正項級數(shù)斂散性判別法的討論 論文

正項級數(shù)收斂收斂判別法摘要：級數(shù)是高等數(shù)學教學中的一個重要內(nèi)容，而正項級數(shù)又是級數(shù)的重要組成部分，判別正項級數(shù)斂散性的方法很多，本文主要討論了正項級數(shù)的判別法一些特性，及判別正項級數(shù)斂散性的一般步驟.并闡述一些正項級數(shù)判別的新方法.關(guān)鍵詞：正項級數(shù)、收斂、判別法Abstract:HigherMathematicsseriesisanimportantpartofteaching,TheseriesofpositivetermsisanimportantseriesPart,PositiveidentificationofConvergenceandDivergenceofmanyways,Thispaperdiscussesthepositiveseriesofdistinguishinganumberofsub-features,anddeterminethepositiveseriesforconvergenceofthegeneralsteps.andpresentsanumberofpositiveseriesofnewmethodsofidentification.Keywords:Positiveseries;Convergence;Discriminance;引言數(shù)項級數(shù)是數(shù)的加法從有限到無限的自然推廣.但在作加法運算時，許多有限次加法的性質(zhì)在計算無限次加法時發(fā)生了改變.首先，有限次相加的結(jié)果總是客觀存在的，而無限次相加則可能不存在有意義的結(jié)果.也就是說，一個級數(shù)可能是收斂或發(fā)散的.因而，判別級數(shù)斂散性的問題往往被看作級數(shù)的首要問題.教材和很多文獻已經(jīng)給出了關(guān)于級數(shù)斂散性的判別方法，但實際應用中往往會遇到這樣的問題：對于一個給定級數(shù)，應采用哪種判別法才能快速而又簡潔的判定它的斂散性呢？即應按怎樣的步驟去思考，在短時間內(nèi)很難把握.本文就這一問題做了一些總結(jié)和討論.1正項級數(shù)的定義和收斂的充要條件1.1正項級數(shù)的定義如果級數(shù)￡u中各項均有u>0,這種級數(shù)稱為正項級數(shù).n-11.2正項級數(shù)收斂的充要條件如果級數(shù)￡u中，部分和數(shù)列{s}有界，即存在某正數(shù)M,對vn>0,有n-1{s}<M.2正項級數(shù)判別法2.1比較判別法【1】設(shè)￡u和￡v是兩個正項級數(shù)，如果存在某個正數(shù)N，對一切n>N都有u<v,那么（1） 若級數(shù)￡v收斂，則級數(shù)￡u也收斂；（2） 若級數(shù)￡u發(fā)散，則級數(shù)￡v也發(fā)散.比較判別法的極限形式：設(shè)￡u和￡v是兩個正項級數(shù).若lim匕-l，則nTsvn（1） 當0<l<+3時，￡u和￡v同時收斂或同時發(fā)散；（2） 當1-0時，若級數(shù)￡v收斂，則級數(shù)￡u也收斂；（3） 當1=+3，若級數(shù)￡v發(fā)散，則級數(shù)￡u也發(fā)散.2.2比式判別法【2】設(shè)為￡u正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)N0及常數(shù)q（0<q<1）（1） 若對一切n>N，成立不等式J<q，則級數(shù)￡u收斂;n（2） 若對一切n>N，成立不等式^n+1>1，則級數(shù)￡u發(fā)散.

比式判別法的極限形式若為￡u正項級數(shù)，則(1)當limUn+1<1時，級數(shù)￡u收斂;n—3u nn(2)當limn+1>1時，級數(shù)￡u發(fā)散.n—3u nn2.3根式判別法【2】設(shè)為￡u正項級數(shù)，且存在某正整數(shù)N0及常數(shù)1(1)若對一切n>N，成立不等式J廠<1<1，則級數(shù)￡u收斂;(2)若對一切n>N0，成立不等式打>1，則級數(shù)￡u發(fā)散;根式判別法的極限形式:設(shè)￡u是正項級數(shù)，且limn"=1，則—3n(1)當1<1(1)當1<1時，則級數(shù)￡u收斂;(2)當l>1時，則級數(shù)￡u發(fā)散.2.4積分判別法設(shè)f(X)為［1,+3)上非負遞減函數(shù)，那么正項級數(shù)￡f(n)與反常積分jwf(X)dx同時收斂或同時發(fā)散.12.5Raabe判別法【1】設(shè)￡設(shè)￡a為正項級數(shù)(a>0)，且貝"一—=1+—+o(―),(N—3)a nnn+1(1(1)當1>1時，級數(shù)￡a收斂;(2)當l<1時，級數(shù)￡a發(fā)散.2.5.1第一對數(shù)判別法【2】設(shè)￡a為正項級數(shù)（設(shè)￡a為正項級數(shù)（a.>0）ln(a且lim nXTslnn)-=1.則（1）當l>1時，級數(shù)￡a收斂;級數(shù)￡a發(fā)散.2.5.2第二對數(shù)判別法⑴設(shè)￡設(shè)￡a為正項級數(shù)（a>0），且limnln-—=lXTs an+1（1）當l>1時，級數(shù)￡a收斂；（2）當l<1時，級數(shù)￡a發(fā)散.引理1當x>0，有不等式一匚-<ln(1+x)<x:X+1證明作函數(shù)f（x）=inX.在區(qū)間［1,1+X］上應用lagrange中值定理可得—<5-)皿<],"<x+1X+1 X+1—1g也就是說，當X>0，有工<ln(1+X)<X.x+1引理2無窮級數(shù)￡上，當時p>1收斂；當時p<1發(fā)散npn=1引理3設(shè)級數(shù)￡a和￡b為正項級數(shù)（a>0,b>0），存在正整數(shù)N，當n>N，滿足不等式：J<L，則n n（1）如果￡b收斂，則￡a收斂；（2）如果￡a發(fā)散，則￡b發(fā)散.

