信號(hào)與系統(tǒng)B-第四章 連續(xù)時(shí)間傅立葉變換

信號(hào)與系統(tǒng)信息工程學(xué)院王順利第4章連續(xù)時(shí)間傅立葉變換聯(lián)系方法：郵箱：wangshunli@電話Q：497420789第4章連續(xù)時(shí)間傅立葉變換重點(diǎn)：1、掌握傅立葉變換定義及其基本性質(zhì)；2、牢記常用典型信號(hào)的傅立葉變換；3、掌握運(yùn)用傅立葉變換分析LTI系統(tǒng)的方法難點(diǎn)：運(yùn)用傅立葉變換及相關(guān)性質(zhì)分析LTI系統(tǒng)4.0引言傅立葉在把傅立葉級(jí)數(shù)推廣到傅立葉積分的研究中基于如下的方法：把非周期函數(shù)看作一個(gè)周期函數(shù)在周期趨于無窮大時(shí)的極限。本章的地位：形成連續(xù)時(shí)間信號(hào)與系統(tǒng)頻域法的基礎(chǔ)。思想從非周期函數(shù)x(t)構(gòu)造出一個(gè)周期函數(shù)，使得該周期函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)就等于x(t)

，隨著這個(gè)周期趨于無窮大，就會(huì)在一個(gè)愈來愈大的區(qū)間上等于x(t)

，這樣，的傅立葉級(jí)數(shù)表示也就趨于x(t)的傅立葉積分表示。T

周期延拓4.1非周期信號(hào)的表示

——連續(xù)時(shí)間傅立葉變換(CFT)一、非周期信號(hào)傅立葉變換表示的導(dǎo)出對下面的連續(xù)時(shí)間周期方波：其傅立葉級(jí)數(shù)是T=4T1T=8T1T=16T1周期延拓T-T/2T/2用周期延拓的方法構(gòu)造出一個(gè)周期函數(shù)，即：周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)表示：假設(shè)一個(gè)具有有限持續(xù)期的非周期函數(shù)x(t):周期T的選擇：T大于x(t)的非零區(qū)間由于所以即即對于非周期信號(hào)x(t)，重復(fù)周期,重復(fù)頻率，譜線間隔，離散頻率變成連續(xù)頻率，且變成一個(gè)連續(xù)函數(shù)，記為

是原函數(shù)x(t)的頻譜密度函數(shù)，簡稱頻譜函數(shù)。頻譜包絡(luò)由于ω0

=2π/T,則：隨著，上式右邊在時(shí)的極限就變成x(t)的表達(dá)式。當(dāng)，重復(fù)頻率，離散頻率變成連續(xù)頻率，譜線間隔上式右邊的求和就演變成積分，即傅立葉變換（CFT）傅立葉正變換：傅立葉反變換：

x(t)和X(jω)分別為非周期函數(shù)的時(shí)域和頻域表示，兩者構(gòu)成一個(gè)傅立葉變換對。

X(jω)告訴我們將x(t)表示為不同頻率正弦信號(hào)的線性組合所需要的信息。X(jω)

的物理含義是：

X(jω)反映了信號(hào)x(t)的頻譜隨頻率而變化的分布特性，是頻率ω的連續(xù)函數(shù)。一般而言，X(jω)

是一個(gè)復(fù)函數(shù)，通常將它表示為|X(jω)|

：描述了x(t)

的幅頻特性，稱之為x(t)

的幅度譜,它代表信號(hào)中各頻率分量的相對大小

：描述了x(t)的相頻特性，稱之為x(t)的相位譜，它代表信號(hào)中各頻率分量的相位關(guān)系。二、傅立葉變換的收斂x(t)的傅立葉變換是否存在的條件應(yīng)該和傅立葉級(jí)數(shù)是否收斂所要求的那一組條件一樣。掌握一些典型信號(hào)的傅立葉變換，對于我們求一些其它信號(hào)的傅立葉變換，將會(huì)帶來很多方便。（1）單邊指數(shù)信號(hào)：三、連續(xù)時(shí)間傅立葉變換舉例（2）雙邊指數(shù)信號(hào)：（3）矩形脈沖

(4)含有奇異函數(shù)的傅立葉變換(一)單位沖激函數(shù)和常數(shù)“1”（二）符號(hào)函數(shù)sgn(t)（三）單位階躍信號(hào)u(t)（四）指數(shù)信號(hào)4.2周期信號(hào)的傅立葉變換由周期信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)表示構(gòu)造出一個(gè)周期信號(hào)的傅立葉變換：所得到的變換在頻域是由一串沖激所組成的，各沖激的面積（強(qiáng)度）正比于傅立葉級(jí)數(shù)。若：那么：一個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)系數(shù)為{ak}的周期信號(hào)的傅立葉變換，是出現(xiàn)在成諧波關(guān)系的頻率kω0

