曲線運(yùn)動(dòng)問題解析

曲線運(yùn)動(dòng)問題解析【知識(shí)結(jié)構(gòu)】曲線運(yùn)動(dòng)恒定合外力勻變速曲線運(yùn)動(dòng)處理方法限定條件：F、v不同線規(guī)律（類）平拋運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成與分解特例F⊥v0曲線運(yùn)動(dòng)力的大小不變方向改變勻速圓周運(yùn)動(dòng)帶電粒子在磁場中的運(yùn)動(dòng)天體的運(yùn)動(dòng)力的方向總與速度垂直限定條件：應(yīng)用軌跡不是圓周的曲線此類問題往往應(yīng)用能量守恒定律和牛頓第二定律求解此類問題往往應(yīng)用動(dòng)能定理或守恒律求解軌跡是圓周合力的大小和方向均在變化1.一般的曲線運(yùn)動(dòng)——運(yùn)動(dòng)的合成與分解注意：（1）仔細(xì)進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)分析，注意物體所受的力大小與方向是否會(huì)發(fā)生改變，力的方向與速度的方向是否在同一條直線上等等。（2）根據(jù)物體的受力情況和力與速度方向的關(guān)系，分析物體的運(yùn)動(dòng)情況，確定物體做什么性質(zhì)的曲線運(yùn)動(dòng)。（3）對(duì)一般的曲線運(yùn)動(dòng)（非平拋運(yùn)動(dòng)和圓周運(yùn)動(dòng)）運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的合成與分解進(jìn)行分析與處理。例1：在光滑水平面上有一質(zhì)量m=1.0×10-3kg，電量q=1.0×10-10C的帶正電小球，靜止在O點(diǎn)，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，在該水平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系Oxy，如圖所示。現(xiàn)突然加一沿x軸正方向、場強(qiáng)大小為E=2.0×106V/m的勻強(qiáng)電場，使小球開始運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過，所加電場突然變?yōu)檠貀軸正方向，場強(qiáng)大小仍為E=2.0×106V/m的勻強(qiáng)電場，再經(jīng)過所加電場又突然變?yōu)榱硪粋€(gè)勻強(qiáng)電場。使小球在此電場作用下經(jīng)速度變?yōu)?。求速度為0時(shí)小球的位置。OAxyBC解析：由牛頓定律可知小球在水平面上的加速度a=qE/m2。當(dāng)場強(qiáng)沿x軸正方向時(shí)，經(jīng)小球的速度大小為vx=at（方向沿x軸方向）小球沿x軸方向移動(dòng)的距離為:沿y方向的距離:沿x方向的距離:△x2=vxt第2s未在y方向分速度為:vy=at在第2s內(nèi)，電場方向y軸正方向，x方向不再受力，所以第2s內(nèi)小球在x方向做勻速運(yùn)動(dòng)，在y方向做初速度為0的勻加速直線運(yùn)動(dòng)（類似平拋運(yùn)動(dòng)）由上可知，此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)方向與x軸成45°角，要使小球速度變?yōu)?，則在第3s內(nèi)所加電場方向必須與此方向相反，即指向第三象限，與x軸成225°角。在第3s內(nèi)，設(shè)在電場作用下小球加速度的x分量和y方向分量分別為ax、ay，則

ax=vx/t2

ay=vy/t2

在第3s未，小球到達(dá)的位置坐標(biāo)為：例2：如圖所示，在距水平地面高為處，水平固定一根長直光滑桿，在桿上P點(diǎn)固定一定滑輪，滑輪可繞水平軸無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，在P點(diǎn)的右邊，桿上套有一質(zhì)量m=2kg小球A。半徑R＝的光滑半圓形細(xì)軌道，豎直地固定在地面上，其圓心O在P點(diǎn)的正下方，在軌道上套有一質(zhì)量也為m=2kg的小球B。用一條不可伸長的柔軟細(xì)繩，通過定滑輪將兩小球連接起來。桿和半圓形軌道在同一豎直面內(nèi)，兩小球均可看作質(zhì)點(diǎn)，且不計(jì)滑輪大小的影響，g取10m/s2。現(xiàn)給小球A一個(gè)水平向右的恒力F＝55N。求：（1）把小球B從地面拉到P點(diǎn)正下方C點(diǎn)過程中，力F做的功；

