波利亞的《怎樣解題》(word版)

第一部分在教室中目的1．幫助學生教師最重要的任務(wù)之一是幫助學生。這個任務(wù)并不很簡單，它需要時間、實踐、熱忱以及健全合理的原則。學生應(yīng)當有盡可能多的獨立工作經(jīng)驗。但是如果讓他獨自面對問題而得不到任何幫助或者幫助得不夠。那么他很可能沒有進步。但若教師對他幫助過多，那么學生卻又無事可干，教師對學生的幫助應(yīng)當不多不少，恰使學生有一份合 理的工作。如果學生不太能夠獨立工作，那末教師也至少應(yīng)當使他感覺自己是在獨立 工作。為了做到這一點，教師應(yīng)當考慮周到地、不顯眼地幫助學生。不過，對學生的幫助最好是順乎自然。教師對學生應(yīng)當設(shè)身處地，應(yīng)當了解學生情況，應(yīng)當弄清學生正在想什么，并且提出一個學生自己可能會產(chǎn)生的問題，或者指出一個學生自己可能會想出來的步驟。2．問題、建議、思維活動 在打算對學生進行有效、不顯眼而又自然的幫助時，教師不免一而再，再而三地提出一些相同的問題，指出一些相同的步驟。這樣，在大量的問題中，我們總是問：未知數(shù)是什么 ?我們可以變換提法， 以各種不同的方式提問同一個問題：求什么 ?你想找到什么 ?你假定求的是什么 ?這類問題的目的是把學生的注 意力集中到未知數(shù)上。有時，我們用一條建議：看著未知數(shù)，來更為自然地達 到同一效果。問題與建議都以同一效果為目的：即企圖引起同樣的思維活動。從作者看來，在與學生討論的問題中，收集一些典型的有用問題和建議，并TOC\o"1-5"\h\z加以分類是有價值的。前面這張表就包含了這類經(jīng)過仔細挑選與安排的問題 和建議；它們對于那些能獨立解題的人也同樣有用。讀者充分熟悉這張表并且 看出在建議之后所應(yīng)采取的行動之后，他會感到這張表中所間接列舉的是對解題很有用的典型思維活動。這些思維活動在表中的次序是按其發(fā)生的可能性大 小排列的。3．普遍性 表中所提問題與建議的重要特點之一是普遍性，例如：未知數(shù)是什么?已知數(shù)是什么?條件是什么 ?這些問題都是普遍適用的， 對于所有各類問題，我們提TOC\o"1-5"\h\z出這些問題都會取得良好效果。它們的用途不限于任何題目。我們的問題可 以是代數(shù)的或幾何的，數(shù)學的或非數(shù)學的，理論的或?qū)嶋H的，一個嚴肅的問題 或僅僅是個謎語。這沒什么差別，上述問題都是有意義的，而且有助于我們解 題。事實上，還存在一個限制，不過這與論題無關(guān)。表中某些問題與建議，只能用于“求解題”而不能用于“求證題”。如果我們的問題屬于后者，則必須 采用別的提問方法，見第三部分“求解題，求證題”這一段。

4．常識我們這張表中的問題與建議是具有普遍性的，但是除去其普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的并且來自于普通常識。例如這條建議：看 著未知數(shù)!試想出一個具有相同未知數(shù)或類似未知數(shù)的熟悉的問題，這條建議不管怎樣總是勸告你去做你想做的事，而對于你認真要解決的問題并未提出具體 的勸告。你是不是肚子餓了 ?如果你希望搞點吃的， 你就會想起你所熟悉的搞到食物的一些辦法。你是不是有一個幾何作圖題 ?如果你想作一個三角形， 你也會想起你所熟悉的一些作三角形的辦法。你是否有一個任意的問題 ?你若希望找出 某個未知數(shù)，你就會想起找出這樣一個未知數(shù)或你所熟悉的類似未知數(shù)的一些 辦法。如果你這樣做了，那你的路子也是對頭的；這個建議是個好建議，它向 你提出一個常能成功的程序。我們表中的所有問題與建議都是自然的、簡單的、顯而易見的，而且只不過是普通常識；但是這張表把常識概括地加以敘述。這張表所提出的處理辦法對于那些認真對待其問題并有某些常識的人來說是很自然的。然而按正確道路行動的人往往不注意用明確的語言來表達其行動，而且他可能根本不會這樣做；我們這張表卻嘗試去表達這些。5．教師與學生，模仿與實踐 當教師向?qū)W生提出表中的問題或建議時，他可能有兩個目的：第一，幫助學生解決手頭的問題；第二，培養(yǎng)學生將來能夠獨立解題的能力。經(jīng)驗證明，適當使用我們表中的問題與建議，常能對學生有所裨益。此表有兩個特點：常識性與普遍性。由于此表來源于普通常識，所以顯得很自然， 學生自己也會提出這類問題。由于此表具有普遍性，所以它們對學生的幫助并 非強加于人；它們只不過指出了一般的方向，而留給學生去做的還很多。就且意提他上述兩個目的是密切相關(guān)的。如果學生在解決手邊的問題中獲得成功，他提高了一些解題的能力。這時，我們不應(yīng)該忘記我們所提問題具有普遍性而可適用于許多情況。如果同一個問題反復(fù)地對學生有所幫助，那么他就會注到這個問題，于是在類似的情況下，他自己就會提出這個問題。通過反復(fù)地出這個問題，他總會有一次成功地誘導(dǎo)出正確的念頭。通過這樣一次成功，便發(fā)現(xiàn)了利用這個問題的正確途徑，于是，他真正地領(lǐng)會了它。就且意提他學生可能對我們表中的一些問題領(lǐng)會得很好，以致他最終能夠在恰當?shù)臅r刻向自己提出正確的問題，并進行相應(yīng)的自然而活躍的思維活動。這樣，學生就無疑從我們的表中得到了盡可能多的收獲。為了得到盡可能好的結(jié)果，教師 可以做些什么事呢?解題，譬如，就好象游泳一樣，是一種實際技能。當你學習游泳時，你模仿其他人的手足動作使頭部保持在水面上并最后通過實踐 （實地練習游泳 ）來學會游泳。當試圖解題時，你也必須觀察并模仿其它人在解題時的所作所為，并且最后通過實踐來學會解題。

量題題并學學希望提高學生解題能力的教師，必須培養(yǎng)學生的興趣，然后給他們提供大量題題并學學的機會去模仿與實踐。如果教師想要在他的學生中發(fā)展相應(yīng)于我們表中的問與建議的思維活動，那么他就應(yīng)該盡可能地經(jīng)常而自然地向?qū)W生提出這些問和建議。此外，當教師在全班面前解題時，他應(yīng)當使其思路更吸引人一些，且應(yīng)當向自己提出那些在幫助學生時所使用的相同問題。由于這樣的指導(dǎo)，生將終于找到使用表中這些問題與建議的正確方法，并且這樣做以后，他將到比任何具體數(shù)學知識更為重要的東西。主要部分，主要問題6．四個階段在求解過程中，我們很可能再三地改變我們的觀點，或者改變考慮問題的途徑。我們應(yīng)該不斷地變更我們的出發(fā)點。當我們開始著手解題時，我們對問題的概念可能很不完整；當我們有些進展以后，我們的看法就不同了；而當我 們幾乎已經(jīng)得到解答的時候，看法就會更不相同。為了把我們表中的問題與建議進行適當分組，我們把工作分為四個階段。首先，我們必須了解問題；我們必須清楚地看到要求的是什么?其次，我們必須了解各個項之間有怎樣的聯(lián)系 ?未知數(shù)和數(shù)據(jù)之間有什么關(guān)系 ?為了得到解題的思路，應(yīng)該制定一個計劃。第三，實現(xiàn)我們的計劃。第四，我們回顧所完成的解答，對它進行檢查和討論。TOC\o"1-5"\h\z上述每一階段都有其重要性?？赡軙羞@樣的情況：一個學生想出了一個 異常好的念頭，于是跳過所有的預(yù)備步驟，解答就脫口而出了。如此幸運的念 頭當然是求之不得的，但是也可能發(fā)生很不如愿和很不走運的事：即，學生通 過上述四階段中的任何一個階段都沒有想出好念頭。最糟糕的情況是：學生并 沒有理解問題就進行演算或作圖。一般說來，在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作 出某種計劃的情況下，去處理細節(jié)是毫無用處的。如果學生在實行其計劃的過 程中檢查每一步，就可以避免許多錯誤。如果學生不去重新檢查或重新考慮已 完成的解答，則可能失去某些最好的效果。7、弄清問題回答一個你尚未弄清的問題是愚蠢的。去做一件你不愿干的事是可悲的。在校內(nèi)外，這種愚蠢和可悲的事情卻經(jīng)常發(fā)生，但教師應(yīng)力求防止在他的班級 里發(fā)生這樣的事。學生應(yīng)當弄清問題，然而他不僅應(yīng)當弄清它，而且還渴望解出它。如果學生對問題沒弄清或不感興趣，這并不是他的過錯，問題應(yīng)當精選，所選的題目不太難但也不要太容易，應(yīng)順乎自然而且趣味盎然，并且有時在敘述方式上也應(yīng)當自然而有趣。首先，必須了解問題的文字敘述。教師在某種程度上可以檢查這一點，他可以要求學生重新敘述這題目，而學生應(yīng)能流利地重新敘述這個問題。學生還應(yīng)當能夠指出問題的主要部分，即未知數(shù)，已知數(shù)據(jù)，條件。