2022-2023學年河北省石家莊四十一中高一年級上冊學期第四次考試數學試題【含答案】

石家莊四十一中學2022—2023學年第一學期第四次考試高一數學試題考生注意：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.考生作答時，請將答案答在答題卡上.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑：非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題.區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.第I卷一、單選題（共8小題，每題5分，共40分在每題給出的選項中，只有一項是符合題目要求，選對的得5分，選錯的得0分）1.（）A. B.— C. D.—【答案】D【解析】【分析】根據誘導公式，化簡求值.【詳解】.故選：D2.已知角的頂點與直角坐標系的原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，若角的終邊過點，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出點到原點的距離，由余弦函數定義計算．【詳解】由已知，所以．故選：C．3.以下四個命題中，正確的是（）A.在定義域內，只有終邊相同的角的同名三角函數值才相等B.第四象限的角可表示為C.表示終邊在y軸上的角的集合D.若α，β都是第一象限角，且，則【答案】C【解析】【分析】逐項帶入分析即可求解.【詳解】例如，，所以選項A錯；第四象限的角可表示為，故選項B錯誤；表示終邊在y軸上的角的集合，所以選項C正確；若α，β都是第一象限角，如，則，故選項D錯誤；故選：C.4.在下列四個函數中，以π為最小正周期，且在區(qū)間上單調遞增的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】依次判斷選項的周期和單調性即可得到答案.【詳解】對于A：，將在x軸下方的圖象翻折到上方，可知最小正周期，在區(qū)間上單調遞減，故A不符合題意；對于B：的最小正周期，故B不符合題意；對于C：的最小正周期，且在區(qū)間上單調遞增，故C符合題意；對于D：的最小正周期，故D不符合題意.故選：C.5.“”是“函數為奇函數”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用三角函數的性質，結合充分性和必要性的定義進行求解即可【詳解】當時，為奇函數，故充分性成立；當函數為奇函數，故，故必要性不成立；則“”是“函數為奇函數”的充分而不必要條件故選：A6.若，則的值為（）A.— B. C.— D.【答案】D【解析】【分析】將分式上下同時除以，代入，即可求出結果.【詳解】根據題意，將上下同時除以，得，代入，得，故選：D.7.設，若函數有四個不同的零點，則實數的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作出函數圖像，由四個不同的零點，得出時的值，即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題意中，圖像如下圖所示在中，有四個不同的零點∴則或由函數圖像可知，有1解，∴有3解∴∴的取值范圍為故選：B.8.關于函數的圖像與直線為常數）的交點情況，下列說法正確的是（）A.當或，有0個交點B.當或，有1個交點C.當，有2個交點D.當有兩個交點時，設兩個交點的橫坐標為，則【答案】B【解析】【分析】注意到，，，，據此可做出在上圖像，即可得答案.【詳解】注意到，，，，又在上單調遞減，在上單調遞增，據此可做出在上圖像如下圖所示.對于A，由圖可知當時有一個交點，故A錯誤；對于B，由圖可知此時有一個交點，故B正確；對于C，由圖可知當時，圖像與直線有且只有一個交點，故C錯誤；對于D，由圖知此時，故D錯誤.故選：B二、多選題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的有（）A.B.若角是銳角，則是第一或第二象限角C.若角第二象限角，則是第一或第三象限角D.角是第三或第四象限角的充要條件是【答案】AC【解析】【分析】A項，根據弧度制的定義即可推出結果；B項，通過求出角的范圍，即可推出所在的位置；C項，通過求出角的范圍，即可推出所在的位置；通過分別討論角是第三或第四象限角時，的取值范圍，以及時，所在的位置，即可判斷.【詳解】解：由題意A項，∴故A正確.B項，若角是銳角，∴∴∴不僅可能是第一或第二象限角，也可能在軸上，故B錯誤.C項，若角是第二象限角，∴∴則是第一或第三象限角故C正確.D項，若角是第三或第四象限角則，且∴，必要性成立若，則∴角是第三或第四象限角或在軸的負半軸上充分性不成立故錯誤.故選：AC.10.下列不等式中，正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用三角函數的單調性，判斷ABC；根據角的象限，判斷函數值的正負，即可判斷D.【詳解】A.當時，角大，正弦值小，，所以，故A正確；B.函數在區(qū)間單調遞增，，所以，故B正確；C.當時，角大，正切值也大，，所以，故C錯誤；D.因為，，，，所以，故D正確.故選：ABD11.若實數、滿足，則下列各式中一定正確是（）A B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】由對數函數的單調性可得出，利用指數函數的單調性可判斷AB選項；利用對數函數的單調性可判斷C選項；利用特殊值法可判斷D選項.