BACOPF解析：（1）小球B運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)正下方C的過程中的位移為：BACOPF由于繩子不可伸長，所以小球B運(yùn)動(dòng)的位移大小等于小球B運(yùn)動(dòng)的位移大小，即xA=xB得：WF=FxA=22J（2）小球B運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)的速度大??；（3）小球B被拉到離地多高時(shí)與小球A速度大小相等。BACOPF解析：（2）由動(dòng)能定理得：

（3）涉及到繩子兩端速度分解問題。當(dāng)B球的速度沿繩子方向時(shí)，兩者的速度相等，即：當(dāng)繩與圓環(huán)相切時(shí)兩球的速度相等。2.平拋、類平拋運(yùn)動(dòng)問題當(dāng)物體初速度水平且僅受重力作用時(shí)的運(yùn)動(dòng)，被稱為平拋運(yùn)動(dòng)。其軌跡為拋物線，性質(zhì)為勻變速曲線運(yùn)動(dòng)。平拋運(yùn)動(dòng)可分解為水平方向的勻速運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng)這兩個(gè)分運(yùn)動(dòng)。廣義地說，當(dāng)物體所受的合外力恒定且與初速度垂直時(shí)，做類平拋運(yùn)動(dòng)。例3：一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀．此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)面．如圖所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOy.已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為y＝x2/2h；探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m.人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g.（1）求此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能；解析：（1）設(shè)該隊(duì)員在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，在坡面上落點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，縱坐標(biāo)為y.由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和已知條件得x＝v0t①