所以老師提問時，不要錯1010．例子99．擬定計劃過這樣的問題：未知數(shù)是什么?已知數(shù)據(jù)是什么 ?條件是什么 ?學生應(yīng)該仔細地、重復(fù)地并且從各個方面來考慮問題的主要部分。如果問題和某一圖形有關(guān)，那末他應(yīng)該畫張圖并在上面標出未知數(shù)與已知數(shù)據(jù)。如果對這些對象需要給以名稱，他應(yīng)該引入適當?shù)姆?。適當?shù)刈⒁膺x擇符號，他就會被迫考慮這些必須選擇符號的對象。在此預(yù)備階段中，假定我們并不期望有一個明確的回答，而只不過想有一個臨時性的回答或一個猜測，那么另外還 有一個問題可能是有用的，即：滿足條件是否可能呢?（在本書第二部分中，把“弄清問題”分成兩個階段：“熟悉問題”和“深人理解問題”）。8、例子讓我們說明上節(jié)中的某幾點內(nèi)容。我們選下列簡單問題：已知長方體的長、寬、高，求其對角線長度。為了對此問題作有益的討論，學生必須熟悉畢達哥拉斯定理及其在平面幾TOC\o"1-5"\h\z何中的某些應(yīng)用。他們對立體幾何可能只有很少的系統(tǒng)知識。教師這時可以依 賴學生對空間關(guān)系的樸素知識。教師可以通過使問題具體化而使之有趣。如教室就是個長方體，其尺寸可以測量，也可以估計，要求學生不作測量，間接地求出教室的對角線長度。教 師指出教室的長、寬、高，用手勢說明什么是對角線，通過不斷地和教室相聯(lián) 系而使他畫在黑板上的圖變得更加形象。以下是老師與學生間的對話：“未知數(shù)是什么?”“長方體對角線的長度?！薄耙阎獢?shù)是什么?”“長方體的長、寬、高。”“引入適當?shù)姆?，用哪個字母表示未知數(shù) ?”“x”“長、寬、高應(yīng)選哪些字母 ?” “a，b，c”“聯(lián)系a，b，c與x的條件是什么?”“x是長方體的對角線，長方體的長、寬、高為a，b，c”“這是個合理的問題嗎 ?我意思是說， 條件是否充分，足以確定未知數(shù)嗎?”“是的，是充分的。如果我們知道 a，b，c，我們就知道平行六面體。如果平行六面體被確定，則對角線也被確定了。”當我們知道，或至少大體上知道，為了求解未知數(shù)，必須完成哪些計算、要TOC\o"1-5"\h\z作哪些圖的時候，我們就有了一個計劃。從弄清問題到想出一個計劃，其過 程可能是漫長而曲折的。事實上，求解一個問題的主要成績是構(gòu)想出一個解題 計劃的思路。這個思路可能是逐漸形成的。或者，在明顯失敗的嘗試和一度猶 豫不決之后，突然閃出了一個“好念頭”。老師為學生所能做的最大的好事是 通過比較自然的幫助，促使他自己想出一個好念頭。我們下面就要討論的問題 與建議正是要誘發(fā)這樣一種好念頭。為了弄清學生的心理活動，老師應(yīng)當回想他自己的經(jīng)驗，回顧他自己在解題時碰到的困難與取得成功的經(jīng)驗。我們當然知道，如果我們對該論題知識貧乏，是不容易產(chǎn)生好念頭的。如果我們完全沒有知識，則根本不可能產(chǎn)生好念頭。一個好念頭的基礎(chǔ)是過去的經(jīng)驗和已有的知識。僅僅靠記憶不足以產(chǎn)生好念頭。但若不重新收集一些有關(guān)事實，則也不會出現(xiàn)好念頭。只有材料還不足以蓋房子，但是不收集必需的材 料也蓋不了房子。解決數(shù)學問題所必需的材料是我們早已獲得的數(shù)學知識的某 些有關(guān)內(nèi)容，如以前解決的問題，以前證明過的定理。因此，以下列問題開始工作常常是合適的：你知道一個與此有關(guān)的問題嗎?困難就在于：通常有相當多的問題與我們現(xiàn)在手上的問題有關(guān)，即，與它有某種共同之處。我們怎樣挑出其中一個或幾個確實有用的問題呢 ?我們建議把 力量放在主要的共同之處上：看著未知數(shù)!試想起一個具有相同或相似未知數(shù)的熟悉的問題來。如果我們成功地回想起一個與當前問題密切相關(guān)的早已解決的問題，那是很幸運的。我們應(yīng)當爭取這樣的運氣；通過探索我們是可以得到它的。這里有個問題與你的問題有關(guān)，且早已解決，你能利用它嗎?上述問題，如能很好地理解和認真地加以考慮，常常有助于激發(fā)起一連串正確的想法；但它們并不總是有用的，它們并非魔法。如果這些問題不行，我 們必須尋找某些其他的適當接觸點，并且探索問題的各個方面；我們不得不變 化、變換、修改該問題。你能否重述這個問題 ?我們表中的某些問題提示了改變 問題的專門方法，例如普遍化、特殊化、應(yīng)用類比、舍去一部分條件等等；具體細節(jié)是重要的，但我們現(xiàn)在不能深入討論。改變問題可能導(dǎo)致提出某種適當?shù)妮o助問題：如果你不能解決所提出的問題，則應(yīng)首先嘗試去解決某些與此有關(guān)的問題。嘗試去應(yīng)用各種已知的問題或定理，考慮各種修改，對各種輔助問題進行 試驗，我們可能離開原來的問題太遠，甚至最后有失掉它的危險。但是還有一 個很好的問題可以把我們帶回原處：你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù) ?你是否利用了整個條件?我們回到第8節(jié)中的例子?！澳闶欠裰酪粋€與此有關(guān)的問題？”……”看著未知數(shù)，你是否知道一個具有相同未知數(shù)的問題？”“好，未知數(shù)是什么？”“平行六面體的對角線。” “你是否知道任何具有相同未知數(shù)的問題？” “不，我們還沒有任何關(guān)于平行六面體對角線的問題”“你是否知道任何具有相似未知數(shù)的問題？”“你看，對角線是個線段，就是直線的一段。你從來沒有解決過一個未知數(shù)是直線長度的問題？”“當然，我們曾經(jīng)解決過這樣的問題，例如找出直角三角形的一個邊?！?“好?。?這里有一個知你的問題有關(guān)的問題，且早已解決，你能利用它嗎？”“你真走運，你想起了一個與你當前問題有關(guān)的問題，而且這個問題你以前已經(jīng)解決了。你愿意利用它嗎？為了能利用它，你能否引進某個輔助元素？”“看這里，你所想起的是一個關(guān)于三角形的問題。圖中有三角形嗎 ？”我們希望這最后的提示已明白得足以誘發(fā)出解題的思路 （即引入一個在圖1中用陰影畫出的直角三角形）。這個引入的直角三角形的斜邊就是我們所要求的對角線。但是教師應(yīng)當對下述情況有所準備： 即使這樣明白的提示也不能使學生開竅，那么他應(yīng)當動用所有越來越明顯的提示?！澳闶欠裣朐趫D1中有個三角形？”“在圖中，你想有哪種三角形？”“你現(xiàn)在還不能求出這對角線；但你說過你能求出三角形的一個邊。那么現(xiàn)在你該怎么辦呢？”“如果對角線是三角形的一個邊，你能找出它嗎？”經(jīng)過或多或少的幫助后，學生終于成功地引進了決定性的輔助元素，即圖中陰影三角形，在鼓勵學生進入實際計算之前，教師應(yīng)確信其學生對問題的理 解已有足夠的深度?！拔蚁耄嫵瞿莻€三角形是個好主意，你現(xiàn)在有了個三角形，但是你是否有未知數(shù) ?”“未知數(shù)是三角形的斜邊，我們可用畢達哥拉斯定理去計算它”“如果兩邊為已知，你會計算。但它們是已知的嗎 ?”“一個邊已給定，是 c。另一個邊，我想也不難求出。是的，另一邊是另一個直角三角形的斜邊?！薄昂芎?現(xiàn)在我看出你有個計劃了。”11．實現(xiàn)計劃想出一個計劃，產(chǎn)生一個求解的念頭是不容易的。要成功需要有許多條件，如已有的知識、良好的思維習慣、目標集中，還要有好運氣。但實現(xiàn)計劃則容易得多，我們所需要的主要是耐心。計劃僅給出一個一般性的大綱，我們必須充實細節(jié)并耐心地檢查每一個細節(jié)，直到每一點都完全清楚了，沒有任何可能隱藏錯誤的含糊之處為止。如果學生真的擬定出一個計劃，則教師就比較清閑了?，F(xiàn)在的主要危險是 學生可能會忘記他的計劃。因為那些從外界接受計劃的和根據(jù)教師的權(quán)威來采 納某個計劃的學生，很容易發(fā)生這種現(xiàn)象；但若是學生自己搞出來的計劃（即便經(jīng)過某種幫助）并且學生滿意地看出了最終的思路，則他就不那么容易忘記。教師必須堅持讓學生檢查每一步驟。根據(jù)“直觀”或“形式”上的論證，我們可以使自己相信每一步驟的正確TOC\o"1-5"\h\z性。我們可以集中力量在有問題的疑點上，直到完全搞清楚，毫不懷疑每一步 驟都是正確的為止；或者我們可以根據(jù)形式推理的法則推導(dǎo)出有問題的這一點（在許多重要的場合，直接觀察與形式證明二者間的區(qū)別是足夠明顯的；更進一步的討論讓我們留給哲學家們?nèi)ミM行吧 !）