（課標(biāo)專用）天津市高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題五 立體幾何 5.3 立體幾何中的向量方法

5.3

立體幾何中的向量方法整理ppt-2-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三用空間向量證明空間中的平行與垂直【例1】已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,D為AB的中點(diǎn),AC=BC=BB1.(1)求證:BC1⊥AB1;(2)求證:BC1∥平面CA1D.分析推理首先根據(jù)直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征建立空間直角坐標(biāo)系,求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(1)問可直接驗(yàn)證兩條直線的方向向量垂直來證明.(2)問的求解可從兩個角度:一是證明直線BC1的方向向量與平面CA1D的基向量共面;二是證明直線BC1的方向向量與平面CA1D的法向量垂直.整理ppt-3-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三證明:如圖,以C1為原點(diǎn),C1A1,C1B1,C1C所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.由AC=BC=BB1,設(shè)AC=2,則A(2,0,2),B(0,2,2),C(0,0,2),A1(2,0,0),B1(0,2,0),C1(0,0,0),D(1,1,2).整理ppt-4-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三又BC1?平面CA1D,因此BC1∥平面CA1D.

整理ppt-5-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三證法二:設(shè)平面CA1D的法向量為n=(x,y,z),又BC1在平面CA1D外,∴BC1∥平面CA1D.整理ppt-6-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法用向量方法證明空間線面位置關(guān)系的方法:設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為e1,e2,A,B,C分別為平面α內(nèi)的相異且不共線的三點(diǎn)(其中l(wèi)1與l2不重合,α與β不重合),則(1)l1∥l2?a∥b?存在實(shí)數(shù)λ,使b=λa(a≠0);l1⊥l2?a⊥b?a·b=0.(2)l1⊥α?a∥e1?存在實(shí)數(shù)λ,使e1=λa(a≠0);l1∥α?a·e1=0?存在(3)α∥β?e1∥e2?存在實(shí)數(shù)λ,使e2=λe1(e1≠0);α⊥β?e1⊥e2?e1·e2=0.整理ppt-7-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固1如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=4,BC=3,AA1=4,AC⊥BC,點(diǎn)D在線段AB上.(1)證明:AC⊥B1C;(2)若D是AB的中點(diǎn),證明:AC1∥平面B1CD;整理ppt-8-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(1)證明:如圖,以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz.則B(3,0,0),A(0,4,0),A1(0,4,4),B1(3,0,4),C1(0,0,4),整理ppt-9-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三又AC1?平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.證法二

連接BC1,交B1C于點(diǎn)E,連接DE.因?yàn)橹比庵鵄BC-A1B1C1,D是AB中點(diǎn),所以側(cè)面BB1C1C為矩形,DE為△ABC1的中位線.所以DE∥AC1.因?yàn)镈E?平面B1CD,AC1?平面B1CD,所以AC1∥平面B1CD.整理ppt-10-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(3)解:由(1)知AC⊥BC,設(shè)D(a,b,0)(a>0,b>0),整理ppt-11-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三設(shè)二面角B-CD-B1的大小為θ,整理ppt-12-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三利用空間向量求空間角【例2】(2019天津,理17)如圖,AE⊥平面ABCD,CF∥AE,AD∥BC,AD⊥AB,AB=AD=1,AE=BC=2.(1)求證:BF∥平面ADE;(2)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值;(3)若二面角E-BD-F的余弦值為,求線段CF的長.整理ppt-13-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三分析推理首先根據(jù)已知幾何體的結(jié)構(gòu)特征,找出其中的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系,寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo).(1)因?yàn)锳B⊥平面ADE,所以可直接檢驗(yàn)直線BF的方向向量與平面ADE的法向量垂直即可;(2)求出平面BDE的法向量,利用直線CE的方向向量與平面BDE的法向量的夾角表示所求角,注意向量夾角與所求角之間的轉(zhuǎn)化;(3)設(shè)CF的長度,求出點(diǎn)F的坐標(biāo),求出二面角兩個面的法向量,利用這兩個法向量的夾角轉(zhuǎn)化已知的二面角建立關(guān)于所求的方程,解之即可.整理ppt-14-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(1)證明:依題意,可以建立以A為原點(diǎn),整理ppt-15-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-16-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(3)解:設(shè)m=(x,y,z)為平面BDF的法向量,整理ppt-17-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法用向量求空間角的方法:設(shè)直線l1,l2的方向向量分別為a,b,平面α,β的法向量分別為n,m.整理ppt-18-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固2(2019全國Ⅰ,理18)如圖,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分別是BC,BB1,A1D的中點(diǎn).(1)證明:MN∥平面C1DE;(2)求二面角A-MA1-N的正弦值.整理ppt-19-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(1)證明:連接B1C,ME.因?yàn)镸,E分別為BB1,BC的中點(diǎn),由題設(shè)知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四邊形MNDE為平行四邊形,MN∥ED.又MN?平面EDC1,所以MN∥平面C1DE.整理ppt-20-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)解:由已知可得DE⊥DA.整理ppt-21-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-22-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固3如圖,已知多面體ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證明:AB1⊥平面A1B1C1.(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.整理ppt-23-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解法一

(1)證明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1⊥AB,BB1⊥AB,整理ppt-24-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)如圖,過點(diǎn)C1作C1D⊥A1B1,交直線A1B1于點(diǎn)D,連接AD.由AB1⊥平面A1B1C1,得平面A1B1C1⊥平面ABB1,由C1D⊥A1B1,得C1D⊥平面ABB1,所以∠C1AD是AC1與平面ABB1所成的角.整理ppt-25-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解法二

(1)證明:如圖,以AC的中點(diǎn)O為原點(diǎn),分別以射線OB,OC為x,y軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.所以AB1⊥平面A1B1C1.整理ppt-26-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(2)設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為θ.