②根據(jù)題意有③根據(jù)機(jī)械能守恒，此人落到坡面時(shí)的動(dòng)能為④聯(lián)立①②③④式得⑤例3：一探險(xiǎn)隊(duì)員在探險(xiǎn)時(shí)遇到一山溝，山溝的一側(cè)豎直，另一側(cè)的坡面呈拋物線形狀．此隊(duì)員從山溝的豎直一側(cè)，以速度v0沿水平方向跳向另一側(cè)面．如圖所示，以溝底的O點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系xOy.已知，山溝豎直一側(cè)的高度為2h，坡面的拋物線方程為y＝x2；探險(xiǎn)隊(duì)員的質(zhì)量為m.人視為質(zhì)點(diǎn)，忽略空氣阻力，重力加速度為g.（2）此人水平跳出的速度為多大時(shí)，他落在坡面時(shí)的動(dòng)能最小？動(dòng)能的最小值為多少？解析：（2）⑤式可以改寫為⑥v2取極小值的條件為⑥式中的平方項(xiàng)等于0，由此得此時(shí)v2＝3gh，則最小動(dòng)能為例4：拋體運(yùn)動(dòng)在各類體育運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目中很常見，如乒乓球運(yùn)動(dòng)?，F(xiàn)討論乒乓球發(fā)球問題，如圖所示，設(shè)球臺(tái)長2L、網(wǎng)高h(yuǎn)，乒乓球反彈前后水平分速度不變，豎直分速度大小不變、方向相反，且不考慮乒乓球的旋轉(zhuǎn)和空氣阻力。（設(shè)重力加速度為g）（1）若球在球臺(tái)邊緣O點(diǎn)正上方高度為h1處以速度v1水平發(fā)出，落在球臺(tái)的P1點(diǎn)(如圖實(shí)線所示)，求P1點(diǎn)距O點(diǎn)的距離x1。類型1：平拋運(yùn)動(dòng)問題解析：如圖所示。x1=v1t1解得：設(shè)發(fā)球時(shí)飛行時(shí)間為t1，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)：（2）若球在O點(diǎn)正上方以速度v2水平發(fā)出，恰好在最高點(diǎn)時(shí)越過球網(wǎng)落在球臺(tái)的P2（如圖虛線所示），求v2的大小。解析：設(shè)發(fā)球高度為h2，飛行時(shí)間為t2，同理根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)：x2＝v2t2且h2＝h2x2＝L可得：（3）若球在O正上方水平發(fā)出后，球經(jīng)反彈恰好越過球網(wǎng)且剛好落在對(duì)方球臺(tái)邊緣P3，求發(fā)球點(diǎn)距O點(diǎn)的高度h3。解析：如圖所示，發(fā)球高度為h3，飛行時(shí)間為t3，同理根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)得：x3＝v3t3且3x3＝2L設(shè)球從恰好越過球網(wǎng)到最高點(diǎn)的時(shí)間為t，水平距離為s，有：s＝v3t由幾何關(guān)系知，x3＋s＝L解得：例5：如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內(nèi)且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)=50cm。導(dǎo)軌處在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T的勻強(qiáng)磁場中。一根電阻為r的金屬棒ab可緊貼導(dǎo)軌左右運(yùn)動(dòng)。兩塊平行的、相距d=10cm、長度L=20cm的水平放置的金屬板A和C分別與兩平行導(dǎo)軌相連接，圖中跨接在兩導(dǎo)軌間的電阻RΩ。其余電阻忽略不計(jì)。已知當(dāng)金屬棒ab不動(dòng)時(shí)，質(zhì)量m=10g、帶電量q=－10－3C的小球以某一速度v0沿金屬板A和C的中線射入板間，恰能射出金屬板（g取10m/s2）。求：（1）小球的速度v0；類型3：類平拋運(yùn)動(dòng)的綜合問題解析：（1）根據(jù)題意，小球在金屬板間做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律可得：所以：例5：如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內(nèi)且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)=50cm。導(dǎo)軌處在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T的勻強(qiáng)磁場中。一根電阻為r的金屬棒ab可緊貼導(dǎo)軌左右運(yùn)動(dòng)。兩塊平行的、相距d=10cm、長度L=20cm的水平放置的金屬板A和C分別與兩平行導(dǎo)軌相連接，圖中跨接在兩導(dǎo)軌間的電阻RΩ。其余電阻忽略不計(jì)。已知當(dāng)金屬棒ab不動(dòng)時(shí)，質(zhì)量m=10g、帶電量q=－10－3C的小球以某一速度v0沿金屬板A和C的中線射入板間，恰能射出金屬板（g取10m/s2）。求：（2）若使小球在金屬板間不偏轉(zhuǎn)，則金屬棒ab的速度大小和方向；解析：（2）由于小球帶負(fù)電，A板必須帶正電，金屬棒ab的a點(diǎn)應(yīng)為感應(yīng)電動(dòng)勢的正極，根據(jù)右手定則可知，金屬棒ab應(yīng)向右運(yùn)動(dòng)。設(shè)金屬棒ab的速度為v1，則：E=BLv1金屬板A、C間的電壓：