主要之點是：學生應(yīng)當真正地相信每一步驟的正確性。在某些情況老師可 以強調(diào)“看出來”與“證明”二者之間的差別而提出：你能清楚地看出這一步驟是正確的嗎 ?同時你也能證明這一步驟是正確的嗎 ?12．例子我們繼續(xù)第 10節(jié)末尾留下的工作。學生最后已經(jīng)得到了解題的思路。他看出未知數(shù)x是直角三角形的斜邊，而給定的高度 c是邊長之一，另一邊則是六面 體的一個面的對角線。很可能這剛學生被催促引入一個適當?shù)姆?。他?yīng)當選 擇y表示另一邊，即面上的對角線，其兩邊為a和bo學生現(xiàn)在可能看得更清楚：解題的思路就是應(yīng)該引進一個輔助未知數(shù)y0最后，陸續(xù)對這兩個直角三角形進行考慮之后，他得到X2=y2+c2y2=a2+b2于是消去輔助未知數(shù)y,從而有2.2 2X2=a+b+cx=a2b2c2如果學生正確地進行上述細節(jié)運算，老師沒有理由去打斷他，除非必要時提醒他應(yīng)當檢查每一步。這樣，教師可以問：“你能清楚地看出具有三邊x,y,c的三角形是直角三角形嗎？”對于這個問題，學生可能老老實實回答：“是”。但是如果老師不滿足于學生的直觀猜測，他應(yīng)該繼續(xù)提問：“但是你能證明這個三角形是個直角三角形嗎？”除非整個班級對于立體幾何已經(jīng)有了良好的起點，否則教師不應(yīng)當提出這個問題。即使如此，也仍然存在某些危險性，即對這個偶然提出問題的回答可 能成為大多數(shù)學生的主要困難。.回顧即使是相當好的學生，當他得到問題的解答，并且很干凈利落地寫下論證 后，就會合上書本，找點別的事來干干。這樣做，他們就錯過了解題的一個重 要而有教益的方面。通過回顧所完成的解答，通過重新考慮與重新檢查這個結(jié) 果和得出這一結(jié)果的路子，學生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們解題的能力。 一個好的教師應(yīng)該懂得并且傳授給學生下述看法：沒有任何問題是可以解決得 十全十美的?？偸Ｏ滦┕ぷ饕觥＝?jīng)過充分的探討與鉆研，我們能夠改進這個 解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。現(xiàn)在學生已經(jīng)完成了他的計劃。他已經(jīng)寫出了答案，檢查了每一步。這樣，他似乎有充分理由相信他的解答是正確的了。然而，出現(xiàn)錯誤總還是可能的， 特別當論證冗長而復(fù)雜的時候更是如此。所以要驗證。特別是，如果有某種快 速而直觀的辦法來檢驗結(jié)果或者檢驗論證，決不要忽略。你能檢驗這結(jié)果嗎 ？你能檢驗這個論證嗎？為了確信某個東西的存在或其質(zhì)量的好壞，我們總喜歡去看看它，摸摸它。我們總是通過兩種不同的感官來感知它。同樣，我們也寧可通過兩種不同的證明使我們對結(jié)果確信無疑。因此要問：你能用不同方法來導(dǎo)出這結(jié)果嗎？當然，我們寧愿要簡短而直觀的論證，而不要冗長而煩瑣的，所以要問：你能一下子 看出它嗎？教師的首要職責之一是不要給學生以下述錯覺：數(shù)學題目之間很少有聯(lián) 系，和任何其他事物則完全沒有什么聯(lián)系。當我們回顧問題解答的時候，我們自然有機會來考察一個問題與其它事物的聯(lián)系。如果學生已經(jīng)作出了真誠的努 力并且意識到自己完成得不錯，那末他們將發(fā)現(xiàn)對解答加以回顧確實饒有趣味。 這樣，他們就熱切地想知道用真誠的努力還可干些什么別的，以及下次他如何 能干得同樣好。教師應(yīng)該鼓勵學生設(shè)想一些情況，在那些情況下，他能再一次 利用所使用的辦法，或者應(yīng)用所得到的結(jié)果。你能把這結(jié)果或這方法用于某個 其它問題嗎？.例子在第12節(jié)，學生最后得到了解答：如果長方體自同一角引出的三個邊為 a,b,c,那末對角線為a2b2c2你能檢驗這個結(jié)果嗎？教師不能指望從缺乏經(jīng)驗的學生那里得到這個問題 的良好回答。但是學生應(yīng)該很早就獲得下述經(jīng)驗：用字母表達的問題比純粹數(shù) 字題好。對于用字母表示的題，其結(jié)果很容易進行幾次檢驗，而用數(shù)字表示的 題則不然。我們的例子雖然很簡單，也足以證明這點。教師可以對結(jié)果提出好幾個問題，對這些問題，學生可以很容易地回答“是"；但如回答“不是”， 這將表明結(jié)果中存在嚴重的缺點?！澳闶欠袷褂昧怂械臄?shù)據(jù)？是否所有數(shù)據(jù)a,b,c都在你的對角線公式中出現(xiàn)？”“長、寬、高在我們的問題中起的作用是一樣的，我們的問題對a,b,c來說是對稱的。你所得的公式對a,b,c對稱嗎？當a,b,c互換時公式是否保持不變?”“我們的問題是一個立體幾何問題給定尺寸a,b,c,求平行六面體的對角線。我們的問題與平面幾何的問題類似：給定尺寸a、b,求矩形的對角線，這里立體幾何問題的結(jié)果是否與平面幾何的結(jié)果類似？”“如果高c減小，并且最后等于零，這時平行六面體變成平行四邊形。在你的公式中，令c=0,是否得到矩形對角線的正確公式？”“如果高c增加，則對角線也增加。你的公式是否表明這點？” “如果平行六面體的三個量度a,b,c按同一比例增加，則對角線也按同一比例增加。在你的公式中，如將a,b,c分別代以12a,12b,12c,則對角線也將乘以12,是否這樣？”“如果a,b,c的單位是尺，則你的公式給出的對角線的單位也是尺；如果將所有單位改為寸，則公式應(yīng)保持正確，是否如此？”（后兩個問題基本上是等價的。參見“量綱檢驗”一節(jié)上述一些問題有幾個好處。首先，公式通過這么多的檢驗，這一事實不能 不使一個聰明的學生產(chǎn)生深刻的印象。學生以前就相信公式是正確的，因為公式是他仔細推導(dǎo)出來的。但是現(xiàn)在經(jīng)過這么多檢驗，他就更深信無疑了，這種信心的增加來源于一種“實驗的數(shù)據(jù)”。正是由于上述問題，公式的細節(jié)獲得了新的意義，而且和不同的事實聯(lián)系起來了。這樣，公式就更容易記住，學生的知識得以鞏固。最后，上述問題很容易轉(zhuǎn)到類似的題目上。對于類似題目獲 得一些經(jīng)驗以后，一個聰明的學生就能覺察出所包含的普遍概念：即，利用所 有有關(guān)數(shù)據(jù)，改變數(shù)據(jù)，對稱，類比。如果他養(yǎng)成了把注意力集中在這些地方的習慣，他解題的能力肯定會提高。你能檢驗這個論證嗎?在困難而重要的場合，可能需要逐步地重新檢驗論證。但通常，重新檢查一下令人惱火之點就夠了。在本例，可以建議討論以前提過的問題：你能證明具有三邊 x，y，c的三角形是直角三角形嗎（見第12節(jié)末尾處）?你能把這結(jié)果或方法用于其它問題嗎 ?在受到一些鼓勵并且經(jīng)過一兩個示范例子以后，學生們很容易找到應(yīng)用，這些應(yīng)用實質(zhì)上就是把問題的抽象數(shù)學元素賦予具體的解釋。當教師在進行討論的教室里，把教室當作問題中的長方體，他自己就使用了這樣一種具體的解釋。一個笨拙的學生可能會提議計算食 堂的對角線，而不是教室的對角線來作為一種應(yīng)用。如果學生們自己提不出來 更有想象力的內(nèi)容，那么教師本人可以提出一個稍許不同的問題，例如：“給 定長方體的長、寬、高，求中心到一角的距離”。學生可以利用剛才解決的問題的結(jié)果，因為所求距離是對角線的一半?；蛘咚麄円部梢岳靡脒m當?shù)闹苯侨切蔚姆椒ǎê笠环N辦法對于本例來說，是不那么顯而易見的，并且多少有點笨拙）。在這個應(yīng)用例子之后，教師可以討論長方體四個對角線和六個棱錐體的結(jié)TOC\o"1-5"\h\z構(gòu)，這六個棱錐體的底是長方體的六個面、公共頂點是長方體的中心、而側(cè)棱是長方體對角線的一半。當學生的幾何想象力被充分激發(fā)以后，教師應(yīng)當回到他的問題上來：你能把結(jié)果或方法用于某個其他問題嗎 ?現(xiàn)在學生有機會找到更 有趣的具體應(yīng)用了，例如，下面就是一個：“在一個長 21碼、寬16碼的建筑物的長方形平屋頂?shù)闹行囊⒁粋€高8碼的旗桿。為了支撐這根旗桿，我們需要四根等長的拉線。規(guī)定四根拉線要離旗桿頂點為2碼處的同一點開始，而另一端是 建筑物頂部的四個角。問每根拉線有多長 ?”學生可以采用上面已詳細求解過的問題中所用方法，即在一個垂直平面上引入一個直角三角形而在水平平面上引入另一個三角形?