整理ppt-27-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三用空間向量求空間中的距離【例3】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面四邊形ABCD是正方形,側(cè)面PDC是邊長為a的正三角形,且側(cè)面PDC⊥底面ABCD,E為PC的中點(diǎn).(1)求異面直線PA與DE所成角的余弦值.(2)求點(diǎn)D到平面PAB的距離.整理ppt-28-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三分析推理首先根據(jù)已知條件轉(zhuǎn)化側(cè)面PDC與底面ABCD的垂直關(guān)系,建立空間直角坐標(biāo)系.(1)問直接轉(zhuǎn)化為兩異面直線的方向向量的夾角求解;(2)首先求出平面PAB的法向量,取平面PAB內(nèi)任意一點(diǎn),利用對應(yīng)直線的方向向量在平面法向量方向上的投影絕對值表示所求距離即可.整理ppt-29-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三解:如圖,取DC的中點(diǎn)O,連接PO,∵△PDC為正三角形,∴PO⊥DC.又側(cè)面PDC⊥底面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.整理ppt-30-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(1)∵E為PC的中點(diǎn),整理ppt-31-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-32-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三規(guī)律方法求空間中距離的方法:(1)直線到平面的距離,兩平行平面間的距離均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.(3)設(shè)直線n的方向向量為n,直線n與異面直線a,b都垂直,A是直線a上任一點(diǎn),B是直線b上任一點(diǎn),則異面直線a,b的距離整理ppt-33-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三即時鞏固4如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AB+AD=4,CD=,∠CDA=45°.(1)求證:平面PAB⊥平面PAD.(2)設(shè)AB=AP.①若直線PB與平面PCD所成的角為30°,求線段AB的長.②在線段AD上是否存在一個點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離都相等?說明理由.整理ppt-34-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三(1)證明:因?yàn)镻A⊥平面ABCD,AB?平面ABCD,所以PA⊥AB.因?yàn)锳B⊥AD,PA∩AD=A,所以AB⊥平面PAD.又AB?平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAD.(2)解:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,如圖.在平面ABCD內(nèi)作CE∥AB交AD于點(diǎn)E,則CE⊥AD.在Rt△CDE中,DE=CD·cos45°=1,CE=CD·sin45°=1.設(shè)AB=AP=t,則B(t,0,0),P(0,0,t).由AB+AD=4,得AD=4-t,整理ppt-35-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三整理ppt-36-突破點(diǎn)一突破點(diǎn)二突破點(diǎn)三②假設(shè)在線段AD上存在一個點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離都相等.設(shè)G(0,m,0)(其中0≤m≤4-t),由①②消去t,化簡得m2-3m+4=0.③因?yàn)榉匠挞蹧]有實(shí)數(shù)根,所以在線段AD上不存在一個點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,C,D的距離都相等.從而,在線段AD上不存在一個點(diǎn)G,使得點(diǎn)G到點(diǎn)P,B,C,D的距離都相等.整理ppt-37-核心歸納預(yù)測演練整理ppt-38-核心歸納預(yù)測演練1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分別是A1B1,A1C1的中點(diǎn),BC=CA=CC1,則BM與AN所成角的余弦值為(

)C整理ppt-39-核心歸納預(yù)測演練解析:如圖,以點(diǎn)C1為坐標(biāo)原點(diǎn),C1B1,C1A1,C1C所在的直線分別為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè)BC=CA=CC1=1,可知整理ppt-40-核心歸納預(yù)測演練2.若平面α,β的法向量分別為n1=(2,-3,5),n2=(-3,1,-4),則(

)A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正確C解析:∵n1·n2=2×(-3)+(-3)×1+5×(-4)=-29≠0,∴n1與n2不垂直,又n1,n2不共線,∴α與β相交但不垂直.整理ppt-41-核心歸納預(yù)測演練3.已知兩平面的法向量分別為m=(0,1,0),n=(0,1,1),則兩平面所成二面角的大小為

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45°或135°∴兩平面所成二面角為45°或135°.整理ppt-42-核心歸納預(yù)測演練4.如圖,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的側(cè)棱AA1垂直于底面,底面ABCD為直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AD=AB=AA1=2BC,E為DD1的中點(diǎn),F為A1D的中點(diǎn),則直線EF與平面A1CD所成角的正弦值為

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整理ppt-43