金屬板A、C間的電場：小球受力平衡：qE電=mg

聯(lián)立以上各式解得：

例5：如圖所示，MN和PQ是兩根放在豎直面內(nèi)且足夠長的平行金屬導(dǎo)軌，相距l(xiāng)=50cm。導(dǎo)軌處在垂直紙面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度B=5T的勻強(qiáng)磁場中。一根電阻為r的金屬棒ab可緊貼導(dǎo)軌左右運(yùn)動(dòng)。兩塊平行的、相距d=10cm、長度L=20cm的水平放置的金屬板A和C分別與兩平行導(dǎo)軌相連接，圖中跨接在兩導(dǎo)軌間的電阻RΩ。其余電阻忽略不計(jì)。已知當(dāng)金屬棒ab不動(dòng)時(shí)，質(zhì)量m=10g、帶電量q=－10－3C的小球以某一速度v0沿金屬板A和C的中線射入板間，恰能射出金屬板（g取10m/s2）。求：（3）若要使小球能從金屬板間射出，則金屬棒ab勻速運(yùn)動(dòng)的速度應(yīng)滿足什么條件？解析：（3）當(dāng)金屬棒ab的速度增大時(shí)，小球所受電場力大于小球的重力，小球?qū)⑾蛏献鲱惼綊佭\(yùn)動(dòng)，設(shè)金屬棒ab的速度達(dá)到v2，小球恰沿A金屬板右邊緣飛出。有：qE場-mg=ma。根據(jù)對(duì)稱性，a=g。所以：E′場=2E場。則有：v2=2v1=10m/s所以若要使小球能射出金屬板間，則金屬棒ab的速度大小：0≤v≤10m/s例6：從陰極K發(fā)出的電子束經(jīng)電勢差U0=4500V的陽極P加速后沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長L1=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板右端邊緣L2=75cm處放置一個(gè)周長為20cm的帶有記錄紙的足夠高的圓筒，如圖，整個(gè)裝置放在真空中，電子從陰極K發(fā)出的初速不計(jì)，所受重力不計(jì)，并取電子質(zhì)量m=0.90×10－30kg。求：（1）電子經(jīng)U0加速后的速率。KPdU0ABHL1L2U2O解析：（1）電子經(jīng)U0加速后進(jìn)入偏轉(zhuǎn)電場，速度v由動(dòng)能定理：得：KPdU0ABHL1L2U2O例6：從陰極K發(fā)出的電子束經(jīng)電勢差U0=4500V的陽極P加速后沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長L1=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板右端邊緣L2=75cm處放置一個(gè)周長為20cm的帶有記錄紙的足夠高的圓筒，如圖，整個(gè)裝置放在真空中，電子從陰極K發(fā)出的初速不計(jì)，所受重力不計(jì)，并取電子質(zhì)量m=0.90×10－30kg。求：（2）現(xiàn)在兩金屬板上加上U2=900sin2πt（V）的交流電壓，并使圓筒按圖示方向繞中心軸轉(zhuǎn)動(dòng)，電子達(dá)到圓筒上離中心點(diǎn)O的最大距離。解析：（2）兩金屬板上所加交流電壓U2變化的周期：電子在金屬板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間：

所以電子在金屬板間運(yùn)動(dòng)時(shí)可認(rèn)為交流電壓不變。根據(jù)帶電粒子在電場中偏轉(zhuǎn)規(guī)律可知，電子在金屬板間豎直方向偏轉(zhuǎn)距離為：最大偏轉(zhuǎn)距離為：

而解得：yH=16y

即打到記錄紙上豎直方向的隨交流電壓的變化而變化，最大值為。KPdU0ABHL1L2U2Ox/cmy/cm0例6：從陰極K發(fā)出的電子束經(jīng)電勢差U0=4500V的陽極P加速后沿平行于板面的方向從中央射入兩塊長L1=10cm、間距d=4cm的平行金屬板A、B之間，在離金屬板右端邊緣L2=75cm處放置一個(gè)周長為20cm的帶有記錄紙的足夠高的圓筒，如圖，整個(gè)裝置放在真空中，電子從陰極K發(fā)出的初速不計(jì)，所受重力不計(jì)，并取電子質(zhì)量m=0.90×10－30kg。求：（3）當(dāng)圓筒以ω=πrad/s，在圖中畫出記錄到的圖形（以豎直向上為y軸正向，并以簡要文字說明）解析：（3）由于圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)周期為：又：T1=2T所以，圓筒轉(zhuǎn)動(dòng)周，交流電壓變化1次，所以在圓筒上記錄的是2個(gè)完整的正弦形狀：x/cmy/c圓周運(yùn)動(dòng)問題注意：①仔細(xì)分析物體作圓周運(yùn)動(dòng)是受到的外力。物體受到的指向圓心方向的合外力即為向心力。向心力可以是重力、彈力、摩擦力等各種力，也可以是各力的合力或某力的分力，解題時(shí)要明確各種情況下向心力的來源。②明確物體做圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)平面，建立坐標(biāo)時(shí)，一條坐標(biāo)軸一定要指向圓心③圓周運(yùn)動(dòng)中的動(dòng)力學(xué)方程即將牛頓第二定律應(yīng)用于圓周運(yùn)動(dòng)，由于向心加速度表示不同，有以下各種情況，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)已知條件進(jìn)行選擇。（1）重力、彈力和摩擦力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)問題例7：如圖所示，一個(gè)小球沿豎直放置的光滑圓環(huán)形軌道做圓周運(yùn)動(dòng)，圓環(huán)的半徑為R。關(guān)于小球的運(yùn)動(dòng)情況，下列說法中正確的是（）A.小球的線速度的方向時(shí)刻在變化，但總在圓周切線方向上B.小球的加速度的方向時(shí)刻在變化，但總是指向圓心的C.小球線速度的大小總大于或等于D.小球通過軌道最低點(diǎn)的加速度的大小一定大于g

