第3講　大題專攻-圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題 2023高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)課件

第3講大題專攻

——圓錐曲線中的最值、

范圍、證明問題CONTENTS目錄01備考領(lǐng)航·重難排查02考點(diǎn)整合·研透悟通03專題檢測01一、考情分析高頻考點(diǎn)高考預(yù)測最值問題在解答題中會繼續(xù)以橢圓、拋物線、雙曲線為幾何載體考查最值、范圍及證明問題．主要考查邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)范圍問題證明問題二、真題感悟1．(2021·全國乙卷)(最值問題)已知拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4.(1)求p；(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．解：由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，則Δ＝16k2＋16b＞0

(※)，x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，即P(2k，－b)．因為點(diǎn)P在圓M上，所以4k2＋(4－b)2＝1，

①(1)求橢圓C的方程；1．圓錐曲線中最值(范圍)問題的思維路徑(1)幾何法：若題目中的待求量有明顯的幾何意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識確定極端位置后數(shù)形結(jié)合求解．(2)代數(shù)法：①構(gòu)建函數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值．②構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解．常從以下四個方面考慮：(ⅰ)利用根的判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(ⅱ)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，其核心是在兩個參數(shù)間建立等量關(guān)系；(ⅲ)利用已知的或隱含的不等關(guān)系建立關(guān)于參數(shù)的不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(ⅳ)利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍．2．圓錐曲線中的證明問題常見的兩個方面(1)位置關(guān)系方面：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點(diǎn)等；(2)數(shù)量關(guān)系方面：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明，但有時也會用反證法證明．02圓錐曲線中的最值問題【例1】已知拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，與C的準(zhǔn)線交于點(diǎn)M.設(shè)直線OA，OB的斜率分別為k1，k2，且k1·k2＝－2.(1)證明：直線l過定點(diǎn)；解

設(shè)直線l與C的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)證明：設(shè)直線l的方程為x＝my＋n，代入拋物線方程化簡得y2－2my－2n＝0，∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－2n.∴n＝1，∴直線l的方程為x＝my＋1，令y＝0，則x＝1，∴直線l過定點(diǎn)(1，0)．解

由(1)知，直線l的方程為x＝my＋1.|方法總結(jié)|最值問題的2種基本解法幾何法根據(jù)已知的幾何量之間的相互關(guān)系、平面幾何和解析幾何知識加以解決(如拋物線上的點(diǎn)到某個定點(diǎn)和焦點(diǎn)的距離之和、光線反射問題等)代數(shù)法建立求解目標(biāo)關(guān)于某個(或兩個)變量的函數(shù)，通過求解函數(shù)的最值解決(普通方法、基本不等式方法、導(dǎo)數(shù)方法等)(1)求橢圓E的方程；(2)設(shè)R為橢圓E的右頂點(diǎn)，M為橢圓E第一象限部分上一點(diǎn)，作MN垂直于y軸，垂足為N，求梯形ORMN面積的最大值．令u＝4t3－t4，則u′＝12t2－4t3＝4t2(3－t)，當(dāng)t∈(2，3)時，u′＞0，u＝4t3－t4單調(diào)遞增，當(dāng)t∈(3，4)時，u′＜0，u＝4t3－t4單調(diào)遞減，【例2】已知拋物線E：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線E上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PF|＝2.(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線中的范圍問題(2)若A，B為拋物線E上的兩個動點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，且AP⊥AB，求點(diǎn)B的橫坐標(biāo)的取值范圍．|方法總結(jié)|解決圓錐曲線范圍問題應(yīng)考慮的5大方面(1)利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；(5)利用求函數(shù)的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍．

(1)求橢圓E的方程；解：因為△ABP是等腰直角三角形，所以a＝2，B(2，0)．(2)設(shè)過點(diǎn)P的動直線l與橢圓E相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外時，求直線l斜率的取值范圍．解：依題意，直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y＝kx－2.因為直線l與橢圓E有兩個交點(diǎn)，所以方程(*)有兩個不相等的實數(shù)根．設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，因為坐標(biāo)原點(diǎn)O位于以MN為直徑的圓外，圓錐曲線中的證明問題注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分．(1)求C的方程；解由題意得c＝2，又c2＝a2＋b2，①M(fèi)在AB上；②PQ∥AB；③|MA|＝|MB|.解由題意知直線PQ的斜率存在且不為0，設(shè)直線PQ的方程為y＝kx＋b(k≠0)，將直線PQ的方程代入C的方程，整理得(3－k2)x2－2kbx－b2－3＝0，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(xM，yM)，又y1－y2＝(kx1＋b)－(kx2＋b)＝k(x1－x2)，又y1＋y2＝(kx1＋b)＋(kx2＋b)＝k(x1＋x2)＋2b，若選擇①②：因為PQ∥AB，所以直線AB的方程為y＝k(x－2)，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，故M為AB的中點(diǎn)，即|MA|＝|MB|.當(dāng)直線AB的斜率存在時，易知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為y＝m(x－2)(m≠0)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，解得k＝m，因此PQ∥AB.若選擇②③：因為PQ∥AB，所以直線AB的方程為y＝k(x－2)，設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，即點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn)，故點(diǎn)M在直線AB上．|方法總結(jié)|圓錐曲線中的證明問題(1)圓錐曲線中的證明問題，主要有兩類：一是證明點(diǎn)、直線、曲線等幾何元素中的位置關(guān)系，如：某點(diǎn)在某直線上、某直線經(jīng)過某個點(diǎn)、某兩條直線平行或垂直等；二是證明直線與圓錐曲線中的一些數(shù)量關(guān)系(相等或不等)；(2)解決證明問題時，主要根據(jù)直線、圓錐曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系等，通過相關(guān)的性質(zhì)應(yīng)用、代數(shù)式的恒等變形以及必要的數(shù)值計算等進(jìn)行證明．

(1)求動點(diǎn)P的軌跡方程；方程①的判別式為Δ＝4(2－m2)，由①得x1＋x2＝－2m，x1x2＝2m2－2.所以|MA|·|MB|＝|MC|·|MD|.所以A，B，C，D四點(diǎn)共圓．專題檢測031．(2021·全國乙卷)已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2.(1)求C的方程；解：由拋物線的定義可知，焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p，故p＝2，所以C的方程為y2＝4x.解：由(1)知F(1，0)，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)M(4，0)的直線l交橢圓于A，B兩個不同的點(diǎn)，且λ＝|MA|·|MB|，求λ的取值范圍．解：當(dāng)直線l的斜率為0時，直線l：y＝0，即x軸，λ＝|MA|·|MB|＝12.當(dāng)直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l：x＝my＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由Δ＝64m2－48(m2＋4)>0，得m2>12，(1)求C的離心率；解：設(shè)雙曲線的離心率為e，焦距為2c，當(dāng)BF⊥AF時，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為c，因為|AF|＝|BF|，(2)若B在第一象限，證明：∠BFA＝2∠BAF.解：證明：由(1)知2a＝c，b2＝3a2，如圖，設(shè)B(x，y)(x>0，y>0)，又因為0≤2∠BAF<π，0≤∠BFA<π，所以∠BFA＝2∠BAF.(1)求橢圓C的方程；解：由題意可知F(c，0