保險(xiǎn)精算 利息理論

1、利息理論吳睿

認(rèn)識利息掌握計(jì)息方法學(xué)習(xí)目標(biāo)實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率名義利率和名義貼現(xiàn)率利息強(qiáng)度利息I(interest)借貸關(guān)系中借款人（borrower)為取得資金使用權(quán)而支付給貸款人的（lender）報(bào)酬(不必為貨幣，不一定同類)資本經(jīng)過一定時(shí)間的投資活動后產(chǎn)生的價(jià)值增值

利息可以理解為租金的一種形式本質(zhì)在償還借款時(shí)大于本金的那部分金額。

It=A（t）—P計(jì)算

P：本金，初始資本

A(t)：積累值，經(jīng)過t時(shí)間后的總資本利息理論借款人borrower黃世仁貸款人lender喜兒本金+利息《白毛女》楊白勞

-借貸關(guān)系實(shí)例123本金Pprincipal初始資本利息率interestrate時(shí)間（單位：度量期）

利息理論影響利息大小的三要素

■第t期的利息（It）：012…..t-1t第1期第2期第t期It=At-At-1■從初始時(shí)刻到第t時(shí)刻的利息：

At-P=I1+I2+···+It

積累值（終值）AVACCUMULATEDVALUE：一筆業(yè)務(wù)本金為P，在投資期內(nèi)沒有追加或抽回一定數(shù)額的資金，到投資期結(jié)束（t時(shí)刻），投資者收到的總金額。一般用At或A（t）表示。A（t）總量函數(shù)積累值積累函數(shù)與總量函數(shù)積累函數(shù)性質(zhì)本金為1單位，且在任何時(shí)刻沒有追加或抽回資本，在時(shí)刻t時(shí)的積累值a(t)a(0)=?a(t)的單調(diào)性常數(shù)單增單減積累函數(shù)與總量函數(shù)總量函數(shù)性質(zhì)本金為k單位，在時(shí)刻t時(shí)的積累值A(chǔ)(t)A(0)=?

A(t)=k*a(t)A(t)的單調(diào)性常數(shù)單增單減習(xí)題：1.已知：A(t)=2t++5，求:

（1）對應(yīng)的a(t)

解：（1）a(t)=A(t)/kk=A(0)=5a(t)=A(t)/k=1+0.4t+已知A(t)，求a(t)？A(t)=k*a(t)

a（0）=1實(shí)際利率某個(gè)度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時(shí)投資的本金之間的比率

計(jì)算利息的不同期限單位劃分:年利率(annualinterest):以年為單位計(jì)算利息時(shí)的利率，通常%表示。月利率(monthlyinterest):以月為單位計(jì)算利息時(shí)的利率，通?！氡硎尽Ｈ绽?dailyinterest):以日為單位計(jì)算利息時(shí)的利率，通常以‰0表示。

1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率[例1．1．1]某人到銀行存入1000元，第一年年末的存款余額為1020元，第2年年末的存款余額為1050元，問第1年、第2年的實(shí)際利率分別是多少？解：A（0）=1000，A（1）=1020，A（2）=1050

1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率習(xí)題：1.已知：A(t)=2t++5，求:（1）I3,

（2）i4

解：

（1）I3=A(3)-A(2)=2+

（2）i4=I4/A(3)=0.1781.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率2.若A(3)=100，in=0.01n，求：I5=?解：I5/A(4)=i5=0.05I5=0.05A(4)

[A(4)-A(3)]/A(3)=i4=0.04，A(3)=100A(4)=104

因此，I5=0.05A(4)=5.2

計(jì)息方法單利利息（I）=本金×利率×期限=P×i×t積累值A(chǔ)(t)=P+P×i×t=P（1+i×t）單純按初始本金P計(jì)算出來的利息進(jìn)行計(jì)息a(t)=1+it單利情況下的實(shí)際利率?1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率單利計(jì)息的特征:

1.利息恒定

It=A(t)-A(t-1)=k[a(t)-a(t-1)]