【詳解】因為函數為上的增函數，由可得.對于A選項，函數為上的增函數，則，A對；對于B選項，函數為上的減函數，且，則，B對；對于C選項，，但與的大小關系不確定，故與的大小關系不確定，C錯；對于D選項，取，，則，即，D錯.故選：AB.12.已知函數滿足，且f（x）在區(qū)間上單調，則的值可以為（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】首先根據與的距離，建立關于周期的等式，可求，再根據與的距離，建立關于周期的不等式，即可求的范圍，即可求解.【詳解】設函數的周期為，，由條件可知，，得，且，得，則時，，時，，時，.故選：ABC三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知半徑為1的扇形，其面積與弧長的比值為_________________．【答案】##0.5【解析】【分析】根據扇形的面積公式求面積和弧長的比值即可.【詳解】設弧長為，面積為，半徑為，因為扇形面積公式為，所以.故答案為：.14.已知函數，，若對于任意存在，使，則實數a的取值范圍是_______．【答案】【解析】【分析】對于任意存在，使等價于，分別求出與即可解出答案.【詳解】對于任意，存在，使等價于在上的最小值大于等于在上的最小值，當時，函數單調遞增，可得，∵圖象的對稱軸為，∴當時，，∴，解得．故答案為：.15.某工廠產生的廢氣經過濾后排放，過濾過程中廢氣的污染物含量P（單位：mg/L）與時間t（單位：h）間的關系為，其中，k是正的常數，如果在前10h消除了20%的污染物，那么30h后還剩___________的污染物？（用百分數表示）【答案】51.2%【解析】【分析】根據題意，利用函數解析式，直接求解.【詳解】由題意可知，所以.所以30小時后污染物含量，即30小時后還剩51.2%的污染物.故答案為:51.2%.16.已知函數，滿足對恒成立的的最小值為，且對任意x均有恒成立.則下列結論正確的有___________.①函數的圖像關于點對稱：②函數在區(qū)間上單調遞減；③函數在上的值域為④表達式可改寫為：⑤若x1，x2為函數的兩個零點，則為的整數倍.【答案】②④【解析】【分析】本題通過的最小值求得三角函數的最小正周期，求出，根據求出即可得到函數的解析式，即可得到函數關于點的對稱，單調遞減區(qū)間，求導后的值域，根據三角恒等變換后的改寫式子，以及兩個零點橫坐標差的絕對值.【詳解】解：由題意，在中，恒成立的的最小值為，得，解得：，∴最小正周期，∴，解得：，∴，∵對任意x均有恒成立，∴函數關于直線對稱，∴，解得：，∵，∴，∴，∴當時，，不關于點對稱，故①錯誤.在中，函數在上單調遞減，∴在中，當即時，函數單調遞減，∴函數在區(qū)間上單調遞減，故②正確.在中，，當時，，此時，故③錯誤.在中，最小正周期，，∴，故④正確.在中，恒成立的的最小值為，且對任意x均有恒成立∴函數關于直線對稱∵最小正周期，∴不為的整數倍，故⑤錯誤.故答案為：②④.四、解答題：本題共5小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知（1）求的值（2）求tanβ的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)由已知求得，進而可求解；(2)聯立，即可求解.【小問1詳解】將已知等式兩邊平方得：，即，∴∵∴，即.∴.【小問2詳解】由(1)聯立解得，則.18.已知函數（1）求函數的零點；（2）求函數在區(qū)間上的值域.【答案】（1）零點為4和16（2）【解析】【分析】(1)根據零點的定義和對數的運算求解即可；(2)換元法，求二次函數在給定區(qū)間的值域.【小問1詳解】令，解得或，由解得，由解得，因此函數的零點為4和16.【小問2詳解】令，則由，所以時，y有最小值所以當時，，當時，，所以,因此，函數的值域為.19.（1）已知α是第四象限角，化簡（2）已知，且，求的值：【答案】（1）0；（2）.【解析】【分析】(1)根據同角三角函數基本關系式即可求解；（2）根據同角三角函數基本關系式和誘導公式即可求解.【詳解】（1），由α是第四象限角，所以原式=0.（2）又∴，∴.20.已知函數（1）求f（x）的最小正周期及在區(qū)間[0，π]內單調遞增區(qū)間：（2）求使成立x的取值集合.【答案】（1），和上單調遞增（2）【解析】【分析】（1）由周期函數的定義求出求f（x）的最小正周期；令，解出的范圍和取交即可得到答案；（2）由得，則，解不等式即可求出x的取值集合.【小問1詳解】函數，的最小正周期：的單調遞增區(qū)間為可得得，那么和上單調遞增：【小問2詳解】由得，即，∴，解得，求得不等式的解集為21.為了研究某種微生物的生長規(guī)律，研究小組在實驗室對該種微生物進行培育實驗.前一天觀測得到該微生物的群落單位數量分別為8，14，26.根據實驗數據，用y表示第天的群落單位數量，某研究員提出了兩種函數模型：①；②，其中且.（1）根據實驗數據，分別求出這兩種函數模型的解析式；（2）若第4天和第5天觀測得到的群落單位數量分別為50和98，請從兩個函數模型中選出更合適的一個，并預計從第幾天開始該微生物的群落單位數量超過500.【答案】（1）函數模型①，函數模型②（2）函數模型②更合適，從第8天開始該微生物的群落單位數量超過500【解析】【分析】（1）可通過已知條件給到的數據，分別帶入函數模型①和函數模型②，列出