對數(shù)第二判別法的證明⑴當，>1時，則存在『>1，使Z>?>1，由limnln=/知，對￡=Z-〃>0存n—?co 。n+1在正整數(shù)N，使得當n>N時，有a Bna-~>I—(I—p)=p， ~>ePln.a an+1 n+1由數(shù)列|(1+-)J單調(diào)遞減且趨于e知對一切正整數(shù)〃有n1(1+-)n.于是當n>N1(1+-)n.于是當n>N時有aan+l1(1+一)"na 1-—<(1+—)pa nn+1而無窮級數(shù)Z—當時〃>i收斂，故由引理3知當Z>1時，級數(shù)No收斂.np nn-l⑵當/<1時，存在正數(shù)⑵當/<1時，存在正數(shù)pp'使I<p<q1,2Im珈知，對co存在正整數(shù)N,使得當n>N時，有11<epln<epln-l< I+(p_I)=p，an+l根據(jù)％<e且lim(l+"〃=e知，存在正整數(shù)N，得當n>N時有n 2 2取N=max{n,N}，則當n>N時有a n-a n-<epInn<eqInn<an+11(1+_)nnin 1=(1+—)。n而調(diào)和級數(shù)E-是發(fā)散的，故由引理3知當Z<1時，級數(shù)2a發(fā)散.2.5.3第二對數(shù)判別法和Raabe判別法的等價性定理既然第二對數(shù)判別法和Raabe判別法都是以p一級數(shù)作為比較標準得出的，那么它們之間有什么內(nèi)在的必然的聯(lián)系呢?下面我們將證明第二對數(shù)判別法和Raabe判別法是等價的.我們有：定理數(shù)列a是正數(shù)列，則limnln―=l充要條件是n nT8an+1an~aan~an+1=1+—+o(—),(n—3).nn證明(充分性)若Ml=1+nnl1+—+o(—)nn對上式取極限，可得limnlnJnnl1+—+o(—)nn對上式取極限，可得limnlnJ=l.n—3 an+1n+1l1一+o(一)l1一+o(一)衛(wèi)——」<Inl11+—+o㈠

nnal=lnan+1l11+—+o(_)

nnl1<—+o(—),(n—3)nn(必要性)若limn(必要性)若limnln=l，n—3 an+1Wanln n~=l+￡(s——0,n-—3)，n+1于是有l(wèi)1+no()—0,n—3),n-—=exp(4+f)，(￡—0,n—3)

a nnnnlimn(nlimn(limn—3l￡exp(—+—n)-1

nn=l^^n(n——1—l+8g(-， n0~^3^^尸,―na^^n(n——1—l+8g(-， n0~^3^^尸,―nan+1n+1l8l1n—+—+ —+—+1o—n-3,(nn由定理可知，第二對數(shù)判別法是Raabe判別法的等價變形，因而將第二對數(shù)判別法稱為Raabe對數(shù)判別法更合理一些.對于有的正項級數(shù)有Raabe對數(shù)判別法是很方便的.應用舉例1!+2!+...n!分析：本題無法使用根式判別法與比式判別法，因此選擇比較判別法進行判n.n!nn!(n+1)...(2n) (n+1)...(2n) (2n一1)(2n)且級數(shù)玉收斂(2n—1)(2n)n-1所以級數(shù)收斂.例2￡(1+a)(1+a).(1+a)n-1 1 2 n分析：本題無法使用根式判別法、比式判別法，或比較判別法以及其他的判別法進行判斷，因此選用充要條件進行判斷n-1(1+a)(1+a).(1+a) (1+a)(1+a).(1+a)1 2 n—1 1 2 nn-1=￡(1+a)(1+a)...(1+a)n-1 1 2 n <1(1+a)(1+a).(1+a)12 nsn單調(diào)遞增且有界所以級數(shù)收斂.nnInpn分析：本題分母含有l(wèi)nn的表達式，優(yōu)先選擇積分判別法