=k[1+it-1-i(t-1)]=ki

1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率2.實(shí)際利率遞減

dit/dt<0it關(guān)于t單調(diào)遞減,也就是說,常數(shù)的單利意味著遞減的實(shí)際利率.計(jì)息方法復(fù)利計(jì)算公式本利和

A(t)=P+P×

i+P(1+i)×i+P(1+i)(1+i)×

i+……初始本金P計(jì)算出來的利息額再加入本金，一并計(jì)算利息的方法（實(shí)務(wù)）1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率復(fù)利計(jì)息的特征:

1.各期利息不同

It=A(t)-A(t-1)=k[(1+i)t-(1+i)t-1]=ki(1+i)t-1

1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率

2.實(shí)際利率恒定

復(fù)利與單利的區(qū)別

(1)若利率水平為一常數(shù),那么單利條件下的實(shí)際利率是時(shí)間的遞減函數(shù);.而復(fù)利條件下的實(shí)際利率與時(shí)間無關(guān),仍然等于常數(shù)的復(fù)利的利率.

1t(0,1)(1.1+i)復(fù)利單利■單利與復(fù)利的比較

從積累函數(shù)看

1、單個(gè)度量期（t=1）:

1+it=(1+i)t

結(jié)果相同

2、較長時(shí)期（t>1）:(1+i)t>1+it復(fù)利產(chǎn)生更大積累值

3、較短時(shí)期（t<1）:(1+i)t<1+it單利產(chǎn)生更大積累值例題：

1.1某銀行以單利計(jì)息，年息為6%，某人存入5000元，求5年后的積累值是多少？

A(5)=5000a(5)=5000(1+6%·5)=6500(元)

1.2如果該銀行以復(fù)利計(jì)息，其他條件不變，求5年后的積累值。

A(5)=5000a(5)=5000(1+6%)5=6691.13(元)1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率例題

(1)期限超過了一個(gè)度量期，t=1和t>1時(shí)單利、復(fù)利下積累值的比較。

(2)單利、復(fù)利條件下，It的變化趨勢。

(3)單利、復(fù)利條件下，it的變化趨勢。tAtItit(%)單利復(fù)利單利復(fù)利單利復(fù)利初始1001000000110510555552110110.2555.254.7653115115.7655.514.5554120121.5555.794.3555125127.6356.084.1753.如果3000元在5年半內(nèi)積累到5000元，求：單利利率、復(fù)利利率。

解：單利利率：3000（1+5.5i）=5000i=0.121

復(fù)利利率：3000（1+i）5.5=5000i=0.0973折現(xiàn)因子&折現(xiàn)函數(shù)

1、期初投資一個(gè)單位，期末得到1+i單位；如果期末要得到1個(gè)單位，期初應(yīng)該投資多少單位？2、期初投資一個(gè)單位，到t時(shí)積累a(t)個(gè)單位；如果在t時(shí)要得到1個(gè)單位，期初應(yīng)該投資多少單位？A(t)=v*a(t)=1V(t)=1/a(t)折現(xiàn)函數(shù)

A(1)=v*a(1)=v(1+i)=1V=1/(1+i)折現(xiàn)因子1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率現(xiàn)值和貼現(xiàn)率現(xiàn)值:把一單位元在t年前的值或未來t年一單位元在現(xiàn)在的值稱為t年現(xiàn)值.貼現(xiàn)額:如果應(yīng)在未來某個(gè)時(shí)期支付的金額提前到現(xiàn)在支付,需要扣除一定的數(shù)額,這個(gè)扣除額稱為貼現(xiàn)額現(xiàn)值和貼現(xiàn)率在單利下，現(xiàn)值和貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率：度量利息的又一重要工具單位貨幣在單位時(shí)間內(nèi)的貼現(xiàn)額，單位時(shí)間以年度衡量時(shí)，成為實(shí)際貼現(xiàn)率。一個(gè)度量期內(nèi)的實(shí)際貼現(xiàn)率為該度量期內(nèi)取得的利息金額與期末的投資可回收金額之比