；蛘咚麄円部梢岳蒙厦娴慕Y(jié)果：設(shè)想有一個長方體，其對角線 x就是四根纜繩之一而它的邊是a=10.5,b=8,c=6直接應(yīng)用公式可求出x=14.5。更多的例子可見“你能利用這個結(jié)果嗎 ?”那一節(jié)。15．不同的方法 我們對前面 8、10、12、14幾節(jié)所考慮的問題繼續(xù)討論一下。主要的工作，即提出計劃，已在第10節(jié)加以敘述。讓我們觀察教師用不同的方式來進行。從與第10節(jié)相同之點出發(fā)，以后可以沿著稍許不同的路線提出下列各問題：“你是否知道任何與此有關(guān)的問題?”“你是否知道一個類比的問題?”“你看，所提的問題是關(guān)于空間的圖形，它與長方體的對角線有關(guān)。關(guān)于平面中的類比問題可能是什么?它應(yīng)該與長方形的對角線有關(guān)”?！捌叫兴倪呅巍?。即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推測任何事物的學生，最后也會被TOC\o"1-5"\h\z迫對解題的思路至少作出微小的貢獻。此外，如果學生確實比較遲鈍，為了 使學生有所準備，教師應(yīng)該事先討論平行四邊形的類比問題，否則不能一下子 就端出現(xiàn)在的這個長方體問題。然后，教師可以繼續(xù)提問如下：“這里有一個與你有關(guān)且已解決了的問題，你能利用它嗎 ?”“為了有可能利用它，你是否應(yīng)當引入某個輔助元素 ?”最后教師可以成功地向?qū)W生提出他所希望的概念。這就是把給定長方體的對角線想象為必須引入圖中的一個合適的平行四邊形的對角線 （這個平行四邊 形是通過長方體和兩個對邊的平面的截面 ）。此概念本質(zhì)上和前面 （第10節(jié)）相同，但方法卻不一樣。在第10節(jié)是通過未知數(shù)來觸及到學生的可用的知識的；我們回想起一個以前已解決的問題是因為其未知數(shù)和當前提出的問題中的未知數(shù)相同。而在本節(jié)，是用類比的方法使學生觸及到解題的概念。16．教師提問的方法 在第8，10，12，14，15各節(jié)所闡述的提問方法主要是先從表中一般化的問題和建議開始，在需要時，逐步轉(zhuǎn)向更特殊更具體的問題和建議，直到在學生的頭腦中能引出一個回答為止。如果你必須幫助學生開拓某種思路，如果可能的話，從表中一個一般化的問題或建議重新開始提問，并在必要時再一次回到某個更特殊的問題，如此等等。當然，這張表僅僅是這種類型的第一張表，看來對大多數(shù)簡單情況是夠用了。但無疑它還應(yīng)該改進。重要的是，我們開始提的問題與建議應(yīng)該簡單、自然和一般化，同時表應(yīng)當短。建議必須簡單而自然，否則就會太唐突。如果我們想培養(yǎng)學生的能力而不是特殊技巧的話，那么建議必須一般化，不僅可用于目前的問題，而且可用于各類問題。表必須簡短，使得在不同情況下，能夠不矯揉造作地重復(fù)提問，從而有機會最終能為學生所掌握，并對培養(yǎng)思維習慣作出貢獻。為了培養(yǎng)學生的獨立工作能力，必需逐步改為提出特殊的建議。這種提問的方法不是一成不變的，幸好如此，因為在這類事情中，任何一成不變的、機械的、陳舊的程序必然很糟糕。我們允許有一定的靈活性，它允 許采用各種辦法 (見第15節(jié))，它可以而且應(yīng)該這樣來實施，使得教師所提的問題可以由學生自已提出來。如果有讀者希望在他的班上試一試這里所提出的方法，他當然應(yīng)該小心地 進行，他應(yīng)該仔細地研究第8節(jié)的例子和后面笫 18、19、20節(jié)中的例子。他應(yīng)當仔細地準備他打算討論的例子，同時也考慮到各種不同的方法。他開始時應(yīng)作 少量試驗，并逐漸摸索出他應(yīng)如何掌握這個方法，學生如何學習這個方法并且需要多少時間。17．好問題與壞問題 如果能很好地理解上節(jié)所提出的提問方法，則通過比較可以有助于判斷某些建議的好壞，這些建議是為了幫助學生而可能提出來的?；氐皆瓉碓诘?10節(jié)開始時的情況，那時提問下列問題：你知道一個與此有 關(guān)的問題嗎?我們從幫助學生的最好意愿出發(fā)，不問這個問題，而改為提問：你能應(yīng)用畢達哥拉斯定理嗎?我們的動機可能是極好的，但是這種提問卻大概是最壞的。我們必須認識是在什么情況下提出這個問題的；然后我們會發(fā)現(xiàn)有一大堆反對意見反對這種類型的“幫助”。)如果學生已接近于問題的解決，他可能理解問題的建議；但是如果他不 是這樣，他十分可能完全看不到問題的著眼點，因而在最需要幫助之處卻得不 到幫助。)這建議的針對性太強了，即使學生能利用它解決當前的問題，對于將來的問題來說并沒有學到什么。這種提問不是很有啟發(fā)性的。)即使學生理解這建議，他們也極少能理解教師怎么會想到提出這樣一 個問題，而學生他自己又怎樣能想出這樣一個問題呢 ?它看起來很不自然， 很令人詫異，就好象變戲法耍魔術(shù)一樣。它實在沒有什么啟發(fā)性。對第 10、15節(jié)中所描述的過程就提不出上述任何反對意見了。更多的例子一個作圖題在給定三角形中作一正方形。正方形的兩個頂點在三角形的底邊上，另二個頂點分別在三角形的另兩邊上?！拔粗氖鞘裁?？”“一個正方形” “已如數(shù)據(jù)是什么？”“一個給定的三角形，其它沒有?！薄皸l件是什么？”“正方形的四個角在三角形的邊線上，兩個在底上，其余兩邊每邊上有一個?！薄笆欠窨赡軡M足條件？”“我想如止匕，但不太有把握?！薄翱雌饋?，你解此題并不太容易。如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。你能滿足部分條件嗎？”“你說部分條件是什么意思？”“你看，條件與正方形的所有頂點有關(guān)，這里有幾個頂點？”“四個?！薄八^部分條件涉及的頂點數(shù)應(yīng)當少于四個。請僅僅保持部分條件而舍去 其余部分。什么樣的部分條件容易滿足？”“兩頂點在三角形邊線上，甚至三個頂點都在三角形邊線上的正方形，是容易畫出來的！”“畫張圖！”學生畫出圖2。“你僅僅保留了部分條件，同時你舍去了其余條件?，F(xiàn)在未知的確定到了什么程度？”“如果正方形只有三個頂點在三角形的邊線上，那么它是不確定的?！薄昂茫‘嫃垐D?！睂W生畫出圖3。?，，?，，“正象你所說的，保持部分條件不能確定正方形、它會怎樣變化呢“你的正方形的三個角在三角形的邊線上，但第四個角還不在它應(yīng)該在的地方。正象你說的，你的正方形是不確定的，它能變化；第四個角也是這樣，它怎樣變化？”“如果你希望的，你可以用實驗的辦法試試看。按照圖中已有的兩個正方形的相同辦法，去畫出更多的三個角在邊線上的正方形。畫出小的正方形與大的正方形。第四角的軌跡看起來象是什么？它將怎樣變化？教師已把學生帶到非常接近于解答的地方。如果學生能猜到第四個角的軌跡是一條直線，他就得到這個主意了。一個證明題在不同平面上的兩個角，其中一個角的每一邊平行于另一角的對應(yīng)邊且方向相同。證明這兩個角相等。我們要證的是立體幾何的一個基本定理。這個問題可以提給那些熟悉平面幾何以及立體幾何中下列少數(shù)事實的學生，這少數(shù)事實構(gòu)成了歐幾里得原理中當前這個定理的預(yù)備知識。我們不但把直接引自我們表中的問題與建議劃上線，而且把那些與它們相對應(yīng)的問題與建議也劃上線。例如，“求證題”是和“求解題”相對應(yīng)的（在“求解題，求證題”標題下的第5,6小節(jié)中，我們再系統(tǒng)地討論這種對應(yīng)關(guān)系）?！扒疤崾鞘裁矗俊薄皟山窃诓煌钠矫嫔?，其中一個的每一邊平行于另一角的對應(yīng)邊，且方向相同。”“結(jié)論是什么？”“兩角相等。”“畫張圖，引入適當?shù)姆??！睂W生畫出圖4中的線，并在教師的或多或少的幫助下，標出圖4中的字母?！扒疤崾鞘裁?？請用你的符號表達出來?！?“A,B,C和A',B',C'不在同一平面上，且AB//A'B',ACA'C'。AB的方向與A'B'的方向相同，而AC的方向與A'C'的方向相同

“結(jié)論是什么？”“看著結(jié)論！嘗試想起一個具有相同或相似結(jié)淪的熟悉的定理?！薄叭绻麅蓚€三角形全等，則對應(yīng)角相等?！薄昂芎?！現(xiàn)在有一個與你的問題有關(guān)的定理，且早已證明。你能否利用它?”“我想如此，不過我還不清楚怎么辦?！?“為了可能利用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素？”“好，你提得非常好的那個定理是關(guān)于三角形的，是關(guān)于一對全等三角形的。在你的圖中有沒有三角形？” “沒有，但我能引進一些。讓我連接 B與C,B'與C’,這樣就有了兩個三角形，ABC和A'B'C'?！?“做得好，但是這些三角形有什么用？” “去證明結(jié)論；/BACWB'AC"“好，如果你希望汪明這點，你需要兩個什么樣的三角形 ？”“全等三角形。噢，對了，我可以選擇 B,C,B',C',使得AB=A'B',AC=A'C'”“好極了！現(xiàn)在你希望證明什么？” “我希望證明兩個三角形全等，△ABCWA'B'C'如果我能證明這點，則立即可得結(jié)論/BACWB'A'C'?！薄懊?！你有了一個新