R答案：ACD例8：在我國南方農(nóng)村地區(qū)有一種簡易水輪機(jī)，如圖所示，從懸崖上流出的水可看做連續(xù)做平拋運(yùn)動(dòng)的物體，水流軌道與下邊放置的輪子邊緣相切，水沖擊輪子邊緣上安裝的擋水板，可使輪子連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)，輸出動(dòng)力．當(dāng)該系統(tǒng)工作穩(wěn)定時(shí)，可近似認(rèn)為水的末速度與輪子邊緣的線速度相同．設(shè)水的流出點(diǎn)比輪軸高h(yuǎn)＝5.6m，輪子半徑R＝1m．調(diào)整輪軸O的位置，使水流與輪邊緣切點(diǎn)對(duì)應(yīng)的半徑與水平線成θ＝37°角．問：（1）水流的初速度v0大小為多少？（2）若不計(jì)擋水板的大小，則輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少？（1）水流的初速度v0大小為多少？解析：（1）水流做平拋運(yùn)動(dòng)，解得：所以vy＝gt＝10m/s，由圖可知：v0＝vytan37°＝7.5m/s.（2）若不計(jì)擋水板的大小，則輪子轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為多少？解析：（2）由圖可知：根據(jù)

可得ω＝12.5rad/s.例9：“空中飛椅”的示意圖如圖所示，在半徑為r=4m的水平轉(zhuǎn)盤的邊緣固定著N=10條長為L=10m的鋼繩，綱繩的另一端連接著座椅（圖中只畫出2個(gè)），轉(zhuǎn)盤在電動(dòng)機(jī)帶動(dòng)下可繞穿過其中心的豎直軸OO′轉(zhuǎn)動(dòng)。設(shè)在每個(gè)座椅內(nèi)坐著質(zhì)量相同的人，可將人和座椅看成是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，人和座椅的質(zhì)量為m=60kg，已知重力加速度為g=10m/s2，不計(jì)鋼繩的重力及空氣的阻力。當(dāng)轉(zhuǎn)盤以某一角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，座椅從靜止開始隨著轉(zhuǎn)盤的轉(zhuǎn)動(dòng)而升高，經(jīng)過一段時(shí)間后達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)鋼繩與轉(zhuǎn)軸在同一豎直平面內(nèi)，與豎直方向的夾角為θ=37。求（1）求穩(wěn)定時(shí)鋼繩對(duì)座椅的拉力F的大小及轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度ω；Lr解：（1）對(duì)人和座椅，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，繩的拉力與重力的合力指向圓心。豎直方向平衡：所以：F=mg/cos

=750N水平方向由牛頓第二定律可得：mgtan=m2R由幾何關(guān)系得：R=r+lsinLrmgFF向θ代入數(shù)據(jù)得：（2）每個(gè)座椅從靜止開始到隨轉(zhuǎn)盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，繩子的拉力對(duì)座椅做的功；解析：（2）在轉(zhuǎn)盤從靜止啟動(dòng)到轉(zhuǎn)速穩(wěn)定這一過程中，由能量守恒定律可得：又：h=l（1-cos）