d表示一年的貼現(xiàn)率:dn表示第n年貼現(xiàn)率:■實(shí)際貼現(xiàn)率與實(shí)際利率的關(guān)系

考慮一筆業(yè)務(wù)：某人以實(shí)際貼現(xiàn)率借款1元，則實(shí)際上本金為（1-d）元，而利息（貼現(xiàn)）金額為d元。實(shí)際利率為：

i=d/(1-d)d=i/(1+i),即d=ivd=(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-d，方程兩端均可以看作是期末付1的現(xiàn)值。d=i(1-d)，即i-d=id現(xiàn)值和貼現(xiàn)率1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率例題：1.1.4某人到銀行存入1000元，第一年末存折上余額為1050元，第二年余額為1100元，求：第一、二年的實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率。實(shí)際利率：i1=[A(1)-A(0)]/A(0)=(1050-1000)/1000=5%i2=[A(2)-A(1)]/A(1)=(1100-1050)/1050=4.762%1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率實(shí)際貼現(xiàn)率：

d1=[A(1)-A(0)]/A(1)=(1050-1000)/1050=4.762%

d2=[A(2)-A(1)]/A(2)=(1100-1050)/1100=4.545%1.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率習(xí)題:1.300元投資復(fù)利計(jì)息經(jīng)過3年增長至400元，求：分別在第2年末、第4年末、第6年末各付款500元的現(xiàn)值之和。

解：復(fù)利條件下：a(t)=(1+i)tA(3)=ka(3)=300(1+i)3=400i=0.10064

現(xiàn)值：500[a-1(2)+a-1(4)+a-1(6)]=1034.71.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率2.對于8%的復(fù)利和單利，分別求：d4=？

解：復(fù)利條件：d4=[a(4)-a(3)]/a(4)=i/(1+i)=0.074

單利條件：d4=[a(4)-a(3)]/a(4)

=（1+4i-1-3i)/(1+4i)=0.061.1實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率■“等價(jià)”的概念實(shí)際利率和實(shí)際貼現(xiàn)率都是度量利息的方法。任何一筆業(yè)務(wù)都可以同時(shí)用這兩種方法來度量。

如果對于給定的投資金額，在同樣長的時(shí)間內(nèi)，利率與實(shí)際貼現(xiàn)率（或其他任何利息的度量方式）能夠產(chǎn)生同樣的積累值，則稱兩個(gè)“率”是“等價(jià)”的?！鰧?shí)際貼現(xiàn)率與實(shí)際利率的關(guān)系

考慮一筆業(yè)務(wù)：某人以實(shí)際貼現(xiàn)率借款1元，則實(shí)際上本金為（1-d）元，而利息（貼現(xiàn)）金額為d元。實(shí)際利率為：

i=d/(1-d)d=i/(1+i),即d=ivd=(1+i)/(1+i)-1/(1+i)=1-vv=1-d，方程兩端均可以看作是期末付1的現(xiàn)值。d=i(1-d)，即i-d=id實(shí)際利率和名義利率實(shí)際利率--------利息在每個(gè)度量期支付一次。此時(shí)稱一個(gè)度量期內(nèi)的利率為實(shí)際利率。一般用i表示。

名義利率--------一個(gè)度量期內(nèi)利息支付不止一次（或在多個(gè)度量期內(nèi)利息才支付一次）。此時(shí)稱一個(gè)度量期內(nèi)的利率為名義利率。一般用i(m)表示。

名義利率單個(gè)度量期內(nèi)利息只支付一次，其相應(yīng)的一個(gè)度量期的利率稱為“實(shí)際”的實(shí)際利率在一個(gè)度量期中，利息支付多次（大于1）或者在多個(gè)度量期利息僅支付一次（年）其相應(yīng)的一個(gè)度量期的利率稱為“名義”的。