j卬dx= 1 ,(2jxv+8),p尹1,當且僅當p>1時收斂.2xlnpx (1一p)Inp-1xj+8_^=mmx,(2<x<+8),p=1,級數(shù)收斂.2xlnpx例4￡2+(-D"2n分析：本題中分子中含有(-1)n，無法用比式判別法或其他判別法進行判別，所以這種判別法是根式判別法的類型，取上極限進行判別，因此，選用根式判別法.lim0=lim普+(-1)"=1<1級數(shù)收斂.… 2 23正項級數(shù)新的判別方法引理￡2nu同時收斂【1引理￡2nu同時收斂【1】.2nn=1n=1證明級數(shù)￡2nu與￡2nu有相同的收斂性，不妨設(shè)級數(shù)￡u的部分和為TOC\o"1-5"\h\zn=0 n=1 n=1S，級數(shù)￡2nu的部分和為T.如果級數(shù)￡2nu收斂，即級數(shù)￡2nu收斂，n 2n n 2n 2nn=0 n=1 n=0又由于￡u是單調(diào)遞減的正項級數(shù)，則有n=1S<S=u+u+k+u+un2n12 2n-12n<u+(u+u)+k+u+u+k+u)1 23 2■2+1 +12所以￡2nu2n收斂時，￡所以￡2nu2n收斂時，￡u也收斂.nn=1反之，當￡u收斂時n=1=u1+u2+(u3+u)+k+(u+u)>—u+u+2u+k+2n-1u21 2 4所以￡U收斂時，￡2F也收斂.n-1 n-1命題1（隔項比值法）設(shè)正數(shù)列｛u｝單調(diào)遞減，且lim言=lim言=p.若p<ntsun1，則級數(shù)￡u收斂.2nn-1證明當lim證明當lim馬=p<ntsu

nn-2k,kgN，就有有l(wèi)im%-2p<1.現(xiàn)取ntsun2u 2k+1ulim2u 2k+1ulim—2~^—2p<1nlim 2k+^-2p<1ntsu nts2ku2k 2k上式正是正項級數(shù)s￡2ku-u+2u+k+2ku+kk-0第k+1項與第k項之比的極限，由比式判別法的極限形式可知￡2nu2nn=1收斂，再由引理可知￡u收斂.nn=1例1判斷正項級數(shù)￡蛀的收斂性.n2n=1證明因為lim卜-lim^j土-1

ntsunts(n+1)2lnn

n可見比式判別法失效，現(xiàn)J虹I單調(diào)遞減，改用隔項比值法求解.In2J.u ln(2n)n2 1 1ntsu nts(2n)2lnn42n由此可知級數(shù)￡蛀收斂.n2n=1命題2設(shè)正數(shù)列喝｝單調(diào)遞減，且limn%2=p，n ntsan若p<1，則正項級數(shù)￡a收斂n-1證明記u證明記u廣2ka由引理可知2a與Eu同時收斂Eu與Ev同時收斂，故Ea與Ev同時收斂，在limz^=P中令k k n knTsann=22kkeN，就有n~^=22n~^=22ka(22k)2a22k22ka u22k 2k=1—=1.422ku2v再令nTs即得證.例2證明級數(shù)的E-^收斂性nln2nn=2證明設(shè)u=I1—，因為正數(shù)列｛u〃｝單調(diào)遞減，且有P=limnun2=lim〃 =L1ntsuntsn2ln2n2 4 2由命題2知E―1一收斂.nln2nn=24總結(jié)與展望數(shù)學分析作為數(shù)學系的重要專業(yè)基礎(chǔ)課程，對學習好其他科目具有重要作用.級數(shù)理論是數(shù)學分析的重要組成部分，在實際生活中的運用也較為廣泛，如經(jīng)濟問題等.而正項級數(shù)又是級數(shù)理論中重要的組成部分，級數(shù)的收斂性更是級數(shù)理論的核心問題，要想解決正項級數(shù)的求和問題必須先解決正項級數(shù)收斂性判斷.判斷正項級數(shù)的一般順序是先檢驗通項的極限是否為0，若為0則發(fā)散，若不為0則判斷級數(shù)的部分和是否有界，有界則收斂，否則發(fā)散.若級數(shù)的一般項可以進行適當?shù)姆趴s則使用比較判別法，或可以找到其等價式用等價判別法.當通項具有一定的特點時，則根據(jù)其特點選擇適用的方法，如比值判別法、根式判別法.當上述方法都無法使用時，根據(jù)條件選擇積分判別法、柯西判別法判別法.當無法使用根式判別法時，通常可以選用比式判別法，當比式判別法也無法使用時，使用比較判別法，若比較判別法還是無法判別時再使用充要條件進行斷.由此，我們可以得到