教程講稿大二上

一、矩陣的加法二、數(shù)乘矩陣三、矩陣與矩陣相乘四、矩陣的轉(zhuǎn)置運(yùn)算五、小結(jié)、思考題一、矩陣的加１、定 設(shè)有兩個(gè)mnAaBb A與B的和記作AB

ABa21

2 2na a

am

mn

mn 5 5例 5

43 162 3 162 12

3 5

13

96

04 4.697 81 697 、矩陣加法的運(yùn)算規(guī)律1ABB2ABCABC a1n3A

a2na mn稱為矩陣A的負(fù)矩陣4AAO,ABA二、數(shù)與矩陣相、定數(shù)與矩陣A的乘積記作A或A,規(guī)定為

1nAA

a2n

mn（設(shè)A、B為mn矩陣，,為數(shù)1A2AA3ABA矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算.三、矩陣與矩引例 公司向兩家 商發(fā)送三種電數(shù)量（單位：套數(shù)量（單位：套商） 甲乙表格中的數(shù)據(jù)對應(yīng)矩陣 A a13a a23a這三種電腦的單價(jià)及單件重量也可以列成矩陣 B 22 其中，bi1表示第i種電腦的單價(jià)，bi2表示第i種電腦的單件重量(i試問：該IT公司向 商乙所發(fā)送電腦的顯然，由A、B的意義即

A

13

B

23

可知a21b12a22b22a23b32即為所求于是，可得該公司向兩家 商所發(fā)送電腦總價(jià)

bab

a a

a C

a23b32我們可以認(rèn)為矩陣C是矩陣A、B的“乘積.于是，有１、矩陣乘積的定設(shè)A

是一個(gè)msB

是一mn 個(gè)mn 個(gè) 陣C c

ai

b1

ai

b2

k

i1,2,m;j CAB.(2)24(3)C

4

222

8?162

4 B

1

4 求

1 Aa Bb Cc 2

4CAB

0

4

7 2

1

不存在.59 59 1232132231 1 ２、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)1AB２、矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)算 2ABCABAC, BCABA算 3ABAB前 4AIIA前

（為數(shù) 5若A是n階矩陣，則

k

并且Amk

Amk

Amkm,k為正整數(shù)注 ABBA,ABkAkBk A

1 B

1 AB

BA

2 AB

A

B

12

BA

AB , AB

2

同理，由AB

1

1 0 1 1 可知，ABO一般推不出AO或B AXAY一般推不出XY2

2 3 3

21 22

2 2

22 4.3 33 已知

3

1

例4

3 3 3

3

1

1 3

32

3 31 1 2

18

1 3

1四、矩陣的轉(zhuǎn)１、轉(zhuǎn)置矩 新矩陣，叫做A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作A.即:若A=(aij)則

AT

5; B

8TT 6轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性2ABTATBT3ATAT4ABTBTAT

A

B 3

求ABT210 2 210 AB

3210 210

13 10 B

A

3210 2 210 ABTBT

1

3

132 2

2、對稱陣 稱定 設(shè)A為n階方陣，如果滿足AAT， i,j A稱為對稱陣 例如A 0為對稱陣 6 說明如果ATA,則矩陣A稱 即滿足aijaji 顯然 稱矩陣中aii 證明任一n階矩陣A都可表示成對稱陣 設(shè)CA則CTAATT

AC,設(shè)BAAT,則BTAAT 稱矩陣.于

AB,AA

A

CB

設(shè)列矩陣X

x1,x2,,

XTXI為n階單位矩陣HI2XXT,證明H是對稱矩陣,且HH I HTI2XXT IT2XXTI2XXTHH是對稱矩陣HHTH I2XXTI