上的一串沖激函數(shù)，沖激函數(shù)的面積是對應(yīng)傅立葉系數(shù)的2π倍。例：周期為T的周期性脈沖串：-T1T0……該信號(hào)的傅立葉級(jí)數(shù)是周期脈沖串的傅立葉變換0……4.3連續(xù)時(shí)間傅立葉變換性質(zhì)x(t)和X(jω)這對傅立葉變換對用下列符號(hào)表示：注：當(dāng)t=0時(shí)對當(dāng)ω=0時(shí)一、線性若二、時(shí)移性質(zhì)若則即：信號(hào)在時(shí)間上移位，并不改變它的傅立葉變換的模，只是引入相移。例x(t)12341.51x1(t)-0.50.51-1.51.51x2(t)而利用線性和時(shí)移性質(zhì)三、共軛及共軛對稱性若則若x(t)為實(shí)函數(shù)而：若x(t)為實(shí)偶函數(shù)，那么X(jω)也是實(shí)偶函數(shù)。若x(t)為實(shí)奇函數(shù)，那么X(jω)是虛奇函數(shù)。例1：信號(hào)x(t)如圖所示，求例1解：由于x(t)是實(shí)信號(hào)，則：例2：因果實(shí)信號(hào)x(t)的傅立葉變換的實(shí)部求x(t)解：由于x(t)是實(shí)信號(hào)，則：而：則：又因?yàn)椋呵遥汗剩核?、微分與積分若則這是一個(gè)特別重要的性質(zhì)，它將時(shí)域內(nèi)的微分用頻域內(nèi)乘以jω來代替。討論利用傅立葉變換來分析由微分方程描述的LTI系統(tǒng)時(shí)，特別有用！積分關(guān)系若則微分特性在求某些信號(hào)（如分段線性變化信號(hào)）的頻譜時(shí)可以帶來很大方便。例：已知求：例：已知求：解：x(t)的導(dǎo)數(shù)為g(t)頻域微積分：例：已知求：解：則：故：五、時(shí)間與頻率的尺度變換若則當(dāng)a=-1,信號(hào)在時(shí)域中壓縮（a>1）等效于在頻域中擴(kuò)展；反之，信號(hào)在時(shí)域中擴(kuò)展（a<1）則等效于在頻域中壓縮。信號(hào)在時(shí)域中沿縱軸反折等效于在頻域中頻譜也沿縱軸反折。x(t)與X(jω)所覆蓋的面積分別等于X(jω)與x(t)在零點(diǎn)的數(shù)值X(0)或x(0).等效帶寬信號(hào)的等效脈沖寬度與占有的等效帶寬成反比，若要壓縮信號(hào)的持續(xù)時(shí)間，則不得不以展寬頻帶作為代價(jià)。所以在無線電通信中，通信速度和占有頻帶寬度是一對矛盾。tx(t)x(0)ωX(ω)X(0)六、對偶性若則例：例：頻移性質(zhì)為傅立葉變換的頻移性質(zhì)。該性質(zhì)表明：時(shí)間函數(shù)在時(shí)域中被頻率為ω0的虛指數(shù)函數(shù)加權(quán)，等效于頻域中將其傅立葉變換沿頻率軸右移ω0

?；陬l移性質(zhì)的頻譜搬移技術(shù)在通信和信號(hào)處理中得到了廣泛的應(yīng)用，例如，載波幅度調(diào)制、同步解調(diào)、變頻和混頻等技術(shù)！因?yàn)閷?dǎo)出七、帕斯瓦爾定理信號(hào)的總能量既可以按每單位時(shí)間內(nèi)的能量在整個(gè)時(shí)間內(nèi)積分出來，也可以按每單位頻率內(nèi)的能量在整個(gè)頻率范圍內(nèi)積分出來。為信號(hào)的能譜密度。例：已知x(t)的傅立葉變換如圖所示，（1）求x(t)；（2）求的傅立葉變換Y(jω)（寫出表達(dá)式，并畫出波形）；（3）求的值。解：（1）（2）根據(jù)頻移特性：則：（3）根據(jù)帕斯瓦爾關(guān)系式：八、卷積性質(zhì)在信號(hào)與系統(tǒng)的理論和方法中，最重要的變換性質(zhì)就是卷積性質(zhì)。卷積性質(zhì)將兩個(gè)信號(hào)的卷積映射為它們傅立葉變換的乘積。其中為頻率響應(yīng)，它控制著每一頻率ω上輸入傅立葉變換復(fù)振幅的變化。用頻率響應(yīng)來描述系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)性質(zhì)：4.5相乘的性質(zhì)（頻