真實模態(tài)，但總能表示為真實模態(tài)的線性組合：用動力矩陣左乘w1：2023/2/716《振動力學》則有

：再左乘D(2),則有2023/2/717《振動力學》即得到第二階模態(tài)。同樣的，在具體計算過程中，每次迭代均應進行歸一化。同樣的，最后也可以算出第二階固有頻率。2023/2/718《振動力學》同樣可以用

：作算子迭代計算得到第三階模態(tài)和固有頻率。歸納得出，求第s階模態(tài)和固有頻率的算子矩陣為：對于重特征根情況，也一樣能求出前s階模態(tài)和固有頻率。如ω1是二重特征根，則推導過程：可以看出u(2)*還是對應于ω1的。而且u(2)*還與u(1)*正交。2023/2/719《振動力學》例5.7-1：三自由度系統(tǒng)已求出第一階正則模態(tài)和λ1：mmkk2m2k試用矩陣迭代法計算高階模態(tài)和固有頻率：解：前面已給出系統(tǒng)的質量矩陣和動力矩陣：2023/2/720《振動力學》2023/2/721《振動力學》期望模態(tài)有個節(jié)點，選?。旱谝淮蔚簹w一化：2023/2/722《振動力學》第二次迭代：第14次迭代后：2023/2/723《振動力學》得到第二階固有頻率和振型：得到第二階正則振型：若直接從特征值問題可得精確解：相對誤差很小。2023/2/724《振動力學》若要求第三階固有頻率和振型，由：任取重復迭代過程，將得到：2023/2/725《振動力學》以上方法算得前幾階的精度是較高的。但隨著階數(shù)的增高，精度逐步降低，而且迭代過程的收斂速度越來越慢。

矩陣迭代法的突出優(yōu)點是，最初假設模態(tài)的選取只影響收斂速度，而不影響其收斂精度。即使計算過程中發(fā)生錯誤，也不影響最終的結果。只是相當于從新的假設模態(tài)開始迭代。若假設的模態(tài)恰好精確等于某一階模態(tài)，此時計算得到的結果就是該模態(tài)及該階固有頻率。對于任意假設