v=R解得W=3450JLr（3）如果帶動(dòng)轉(zhuǎn)盤的電動(dòng)機(jī)輸出機(jī)械功率的效率為80%，轉(zhuǎn)盤轉(zhuǎn)動(dòng)因因自身轉(zhuǎn)動(dòng)及克服各種摩擦損失的機(jī)械功率為20%，求從座椅開始運(yùn)動(dòng)到隨轉(zhuǎn)盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，電動(dòng)機(jī)消耗的電能。解析：（3）設(shè)在座椅從靜止開始到隨轉(zhuǎn)盤穩(wěn)定轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，電動(dòng)機(jī)消耗的電能為ELr解得：E=5.4×104J例10：如下圖左所示是游樂場中過山車的實(shí)物圖片，右圖是過山車的模型圖。在模型圖中半徑分別為R1＝和R2＝的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為α＝37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接?，F(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)。已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝1/24，g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝。問：（1）若小車恰好能通過第一個(gè)圓形軌道的最高點(diǎn)A處，則其在P點(diǎn)的初速度應(yīng)為多大？ZPQABαO1O2ααR1R2解析：（1）小車經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)的臨界速度為v1ZPQABαO1O2ααR1R2h1h2設(shè)Q點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為h1，PQ間距離為L1，

P到A對(duì)小車，由動(dòng)能定理得:解得例10：如下圖左所示是游樂場中過山車的實(shí)物圖片，右圖是過山車的模型圖。在模型圖中半徑分別為R1＝和R2＝的兩個(gè)光滑圓形軌道，固定在傾角為α＝37°斜軌道面上的Q、Z兩點(diǎn)，且兩圓形軌道的最高點(diǎn)A、B均與P點(diǎn)平齊，圓形軌道與斜軌道之間圓滑連接。現(xiàn)使小車（視作質(zhì)點(diǎn)）從P點(diǎn)以一定的初速度沿斜面向下運(yùn)動(dòng)。已知斜軌道面與小車間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ＝1/24，g＝10m/s2，sin37°＝，cos37°＝。問：（2）若小車在P點(diǎn)的初速度為10m/s，則小車能否安全通過兩個(gè)圓形軌道？ZPQABαO1O2ααR1R2解析：⑵Z點(diǎn)與P點(diǎn)高度差為h2，

PZ間距離為L2ZPQABαO1O2ααR1R2h1h2小車能安全通過兩個(gè)圓形軌道的臨界條件是在B點(diǎn)速度為v2且在B點(diǎn)時(shí)有：

設(shè)P點(diǎn)的初速度為：v02，P點(diǎn)到B點(diǎn)的過程，由動(dòng)能定理得：解得：可知

，能安全通過。

（2）萬有引力與航天中的圓周運(yùn)動(dòng)問題例11：我國未來將建立月球基地，并在繞月軌道上建造空間站．如圖所示，關(guān)閉動(dòng)力的航天飛船在月球引力作用下向月球靠近，并將沿橢圓軌道與空間站在B處對(duì)接，已知空間站繞月做圓周運(yùn)動(dòng)軌道半徑為r，周期為T，引力常量為G，下列說法中正確的是（）A.圖中航天飛機(jī)正減速飛向B處B.航天飛船在B處由橢圓軌道進(jìn)入空間站軌道必須點(diǎn)火減速C.根據(jù)題中條件可以算出月球質(zhì)量D.根據(jù)題中條件可以算出空間站受到月球引力的大小航天飛機(jī)空間站月球B答案：BC例12：在發(fā)射宇宙飛船時(shí)，控制中心的大屏幕上出現(xiàn)記錄了飛船在地球表面垂直投影的位置變化。圖中表示在一段時(shí)間內(nèi)飛船繞地球圓周飛行四圈，依次飛經(jīng)中國和太平洋地區(qū)的四次軌跡①、②、③、④，圖中分別標(biāo)出了各地點(diǎn)的經(jīng)緯度（如：在軌跡①通過赤道時(shí)的經(jīng)度為西經(jīng)157.5°，繞行一圈后軌跡②再次經(jīng)過赤道時(shí)經(jīng)度為180°……），若地球半徑為R=6400Km，地球表面處的重力加速度g=10m/s2，從圖中的信息計(jì)算宇宙飛船的（1）運(yùn)行的周期（2）飛船離地面的高度（3）運(yùn)行的線速度大小解析：①飛船每運(yùn)行一周，地球自轉(zhuǎn)角度為180°－157.5°=22.5°則神舟飛船運(yùn)行的周期T為