目標，這目標是一個新結(jié)論?？粗@結(jié)論！ 并且嘗試想起一個具有相同或相似結(jié)論的熟悉的定理?！薄爱斍覂H當一個三角形的三條邊分別等于另一個三角形的三條邊時，這兩個三角形全等?！薄白龅煤?。本來你有可能會選出一條較差的定理的?，F(xiàn)在這里有了一條與你的問題有關(guān)的定理，且早已證明，你能否利用它？”圖圖6“如果我知道BC=B'C',我能利用它?！薄皩?！那么你的目標是什么？”“證明BC=B'C'。"“試回憶起一個具有相同或相似結(jié)論的熟悉的定理。” “是的，我知道一個定理，它最后結(jié)束的句子是：’……則兩線相等’，但它并不合適?！?“為了能夠利用它，你是否應(yīng)該引入某個輔助元素？”“你看，在圖中BC與B'C′間并無聯(lián)系，你怎么能證明 BC=B'C'?"“你利用了前提嗎？前提是什么？”“我們假定AB//A'B',AC//A'C'。是的，當然我們必須利用這點?！?“你是否利用了整個前提？你說AB//A'B'這是你所知道的關(guān)于這些線段的全部情況嗎？” “不，根據(jù)作圖，AB還等于A'B'。它們彼此平行并且相等。AC和A'C'也是這樣。” “兩個等長的平行線——這是很有趣的圖形。你以前見過嗎？”“當然見過！對!平行四邊形！讓我聯(lián)結(jié)A與A',B與B',C與C'?！薄斑@主意不太壞。現(xiàn)在你的圖中有幾個平行四邊形？”“兩個。不，三個。不，兩個。我意思是說，其中有兩個，你可以立刻證明它們是平行四邊形。還有第三個看來是個平行四邊形。我希望我能證明它是。這樣證明就結(jié)束了！”我們可能從這個學生前面的回答已經(jīng)推測到他很聰明。但是等他作出上述最后一個回答以后，我們對此就深信不疑了。這個學生能夠猜出數(shù)學結(jié)果并且能夠清楚地區(qū)分證明與猜測。他也知道猜測可以多多少少似乎是可信的。確實，他真的從數(shù)學課上得到了教益；他在解題方面有了某種實際經(jīng)驗，他可以看出并且摸索出一個好的解題思路。一個速率問題水以速率r流進錐形容器。容器具有正圓錐形狀，底是水平的，頂點在下方，底的半徑是a,高為bo當水深為y時，求水表面上升的速率。最后，假定a=4尺，b=3尺，r=2立方尺/分，y=1尺，求未知數(shù)的數(shù)值。我們假定學生知道最簡單的微分法和變化率的概念。“已知數(shù)是什么？” “圓錐底的半徑a=4尺，圓錐的高b=3尺，水流入容器的速率r=2立方尺/分，在某一時刻的水深 y=1尺。”“對，從問題的敘述方式看來，是建議你先忽略具體數(shù)值而用字母求解，把未知數(shù)用a，b，r，y表示出來，而僅在最終得到未知數(shù)的字母表達式以后再 代入具體數(shù)值。我愿意按照這條建議做?，F(xiàn)在未知數(shù)是什么？”“當水深為y時，水面升起的速率?！薄八鞘裁??你能用其他術(shù)語來說嗎?”“水深增加的速率。”“它是什么 ?你能否再重新敘述得更不同些 ?”“水深的變化率?！薄皩Γ?y的變化率。但什么是變化率 ?回到定義去?！薄昂瘮?shù)的變化率是導(dǎo)數(shù)?！薄罢_?，F(xiàn)在 y是函數(shù)嗎?如前所述，我們不管 y的具體數(shù)值。你能否想象 y是變化的 ?” “是的，水深 y隨著時間而增加?！薄斑@樣，y是什么的函數(shù) ?”“時間t的?！薄昂茫脒m當?shù)挠浱?。用?shù)學符號，你將怎樣寫‘y 的變化率‘？"“dy/dt”“好，這就是你的未知數(shù)。你必須用a，b，r，y來表示它。順便說一下，數(shù)據(jù)中有一個是‘速率’，哪一個 ?”“r是水流進容器的速率?！薄八鞘裁?你能用別的術(shù)語來說它嗎 ?”“r是容器中水的體積的變化率?！薄八鞘裁??你能否再重新敘述得更不同些 ?你將怎樣用適當?shù)挠浱杹韺懰?”r=dV/dt是什么 ?”a，b，a，b，dV/dt，y，來表示 dy/dt，你將怎樣做 ?”“如果你不能解決所提問題，首先嘗試去解決某個與此有關(guān)的問題。如果你到現(xiàn)在還看不出dy/dt與數(shù)據(jù)間的聯(lián)系；嘗試去引入某種能作為中間過渡踏腳石的更簡單的聯(lián)系?！薄澳憧床怀鲞€有別的聯(lián)系嗎？例如y與V是否彼此獨立？” “不，當y增加，V一定也增加。”“那么說，是有聯(lián)系了，這聯(lián)系是什么 ?”“好，V是錐體的體積，y是錐體的高。但我現(xiàn)在還不知道底的半徑?！薄安贿^，你可以考慮它。叫它什么，譬如設(shè)它為x吧!”

2xy，，V= o3“正確，關(guān)于x又知道些什么？它是否與y獨立？”“不，當水深y增加，自由表面的半徑x也增加。”“這么說，它們之間是有聯(lián)系的。但這聯(lián)系是什么？”“當然是相似三角形。x：y=a：b”“你看，又多了個聯(lián)系，我不愿錯過從它那兒得到的好處。別忘了，你希望知道的是y與V之間的聯(lián)系?！艾F(xiàn)在我有x=ay/bV=3b2“很好，這看來像個踏腳點難道不是嗎？但你別忠了你的目標。未知數(shù)是什么？”V=3b2“很好，這看來像個踏腳點難道不是嗎？但你別忠了你的目標。未知數(shù)是什么？”dy/dt“噢，是與其他數(shù)量間的聯(lián)系。但這里有的卻是y,V和其“你必須找出與其他數(shù)量間的聯(lián)系。但這里有的卻是y,V和其他數(shù)量間的聯(lián)系。你該怎么辦？”“當然是微分！四型就是它?！眣-t b24“妙！那么從已經(jīng)給出的數(shù)值能得出什么結(jié)果呢？”“若a=4,b=3,dV/dt=r=2,y=l,貝U2="16"旦?！币布?ftdy/dt=0.358尺/分。第二部分怎樣解題——一段對話.熟悉問題我應(yīng)該從哪兒開始？從問題的敘述開始。我能做什么？觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節(jié)。 這樣做，我能得到什么好處？你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動起你的記憶力，做好準備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點。.深入理解問題我應(yīng)該從哪兒開始？還是從問題的敘述開始。當你對問題的敘述已如此清楚并已深深地印入腦海，以致你即使暫時不去看它，你也不怕把它完全忘掉時，你就可以開始下面的工作了。我能做什么？先把問題的主要部分剖析出來。因為前提與結(jié)論是“求證題”的主要部分。未知、已知與條件是“求解題”的主要部分。再把問題中的主要 部分都弄一遍，并且要逐個地考慮，輪流地考慮，而且在各種組合中來考慮， 同時把每個細節(jié)與其它細節(jié)聯(lián)系起來，把每個細節(jié)與整個問題聯(lián)系起來。這么做，我能得到什么好處 ?你會準備好并弄清楚以后可能起作用的細節(jié)。3．探索有益的念頭應(yīng)該從哪兒開始?從考慮問題的主要部分開始。當主要部分能很清楚地排列出來，想得明明白白（這應(yīng)歸功于你前面的工作 ）并且也記得住時，這時開始做下一步。怎樣進行 ?從各個方面來考慮你的問題，找出與你現(xiàn)有知識有關(guān)之處。從各個方面考慮你的問題。分別突出各個部分，考察各個細節(jié)，用不同方法反復(fù)審查同一細節(jié)。把細節(jié)用不同方式組合起來，從不同角度考慮它。試著在每一細節(jié)中發(fā)現(xiàn)某些新意義，嘗試在整個問題中得出某些新解釋。從你現(xiàn)有知識中找出與問題有關(guān)之處。試想過去在類似的情況下有什么曾幫過你的忙。在你所考察的內(nèi)容中，設(shè)法找出熟悉的東西來，在你所熟悉的東 西中，努力找出有用的東西來。能找出什么?一個有用的念頭，也許是個決定性的念頭，它能使你一限看出解決問題的途徑。念頭有什么用?它會給你指出整個或部分解題途徑，它或多或少地清楚地向你建議該怎么做。念頭多多少少還是完整的。 如果你有一個念頭，你就夠幸運的了。