i(m)與等價(jià)的實(shí)際利率之間的關(guān)系：1+i=(1+i(m)/m)m可得：

①i=(1+i(m)/m)m-1

②i(m)=m[(1+i)1/m-1]符號i(m)記每一度量期支付m次利息的名義利率每1/m個(gè)度量期支付利息一次，在每1/m個(gè)度量期上的實(shí)際利率為i(m)/m。每個(gè)度量期的實(shí)際利率為i1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率名義利率i(m)是指每1/m個(gè)度量期支付利息一次，而在每1/m個(gè)度量期上的實(shí)際利率為i(m)/m。也就是說，每一度量期i(m)的名義利率等價(jià)于每1/m度量期i(m)/m的實(shí)際利率（復(fù)利計(jì)息）。如若一年為一個(gè)度量期,i(4)=8%的名義利率指的是每季度的實(shí)際利率為2%,即每年記息4次的年名義利率為8%

1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率■與名義利率等價(jià)的實(shí)際利率：

由等價(jià)的定義，可以得到i(m)與等價(jià)的實(shí)際利率之間的關(guān)系：

1+i=(1+i(m)/m)m可得：

①

i=(1+i(m)/m)m-1

②i(m)=m[(1+i)1/m-1]例：1.2.1（1）i(4)=8%，求年實(shí)際利率。（2）i=10%，求i(5)。

解：

（1）1+i=[1+(i(4)/4)]4

i=[1+(i(4)/4)]4-1=8.24%

（2）i(m)=m[(1+i)1/m-1]=5[(1.1)1/5-1]=9.6%作業(yè)習(xí)題1.31.2名義利率和名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率

與名義利率的含義相同，用d(m)表示每一度量期支付m次利息的名義貼現(xiàn)率。如果名義貼現(xiàn)率為d(m)，那么有：

1-d=(1-d(m)/m)m

可得:①

d=1-(1-d(m)/m)m

②d(m)=m[1-(1-d)1/m]

1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率名義利率與名義貼現(xiàn)率的關(guān)系等價(jià)

01/m2/mm-1/mm/m………1元(1+i)=(1+i(m)/m)m元1元生息貼現(xiàn)

(1-d(m)/m)-m元

(1+i(m)/m)m=(1+i)=1/(1-d)=(1-d(m)/m)-m名義利率和名義貼現(xiàn)率的關(guān)系：當(dāng)m=p時(shí)：

1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率例：1.2.2假設(shè)年實(shí)際利率等于12%，分別求每年、每半年、每季度、每月、每周和每天計(jì)息一次時(shí)的名義利率和名義貼現(xiàn)率。解：（1）名義利率1+i=(1+i(m)/m)mi(m)=m[(1+i)1/m-1]i=12%m=1,i(m)=12%;m=2,i(m)=11.66%;m=4,……

1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率名義貼現(xiàn)率第一種方法：

1+i=(1-d(m)/m)-m

d(m)=m[1-(1+i)-1/m]

第二種方法：

d=i/1+i1-d=(1-d(m)/m)m

d(m)=m[1-(1-d)1/m]1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率例1.2.3求與實(shí)際利率8%等價(jià)的每年計(jì)息2次的年名義利率，以及計(jì)息4次的年名義貼現(xiàn)率。例1.2.4已知每年計(jì)息12次的年名義貼現(xiàn)率為8%，求等價(jià)的實(shí)際利率。1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率解:(1)1+i=(1+i(m)/m)mi(m)=m[(1+i)1/m-1]i=8%,m=2,i(m)=7.85%

(1-d(m)/m)-m=1+i

d(m)=m[1-(1+i)-1/m]i=8%,m=4,d(m)=7.623%1.2名義利率和名義貼現(xiàn)率(2)(1-d(m)/m)-m=1+ii=(1-d(m)/m)-m-1m=12,d(m)=8%,i=8.36%例1.2.5求1萬元按每年計(jì)息4次的年名義利率6%投資3年的積累值。解：A(3)=10000a(3)=10000(1+0.06/4)12

=10000(1.015)12=11956.2例1.2.6以每年計(jì)息2次的年名義貼現(xiàn)率為10%，在6年后支付5萬元，求其現(xiàn)值。解：PV=50000a-1(6)=50000(1-d)6

=50000