②由萬有引力提供向心力，即：在地球表面處：可求得飛船的軌道半徑：

或軌道高度：

③v=2πr/T

=7.8×103m/s

例13：地球質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)角速度為ω。萬有引力恒量為G，如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢能為0，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢能可表示為。國際空間站是迄今世界上最大的航天工程，它是在地球大氣層上空繞地球飛行的一個(gè)巨大人造天體，可供宇航員在其上居住和科學(xué)實(shí)驗(yàn)。設(shè)空間站離地面高度為h，如果在該空間站上直接發(fā)射一顆質(zhì)量為m的小衛(wèi)星，使其能到達(dá)地球同步衛(wèi)星軌道并能在軌道上正常運(yùn)行，由該衛(wèi)星在離開空間站時(shí)必須具有多大的動(dòng)能？解析：由

得衛(wèi)星在空間站上動(dòng)能為：衛(wèi)星在空間站上的引力勢能為：機(jī)械能為：同步衛(wèi)星在軌道上正常運(yùn)行時(shí)有：故其軌道半徑：

由上式可得同步衛(wèi)星的機(jī)械能：衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)過程中機(jī)械能守恒，故離開航天飛機(jī)的衛(wèi)星的機(jī)械能應(yīng)為E2設(shè)離開航天飛機(jī)時(shí)衛(wèi)星的動(dòng)能為Ekx：則:注意：①仔細(xì)分析物體作圓周運(yùn)動(dòng)是受到的外力。物體受到的指向圓心方向的合外力即為向心力。在多種力作用下，會(huì)可能有些力恰好平衡相抵消，如重力與電場力（大小相等，方向相反）②明確物體做圓周運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)平面，粒子在勻強(qiáng)磁場中只受洛倫茲力運(yùn)動(dòng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)平面與磁場垂直。③帶電體（帶電粒子）在重力場、勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場中運(yùn)動(dòng)，是圓周運(yùn)動(dòng)的綜合性問題，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)。一定要掌握運(yùn)動(dòng)分析和運(yùn)動(dòng)規(guī)律，有的必須抓住臨界點(diǎn)（條件）或特殊點(diǎn)（條件）才能正確求解。（3）重力、彈力和摩擦力及電場力、洛倫茲力作用下的圓周運(yùn)動(dòng)問題例14：回旋加速器是加速帶電粒子的裝置，其核心部分是分別與高頻電源的兩極相連接的兩個(gè)D形金屬盒，兩盒間的狹縫中有周期性變化的電場，使粒子在通過狹縫時(shí)都能得到加速，兩D形金屬盒處于垂直于盒底的勻強(qiáng)磁場中，如圖所示，則下列說法中正確的是（）A．只增大狹縫間的加速電壓，可增大帶電粒子射出時(shí)的動(dòng)能B．只增大狹縫間的加速電壓，可增大帶電粒子在回旋加速器中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間C．只增大磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度，可增大帶電粒子射出時(shí)的動(dòng)能D．用同一回旋加速器可以同時(shí)加速質(zhì)子（）和氚核（）答案：C類型1：帶電粒子在磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)例15：如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中有一個(gè)垂直紙面向里的圓形勻強(qiáng)磁場，其邊界過原點(diǎn)O和y軸上的點(diǎn)a（0，L）。一質(zhì)量為m、電量為e的電子從a點(diǎn)以初速度v0平行于x軸正方向射入磁場，從b點(diǎn)射出，此時(shí)速度方向與x軸正方向的夾角為60°。些列說法正確的是（）A.電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為B.電子在磁場中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為C.磁場區(qū)域的圓心坐標(biāo)為D.電子在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)的圓心坐標(biāo)為（0，-2L）Obav0xy答案：B例16：電子質(zhì)量為m、電量為e，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，大小均為v0，如圖所示,現(xiàn)在某一區(qū)域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏MN與y軸平行，求：（1）若射入時(shí)速度方向與x軸正向的夾角為θ，則電子離x軸的最遠(yuǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)（xP，yP）。