碰上一個不完整的念頭怎么辦 ?應(yīng)該加以考慮。 如果它看來有好處，就應(yīng)該TOC\o"1-5"\h\z多考慮一會兒。如果它看來是可靠的，你應(yīng)當確定它能引導(dǎo)你走多遠，并重新考慮一下形勢。由于這個有益的念頭，情況已經(jīng)變化了。你要從各個方面來 考慮新形勢并找出它與你現(xiàn)有知識之間的聯(lián)系。再次這樣做，還能得到什么好處 ?如果你走運的話，你或許能找到另一個念頭。也許下一個念頭會引導(dǎo)你去解決問題。也許在下一個念頭以后，你還需要幾個有益的念頭。也許有些念頭會把你引入歧途。無論如何，你應(yīng)當感謝所 有的新念頭，感謝那些次要的念頭，感謝那些模糊的念頭，也感謝那些使模糊 念頭得以糾正的補充性念頭。即使你暫時還沒有發(fā)現(xiàn)什么有價值的新念頭，但 如果你對問題的概念更完全了，或者更連貫、更和諧或者更平衡了，那你也應(yīng) 當表示感謝。4．實現(xiàn)計劃應(yīng)該從哪兒開始?從引導(dǎo)到解決問題的思路開始。當你感到你已抓住主要 的聯(lián)系，并且自信能提供可能需要的次要細節(jié)時，就開始。怎幺做 ?你對問題應(yīng)抓得很有把握。 詳細地進行你以前認為可行的全部代 數(shù)或幾何運算。用形式推理或直接觀察檢查每一步驟的正確性，或者，如果你 能夠的話，兩種方法都用。如果你的問題很復(fù)雜，你可以分成“大”步驟和“小”步驟，每一大步驟又由幾個小步驟組成。首先檢查大步驟，以后再檢驗小步驟。這樣做，我能有什么好處 ?這樣提出的解，每個步驟無疑都是正確的。5．回顧應(yīng)該從哪兒開始 ?從解答開始，它的每一個細節(jié)都應(yīng)該是完整而正確的，怎么做 ?從各個方面考慮這個解，找出與你已有知識之間的聯(lián)系?？紤]解的細節(jié)，并嘗試使它們盡可能地簡單；研究解答中較冗長的部分，使TOC\o"1-5"\h\z它們更短些；試著一眼就看出整個解。試著去改進解的各部分，嘗試去改進 整個解，使它直觀，使它盡量自然地適合于你已有的知識?？偨Y(jié)你解題的方法，嘗試看出它的要點，并且嘗試把它用于其他問題?？偨Y(jié)所得結(jié)果并試著把它用 于其他的問題。這樣做，我能有什么好處 ?你可能找出一個新的更好的解， 你可能發(fā)現(xiàn)新 的有趣的事實。無論如何，如果你用這方式養(yǎng)成研究與總結(jié)你的解的習慣，你將獲得某些井然有序的，便于應(yīng)用的知識，并且你將會提高你解題的能力。第三部分 探索法小詞典．類比類比就是一種相似。相似的對象在某個方面彼此一致，類比的對象則其相應(yīng)部分在臬些關(guān)系上相似：長方形可與長方體類比。事實上，長方形各邊之間的關(guān)系與長方體各面 之間的關(guān)系相似：長方形的每一邊恰與另一邊平行，而與其余的邊垂直。長方體的每一面恰與另一面平行，而與其余的面垂直。讓我們把邊稱為長方形的邊界元素，而面稱為長方體的邊界元素，則前述兩個命題可合而為一并可同等地應(yīng)用于這兩個圖形：每一邊界元素恰與另一邊界元素平行，而與其余的邊界元素垂直。TOC\o"1-5"\h\z這樣，我們就將所比較的兩個系統(tǒng)的對象 （即長方形的邊與長方體的面 ）的某些共同關(guān)系表達出來了。這兩個系統(tǒng)的類比存在于關(guān)系的共性之中。在我們的思維、日常談話、一般結(jié)論以及藝術(shù)表演方法和最高科學成 就中無不充滿了類比。類比可在不同的水平使用。人們常常使用含糊不清的， 夸大的，不完全的或沒有完全弄清楚的類比，但類比也可以達到數(shù)學精確性的 水平。所有各種類比在發(fā)現(xiàn)解答方面都可能起作用，所以我們不應(yīng)當忽略任何 一種。在求解一個問題時，如果能成功地發(fā)現(xiàn)一個此較簡單的類比問題，我們會認為自己運氣不錯。在第十五節(jié)，我們原來的問題是長方體的對角線，它的 較簡單的類比問題就是長方形的對角線，這個類比問題引導(dǎo)我們到達原問題的 解答。我們將討論這種類型的另一個例子。我們需要求解下列問題：求均勻四面體的重心。若不具備積分與物理知識，這問題是很困難的。在阿基米德與伽里略的時代，它是一個嚴肅的科學問題。因此，如果我們希望用盡可能少的預(yù)備知識來 解決它，我們就應(yīng)該尋求一個較為簡單的類比問題。在平面上的對應(yīng)問題很自然地就是下面的問題：求一均勻三角形的重心?，F(xiàn)在，我們有了兩個問題而不是一個問題。但兩個問題比起一個問題來可 能還更容易回答 ——假定這兩個問題能巧妙地聯(lián)系起來的話?，F(xiàn)在我們暫時把原來四面體的問題放在一邊，而把注意力集中在有關(guān)三角形這一比較簡單的類比問題上。為了求解這個問題，我們必須了解一些關(guān) 于重心的知識。下列原理似乎是可信的而且提出它來也很自然：若一物質(zhì)系統(tǒng) S由幾部分組成，每一部分的重心都位于同一平面上，則該平面也必包含此整個系統(tǒng)S的重心。對于三角形情況來說，這一原理給出我們所需要的一切。首先，它指出三角形的重心位于三角形的平面上。于是，我們可以把三角形看成由平行于三角形某邊（圖7中邊AB）的許多個小條條（薄條條無限窄的平行四邊形）所組成。每一個小條條（平行四邊形）的重心顯然是它的中心，而所有這些中心^位于連線 CM上，C為與AB邊相對的頂點，M為AB的中點（見圖7）。圖7通過三角形中線CM的任何平面包含有三角形中所有平行小條條的重心。由此得出結(jié)論：整個三角形的重心就在這一中線上。但是，根據(jù)同一理由它也必須在其他二條中線上，所以它必須是所有三根中線的公共交點。我們現(xiàn)在希望用純幾何方法（與任何力學上的假設(shè)無關(guān)）來證明三根中線交于同一點。（5）在弄懂了三角形的例子之后，四面體的情況就相當容易了。因為我們現(xiàn)在已經(jīng)解決了一個和我們所提問題有類比關(guān)系的問題，所以一旦解決這個類 比問題，我們就有了一個可以照著辦的模型。在解決我們現(xiàn)在用作模型的類比問題中，我們設(shè)想三角形是由平行于其一邊AB的平行小條條所組成的。現(xiàn)在我們設(shè)想四面體 ABCDfi由平行于其一棱AB的小條條所組成。組成三角形的小條條之中點全部位于同一直線上，即位于連接邊 AB的中點M與相對頂點C的那根三角形中線上。組成四面體的小條條的中點全部位于連接棱AB的中點M與對棱CD（見圖8）的同一平面上；我們不妨將此平面MC的為四面體的中面。ma圖8在三角形情況下，我們有象MC?樣的三根中線，其中每一根都必須包含三角形的重心。因此，這三根中線必須交于一點，這一點就是重心。在四面體情況下，我們有象MCEW樣的六個中面（連接一條棱中點與其對棱的平面），其中每個中面都必定包含四面體的重心。因此，這六個中面必交于一點，這一點就是 重心。（6）這樣，我們就解決了均勻四面體的重心問題。為了完成這個求解過程，現(xiàn)在我們需要用純幾何（與力學上的考慮無關(guān)）來證明六個中面通過同一點。當我們解決了均勻三角形的重心問題以后，我們發(fā)現(xiàn)，為了完成求解過程，需要證明三角形的三條中線通過同一點。這個問題可類比于上述問題，但顯然較為簡單。在解決四面體這一問題時，我們又可利用較簡單的三角形類比問題(這里，我們假定它已經(jīng)解決了)。事實上，我們考慮通過從 D點出發(fā)的三條棱DADB,DC的三個中面；每一中面同時也通過對棱的中點 (通過DC邊的中面經(jīng)過中點M,見圖8)?，F(xiàn)在，這三個中面和△ABC所在平面交于該三角形的三個中線。 這三條中線交于一點(這是前面較簡單的類比問題的結(jié)果 )，而這點和D點一樣，也是三中面的公共點。連結(jié)這二個公共點的直線是所有三個中面的公共線。我們證明了六個中面中通過頂點D的三個中面有一條公共直線。對于通過頂點A的三個中面，同樣也成立；對于經(jīng)過頂點B的三中面以及經(jīng)過頂點 C的三中面也是如此。把這些事實適當?shù)芈?lián)系起來，我們就可證明這六個中面有一個公 共點(通過△ABC三邊的三中面確定一公共點和交于此點的三交線。于是，根據(jù)我們剛才證明的，通過每一交線，一定還有一個中面 )。在上述(5)和(6)中，我們都利用了一個三角形的較為簡單的類比問題去解決四面體問題。但從一個重要方面來看，(5)和(6)兩種情況是不相同的。在(5)中，我們是利用較簡單的類比問題這一方法，逐點模仿它來求解。但在(6)中，我們則是利用了較簡單的類比問題所得的結(jié)果，我們并不關(guān)心這結(jié)果是怎 樣得到的。有時，我們可能同時利用較簡單的類比問題的方法及其結(jié)果。如果 我們把上述(5)和(6)看成是同一個問題求解的兩個不同部分，則上述例子就是同時利用類比問題的方法及結(jié)果的。我們這個例子是典型的。在求解所提出的問題的過程中，我們經(jīng)?？梢岳靡粋€較簡單的類比問題的解答；我們可能利用它的方法或者可能利用它的結(jié) 果，或者可能三者同時利用。當然，在更困難的問題中，可能會出現(xiàn)我們這個 例子中尚未出現(xiàn)過的復(fù)雜情況。特別是，可能發(fā)生下述情況：類比問題的解不 能直接用于我們原來的問題上。那時，可能需要我們?nèi)ブ匦驴紤]解答，去改變 它，修改它，直到我們在試過解答的各種形式以后，終于找到一個可拓廣到我 們原來的問題為止。我們希望能預(yù)測結(jié)果，或者，至少在某種似乎可信的程度上預(yù)測到結(jié)果的某些特征。這種似乎可信的預(yù)測通常是以類比為基礎(chǔ)的。這樣，我們可能知道，均勻三角形的重心及其三個頂點的重心重合 (即，三個質(zhì)量相同的質(zhì)點放在三角形的三個頂點上 )。了解這點以后，我們可以猜測均勻四面體的重心與其四個頂點的重心相重合。這種猜測是一種“類比推論”。已知三角形和四面體在許多方面相似，我們就猜測它們在其他某一個方面也是相似的。如果把這種猜測的似真性當作肯 定性，那將是愚蠢的。但是忽視這種似真的猜測將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢的。類比推論看來是最普通的一種推論，并且可能是最主要的一種。它產(chǎn)生了多少似乎可信的推測，這種推測可能被經(jīng)驗和更嚴格的論證加以證實或推翻。為了預(yù)測藥物對人類的影響，化學家在動物身上進行試驗，再由類比得出結(jié)論。甚至我認識的TOC\o"1-5"\h\z一個小男孩也這么做。他的小狗需要到獸醫(yī)那兒去醫(yī)療，于是他 問：“誰是獸醫(yī)”“動物的醫(yī)生?！薄澳姆N動物是動物的醫(yī)生 ?”得自許多類似情況的類比結(jié)論比得自較少情況的類比結(jié)論要強。但是這里質(zhì)量仍然比數(shù)量更為重要。清晰的類比較模糊的相似更有價值，安排有序的例子比隨意收集的情況更能說明問題。前面【上述（8）】我們提出了一個關(guān)于四面體重心的猜測。這猜測就是根 據(jù)類比而提出的；四面體的情況類比于三角形的情況。通過考察另一個類比的例子，均勻棒 （即均勻密度的直線段 ）的例子，我們可以增加對猜測的認識。存在于線段三角形四面體之間的類比有許多方面。線段包含在直線上，三角形在平面上，四面體在空間中。直線段是最簡單的一維有界圖形，三角形是最簡單的多邊形，四面體是最簡單的多面體。線段有兩個零維邊界元素（2端點）而其內(nèi)部是一維的。三角形有三個零維及三個一維邊界元素（三頂點，三邊），而其內(nèi)部是二維的。四面體有四個零維，六個一維，四個二維邊界元素（四頂點，六邊，四面），而其內(nèi)部是三維的。這些數(shù)字可以列成一個表如下，其中各列分別表示零維，一維，二維與三維元素的數(shù)目，各行分別表示線段，三角形與四面體的數(shù)目：零維一維二維三維線段21三角形331四面體4641只須對二項式展開有稍許的了解，便可認出這些數(shù)字是巴斯卡三角形中的一部分。我們在線段、三角形和四面體中找出了一個值得注意的規(guī)則性。如果我們已經(jīng)體會到我們所比較的對象是有密切聯(lián)系的，則下列“類比推論”對于我們可能有某些價值。均勻捧的重心與其兩端點的重心相重合。均勻三角形的重心與其三頂點的重心相重合。為什么我們不應(yīng)該設(shè)想均勻四面體的重心與其四頂點的重心相重合呢?還有，均勻捧的重心按比例1：1來劃分其端點間的距離。均勻三角形的重 心按比例2：1來劃分任何頂點與其對邊中點間的距離。為什么我們不應(yīng)該猜測均勻四面體的重心是按比例3：1來劃分任何頂點與其對面的重心間的距離呢?說上述問題所提出的猜測是錯誤的，說這樣美妙的一種規(guī)律性竟遭破壞，這點總叫人覺得極不可能。認為和諧的簡單秩序不會騙人這樣一種感覺，在數(shù)學及其他科學領(lǐng)域中指引著作出發(fā)現(xiàn)的人們，并表達為拉丁格言：簡單是真理的標志[從上面講的會想到，所討論的結(jié)果可推廣到n維。如果對前三維 (n=1、2、3)成立而對維數(shù)高的n就不再成立，這看來不大可能。這種猜測是一種“歸納推論”；它表明歸納很自然地以類比為基礎(chǔ)。參見“歸納與數(shù)學歸納法”一節(jié)。[(11)在結(jié)束本節(jié)以前，我們簡單地考慮一類最重要的情況：在這類情況下，類比這一數(shù)學概念變得更精確了]。(I)兩個數(shù)學對象系統(tǒng)設(shè)為 S和S',是這樣相互聯(lián)系的： S的對象之間的某些關(guān)系和S'的對象之間的某些關(guān)系遵循同一法則。在S和S′間的這種類比可以用上述(1)中所討論的內(nèi)容為例說明之；把長方形的邊作為S,把長方體的面作為S'0(II)在兩個系統(tǒng)S與S'的對象之間存在一一對應(yīng)，即保持某種關(guān)系。也就是TOC\o"1-5"\h\z說，如果一個系統(tǒng)的對象之間保持這樣一種關(guān)系，則在另一系統(tǒng)的對應(yīng)對象 之間也保持同一關(guān)系。在兩個系統(tǒng)中的這種聯(lián)系是一種非常精確的類比；它稱 為同構(gòu)。(III)在兩個系統(tǒng)S與S'的對象之間存在一對多的對應(yīng)而保持某種關(guān)系 (這在高等數(shù)學研究的各分支中，特別在群論中很重要，這里不多贅言)。這種情況稱為同態(tài)。同態(tài)也可看成另一種非常精確的類比。2．輔助元素我們對問題的概念在我們工作結(jié)束時遠比我們開始工作時豐富得多(見“進展與成就”一節(jié))。隨著工作的進展，我們在原有考慮之外，增加一些新元素。旨在促進求解而引入的這種元素稱為輔助元素。有各種輔助元素。解決幾何問題，我們可能在圖中引入新的線，即輔助線。解決代數(shù)問題，我們可能引人輔助未知數(shù)【見“輔助問題”，(1)】。輔助定理是這樣一種定理，我們證明它是希望促進我們對原來問題的求解。引入輔助元素有各種理由。當我們想到一個與我們現(xiàn)在的問題有關(guān)、且早已解決的問題時，我們很高興。很可能我們能利用這樣一個問題，但目前 還不知道怎么利用它。例如，我們試圖求解的是一個幾何問題，而我們想到的 早TOC\o"1-5"\h\z已解決的有關(guān)問題是三角形問題。但在我們的圖中并沒有三角形；為了有可 能利用所想的問題，我們必須找到一個三角形；所以我們不得不在我們圖中用 添加適當?shù)妮o助線的辦法引入一個三角形。一般說來，當我們想到一個早已解 決的有關(guān)問題后，我們必須經(jīng)常問：為了可能利用它，我們是否應(yīng)該引入某個 輔助元素?(第10節(jié)中的例子是典型的)?；氐蕉x去，我們將有另一個引進輔助元素的機會。例如，說明圓的定義時，我們不僅應(yīng)該提到其圓心和半徑，而且還應(yīng)該把這些幾何元素在圖中表示 出來。如果不把它們表示出來，我們就不能對定義有任何具體的應(yīng)用；敘述定義而不作圖只不過是空口說白話罷了。力圖利用已知結(jié)果和回到定義去，是引入輔助元素的一些最好的理由；但它們不是僅有的理由。為了使問題的概念更完整，更富于啟發(fā)性，更為人所熟悉，我們可以引入輔助元素，雖然目前我們幾乎不知道我們怎樣才能利用這些所添加的元素。我們可能僅僅感覺到加上這樣那樣的元素用那種方式看問題是 個“好念頭”。引入輔助元素可以出自這種理由，也可以來自別的理由，但總得有些理由。我們不能隨隨便便地引入輔助元素。例子。已知三角形一角和由此角頂點向?qū)吽鞯母吆腿切蔚闹荛L，作這個三角形。我們引入適當?shù)挠浱?。令已知角為a，從角a的頂點A向?qū)吽鞯母邽閔，已知周長為P。我們畫張圖，在上面很容易標上a與h。我們是否已利用了所有的 數(shù)據(jù)?沒有!我們的圖并未包括等于三角形周長的已知長度 P。因此，我們必須引入P。但是怎樣做呢？我們可以用各種方式來試圖引入 P。圖9,10所表示的方式看起來很笨拙。如果我們自己琢磨一下為什么這兩張圖看來如此令人不稱心，我們就可能看出是由于缺乏對稱性的緣故。事實上，這個三角形有三條未知邊：a，b，c。我們象通常所做的那樣，把A的對邊叫做a,其余兩邊則相應(yīng)地稱為 b與c。我們知道a+b+c=P這里，邊b與邊c的作用相同；它們是可交換的；我們的問題對于b和c是對稱的。