OxyMN解析：電子在磁場中運(yùn)動(dòng)，有：所以：由圖可知，電子離x軸的最遠(yuǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)（xP，yP）OxyMNθP離x軸最遠(yuǎn)點(diǎn)P的坐標(biāo)：（，）例16：電子質(zhì)量為m、電量為e，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，大小均為v0，如圖所示,現(xiàn)在某一區(qū)域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏MN與y軸平行，求：（2）熒光屏上光斑的長度。OxyMN解析：當(dāng)θ=0°時(shí)：當(dāng)θ=90°時(shí)：熒光屏上光斑的長度為：Δy例16：電子質(zhì)量為m、電量為e，從坐標(biāo)原點(diǎn)O處沿xOy平面射入第一象限，射入時(shí)速度方向不同，大小均為v0，如圖所示,現(xiàn)在某一區(qū)域加方向向外且垂直于xOy平面的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，若這些電子穿過磁場后都能垂直射到熒光屏MN上，熒光屏MN與y軸平行，求：（3）所加磁場范圍的最小面積，并在圖中較準(zhǔn)確地畫出這個(gè)區(qū)域的示意圖。OxyMN解析：所加磁場區(qū)域如圖所示。例17：如圖所示，在水平方向的勻強(qiáng)電場中的O點(diǎn)，用長為l的輕、軟絕緣細(xì)線懸掛一質(zhì)量為m的帶電小球，當(dāng)小球位于B點(diǎn)時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)細(xì)線與豎直方向（即OA方向）成θ角?，F(xiàn)將小球拉至細(xì)線與豎直方向成2θ角的C點(diǎn)，由靜止將小球釋放。若重力加速度為g，則對(duì)于此后小球的受力和運(yùn)動(dòng)情況，下列判斷中正確的是（）A．小球所受電場力的大小為mgtanθB．小球從C點(diǎn)到B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間可能等于πC．小球可能能到達(dá)A點(diǎn)，且到A點(diǎn)時(shí)的速度不為零D．小球運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)時(shí)所受繩的拉力可能最大ABCEOθθ答案：A類型2：帶電體在重力場、電場和磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)例18：如圖所示，虛線EF的下方存在著正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場，電場強(qiáng)度為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B.一帶電微粒自離EF為h的高處由靜止下落，從B點(diǎn)進(jìn)入場區(qū)，做了一段勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從D點(diǎn)射出。下列說法正確的是（）A．微粒受到的電場力的方向一定豎直向上B．微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為C．從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中微粒的電勢能先增大后減小D．從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)的過程中微粒的電勢能和重力勢能之和在最低點(diǎn)C最小hBCDEF答案：ABC例19：如圖所示，在地面附近有一范圍足夠大的互相正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向水平并垂直紙面向外。一質(zhì)量為m、帶電量為－q的帶電微粒在此區(qū)域恰好作速度大小為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（重力加速度為g）（1）求此區(qū)域內(nèi)電場強(qiáng)度的大小和方向。P45°解析：（1）帶電微粒在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電場力與重力應(yīng)平衡，因此：mg=Eq解得：方向：豎直向下例19：如圖所示，在地面附近有一范圍足夠大的互相正交的勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場。磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，方向水平并垂直紙面向外。一質(zhì)量為m、帶電量為－q的帶電微粒在此區(qū)域恰好作速度大小為v的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。（重力加速度為g）（2）若某時(shí)刻微粒運(yùn)動(dòng)到場中距地面高度為H的P點(diǎn)，速度與水平方向成45°，如圖所示。則該微粒至少須經(jīng)多長時(shí)間運(yùn)動(dòng)到距地面最高點(diǎn)？最高點(diǎn)距地面多高？P45°解析：（2）粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，軌道半徑為R，