但在圖9和圖10中，b和c的作用卻不相同；放上長度 P，我們對待b和c就不同了；圖9和圖10破壞了問題對 b和c的自然對稱性。我們應(yīng)該這樣來放置P，使得它和b和c的關(guān)系是對稱的。圖9圖10上述考慮可能有助于建議象圖11那樣放置長度P。我們在三角形的邊a的一側(cè)，加上線段CE,其長為b,在三角形的另一側(cè)加上線段BD,其長為C,使得在圖11中線段ED的長度恰好是P,即：b+a+c=P如果我們對作圖題有些經(jīng)驗，我們就不會忘記和 ED一起引入輔助線AD與AE它們都是等腰三角形的底邊。事實上，在問題中引入象等腰三角形這樣簡單而又為人熟悉的元素是合理的。圖11迄今，我們在引入輔助線方面一直是十分幸運的。我們觀察新圖，就可以發(fā)現(xiàn)/EAD和已知角a有一簡單關(guān)系。事實上，利用等腰三角形△ABD與4ACE可知/DAE元/2+90°知道這個特點以后，我們很自然地會去作出^DAE作此三角形時，我們就要引入一個輔助問題，它遠比原來的問題簡單。（4）教師與教科書的作者不應(yīng)當忘記：聰明的學生和聰明的讀者不會滿足 于驗證推理過程的每一步是正確的，他們還要求知道進行各一步的動機和目的。 引入輔助元素是引入注目的一步。如果一條微妙的輔助線在圖中出現(xiàn)得很突然， 看不出任何動機，并且令人驚訝地解決了問題，那末聰明的讀者和學生將會失 望，他們感到上當受騙。因為只有在我們的論證及發(fā)明會創(chuàng)造的能力中充分發(fā) 揮了數(shù)學的作用后，數(shù)學才是有趣味的。如果最引人注目的步驟的動機和目的 不可理解，那么我們在論證和發(fā)明創(chuàng)造方面就學不到什么東西。為使這樣的步 驟可以理解，需要加以適當?shù)恼f明（如前面（3）中所做的那樣），或者精選問題和建議（象第10、18、19、20節(jié)中所做的那樣），這需要大量的時間和精力，但卻 是值得一做的。3.輔助問題輔助問題是這樣一個問題，我們考慮它并非為了它本身，而是因為我們希望通過它幫助我們?nèi)ソ鉀Q另一個問題，即我們原來的問題。原來的問題是我們要達到的目的，而輔助問題只是我們試圖達到目的的手段。一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進來的那扇。人能夠或者至少能夠行動得更聰明些。人的高明之處就在于當他碰到一個不能直接克服的障礙時，他會繞過去；當原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題。想一個輔助問題是一項重要的思維活動。舉出一個有助于另一問題的清晰的問題，能夠清楚地把達到另一目標的手段設(shè)想成一個新目標，這都是運用智的卓越成就。學會 (或教會)怎樣聰明地處理輔助問題是一項重大任務(wù)。例子。求滿足方程的x值：x4-13x2+36=0如果我們看到 x4=(x2)2。我們就會發(fā)現(xiàn)引入y=x2的好處。我們現(xiàn)在得到一個新問題：求滿足方程的y值：y2-13*y+36=O。 這個新問題是一個輔助問題；我們打算把它用作解決原問題的手段。輔助問題的未知數(shù)y可恰如其份地稱為輔助未知數(shù)。例子。在一長方體中已知由一頂點引出的三個棱的長度，求該長方體的對角線。在試圖求解這一問題(第8節(jié))時，我們可由類比(第15節(jié))引導(dǎo)到另一問題：在一長方形中，已知由同一頂點引出的兩個邊的長度，求長方形的對角線。這個新問題是個輔助問題：我們之所以考慮它是因為我們希望從對它的考 慮中引出對原問題有用的東西。好處?？紤]輔助問題的好處可以是多種多樣的。我們可以利用輔助問題的結(jié)果。譬如在例1中，通過求解y的二次方程，我們已經(jīng)求得 y等于4或等于9，然后我們推得x2=4或x2=9,從而求出x的所有可取的值。在其它情況下，我們可以利用輔助問題的方法。如例2中，輔助問題是平面幾何問題；它類比于原來的立體幾何問題，但更為簡單。引入這一類輔助問題是合理的，因為我們希望它是有啟發(fā)性的，它能給我們機會去熟悉以后可用于原問題的某些方法、操作或工具。在例2中，輔助問題的選擇更為幸運，因為仔細地考察它一番之后，我們發(fā)現(xiàn)其方法與結(jié)果均可加以利用(見第15節(jié)和“你是否利用了所有的數(shù)據(jù) ?”那一節(jié))。風險。我們不去考慮原問題，而花費時間與精力去注意輔助問題。如果我們對輔助問題的研究失敗了，那末我們在它上面所花的時間與精力就白白損失了。所以在選擇輔助問題時，我們應(yīng)當加以判斷。對于我們的選擇，我們可能有各種正當理由。輔助問題可以比原來的問題更容易理解；或者它看來更富啟發(fā)性；或者它有某種美的號召力。有時，輔助問題的唯一優(yōu)點是它很新穎，提供了尚未被探索過的可能性；我們選擇它是因為我們對原問題厭倦了，并且看來似乎所有的方法部已用盡了。怎樣找出它。發(fā)現(xiàn)所提問題的解，常常有賴于發(fā)現(xiàn)一個合適的輔助問題。令人不愉快的是，沒有萬靈的方法來發(fā)現(xiàn)合適的輔助問題，正如沒有萬靈 的方法求解一樣。但無論如何，確實有一些問題和建議，它們常常是有所裨益 的。例如，看著未知數(shù)。通過問題的變化常常會使我們想到有用的輔助問題。等價問題。如果兩個問題中每一問題的解都蘊含另一問題的解，就說這兩個問題是等價的。因此，在例1中，原問題與輔助問題等價?？紤]下列定理：A．在任何等邊三角形中，每一角均等于 60°。 B．在任何等角三角形中，每一角均等于60°。此二定理不能看作是同一條定理。它們包含不同的概念：一個與邊的相等 有關(guān)，另一個與三角形的角相等有關(guān)。但每一定理都可由另一定理得出。因此 求證題A與求證題B等價。如果我們需要求證A,則引入求證題B作為一個輔助問題是有某些好處的。定理B的證明要比證明A容易些，而且更重要的是，我們可以預(yù)見到B比A容易；我們可以這樣判斷，我們可能從一開始就發(fā)現(xiàn) B很可能比A容易。事實上，定理B僅與角有關(guān)，它比定理 A更“單一”，定理 A與角和邊都有關(guān)。如果原問題和輔助問題是等價的，則從原問題過渡到輔助問題稱為可逆化歸，或雙向化歸，或等價化歸。例如，A化歸為B(見上文)是可逆的，例1中的化歸也如此。從某個方面說來，可逆化歸比其它引入輔助問題的方法更重要，更 令人想往，但是那些和原問題不等價的輔助問題可能也很有用；見例2。等價輔助問題鏈。等價輔助問題鏈在數(shù)學論證中是屢見不鮮的。我們需要解決問題A;我們看不出解答，但我們可能發(fā)現(xiàn)A與另一問題等價。考慮B時，我們又可能涉及與B等價的第三個問題C。照這樣下去，我們又可將C化為D,如此等等,直到最后得到問題L，其解答為已知或明顯可知。既然每一個問題都和前一個問題等價，則最后一個問題也必定和原問題A等價。于是我們能夠從問題L推出原問題A的解答，而 L是輔助問題鏈的最后一個環(huán)節(jié)。這種問題鏈，正如我們從帕撲斯的重要章節(jié)中所見，早已為希臘數(shù)學家們所注意。我們重新考慮例1作為說明。讓我們稱 (A)為未知數(shù)x的條件：x4-13x2+36=O解決這個問題的一種方法是將所提出條件變換成另一個條件，稱為(B)：(2x2)2-2(2x2)?13+144=0我們觀察到條件(A)與條件(B)不同。如果你愿意，你可以說它們僅僅稍許有些不同。你會很容易相信它們一定等價，但它們肯定不是同一個方程。從(A)過渡至MB)不僅正確，而且有清楚的目的，這對任何熟悉求解二次方程的人來說都是 顯而易見的。沿此一方向繼續(xù)做下去，我們可將條件 (B)再變換成另一條件 (C)：(2x2)2-2(2x2)?13+169=25照此方法繼續(xù)下去，我們有(2x2-13)2=25(E)2x2-13=±5x2=(13±5)/2G)13_x= 552(H) x=3或-3，或2,或-2我們所做的每次化歸都是可逆的。于是最后一個條件(H)與第一個條件(A)等價，所以，3、-3、2、-2是我們原問題所有可能的解。上面我們從原條件(A)導(dǎo)出一系列條件(B),(C),(D),……,每一個都等價于前一個。這一點值得我們給予最大的注意。等價條件是由同一對象滿足的。 因此，如果我們從所提條件過渡到等價于它的新條件，我們就有相同的解。但 是如果我們從所提條件過渡到較窄的條件，我們就失去解；如果我們從所提條 件過渡到較寬的條件，我們則得到非正常的外來解，它與所提問題無關(guān)。如果 在一申連續(xù)的化歸中，我們過渡到較窄的，接著又過渡到較寬的條件，我們可 能完全偏離原來的問題。為了避免這種危險，我們必