2018屆數(shù)學復習第七章立體幾何課時作業(yè)43空間幾何體的表面積與體積（含解析）文

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE17學必求其心得，業(yè)必貴于專精課時作業(yè)43空間幾何體的表面積與體積一、選擇題1．如圖是某一幾何體的三視圖，則這個幾何體的體積為(）A．4 B．8C．16 D．20解析：由三視圖知,此幾何體是一個三棱錐，底面為一邊長為6，高為2的三角形，三棱錐的高為4，所以體積為V＝eq\f（1,3)×eq\f（1，2）×6×2×4＝8。故選B.答案：B2．(2017·黃岡中學月考）某空間組合體的三視圖如圖所示，則該組合體的體積為（）A．48 B．56C．64 D．72解析：該組合體由兩個棱柱組成，上面的棱柱體積為2×4×5＝40,下面的棱柱體積為4×6×1＝24，故組合體的體積為64.故選C.答案：C3．以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將該正方形旋轉(zhuǎn)一周所得圓柱的側(cè)面積等于()A．2π B．πC．2 D．1解析:以邊長為1的正方形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所得的圓柱的底面半徑為1，母線長為1.故側(cè)面積為2πr·l＝2π·1·1＝2π.答案：A4．如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1,且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1－ABC1A.eq\f（\r（3)，12) B.eq\f（\r(3），4)C.eq\f(\r（6)，12) D。eq\f（\r(6)，4）解析:在△ABC中，BC邊上的高為eq\f(\r(3)，2）,即棱錐A－BB1C1的高為eq\f（\r(3），2)，又S△BB1C1＝eq\f（1,2),所以VB1－ABC1＝VA－BB1C1＝eq\f(1，3）×eq\f（1,2)×eq\f（\r(3),2）＝eq\f（\r（3)，12）.答案：A5．（2017·江西九江一模）如圖，網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，粗線是一個棱錐的三視圖,則此棱錐的表面積為（)A．6＋4eq\r（2)＋2eq\r（3） B．8＋4eq\r（2）C．6＋6eq\r（2) D．6＋2eq\r(2)＋4eq\r(3）解析：直觀圖是四棱錐P－ABCD，如圖所示，S△PAB＝S△PAD＝S△PDC＝eq\f(1，2）×2×2＝2,S△PBC＝eq\f（1,2）×2eq\r（2)×2eq\r(2）×sin60°＝2eq\r(3),S四邊形ABCD＝2eq\r（2)×2＝4eq\r(2)，因此所求棱錐的表面積為6＋4eq\r(2)＋2eq\r(3）。故選A。答案：A6．(2017·河南洛陽測試)已知點A,B，C,D均在球O上，AB＝BC＝eq\r（3)，AC＝3，若三棱錐D－ABC體積的最大值為eq\f(3\r（3）,4）,則球O的表面積為()A．36π B．16πC．12π D。eq\f(16，3）π解析：由題意可得，∠ABC＝eq\f（2π,3),△ABC的外接圓半徑r＝eq\r(3),當三棱錐的體積取最大值時，VD－ABC＝eq\f(1,3）S△ABC·h（h為點D到底面ABC的距離）?eq\f(3\r（3），4)＝eq\f（1,3)·eq\f(3\r(3),4)·h?h＝3,設R為球O的半徑，則(3－R)2＝R2－r2?R＝2.故球O的表面積為4π·22＝16π。答案:B二、填空題7．（2016·北京卷）某四棱柱的三視圖如圖所示，則該四棱柱的體積為________．解析：通過俯視圖可知該四棱柱的底面為等腰梯形，則四棱柱的底面積S＝eq\f（1＋2×1,2)＝eq\f（3，2)，通過側(cè)（左)視圖可知四棱柱的高h＝1，所以該四棱柱的體積V＝Sh＝eq\f（3,2).答案：eq\f(3，2)8．（2016·浙江卷）某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm),則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3。解析:將三視圖還原成直觀圖如圖所示，它由2個長方體組合而成，其體積V＝2×2×2×4＝32cm3，表面積為6×2×4＋6×2×2＝72cm2.答案：32729．一個圓錐過軸的截面為等邊三角形，它的頂點和底面圓周在球O的球面上,則該圓錐的體積與球O的體積的比值為________．解析：設等邊三角形的邊長為2a則V圓錐＝eq\f(1，3)·πa2·eq\r（3）a＝eq\f（\r（3),3)πa3;又R2＝a2＋（eq\r（3)a－R）2，所以R＝eq\f（2\r（3)，3)a,故V球＝eq\f(4π,3)·eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(2\r（3),3）a））3＝eq\f（32\r(3)π,27）a3,則其體積比為eq\f（9，32）.答案：eq\f(9,32）三、解答題10．一幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m)(1)試畫出它的直觀圖;(2）求它的表面積和體積．解：解：（1）直觀圖如圖所示．（2)由三視圖可知該幾何體是長方體被截去一個三棱柱，且該幾何體的體積是以A1A，A1D1，A1B1為棱的長方體的體積的eq\f（3，4)，在直角梯形AA1B1B中,作BE⊥A1B1于E，則四邊形AA1EB是正方形,AA1＝BE＝1，在Rt△BEB1中，BE＝1，EB1＝1，所以BB1＝eq\r（2）.所以幾何體的表面積S＝S正方形ABCD＋S矩形A1B1C1D1＋2S梯形AA1B1B＋S矩形BB1C1C＋S正方形AA1D1D＝1＋2×1＋2×eq\f(1,2)×（1＋2）×1＋1×eq\r（2）＋1＝（7＋eq\r（2））（m2)．所以幾何體的體積V＝eq\f(3,4)×1×2×1＝eq\f（3，2）(m3)．所以該幾何體的表面積為（7＋eq\r(2)）m2，體積為eq\f（3，2)m3。11．（2016·新課標全國卷Ⅲ)如圖，四棱錐P－ABCD中,PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3,PA＝BC＝4，M為線段AD上一點，AM＝2MD，N為PC的中點．(Ⅰ)證明MN∥平面PAB;（Ⅱ）求四面體N－BCM的體積．解:（Ⅰ）由已知得AM＝eq\f(2，3)AD＝2.取BP的中點T，連接AT,TN，由N為PC的中點知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，四邊形AMNT為平行四邊形，于是MN∥AT。因為AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面PAB.（Ⅱ)因為PA⊥平面ABCD，N為PC的中點，所以N到平面ABCD的距離為eq\f(1,2)PA.取BC的中點E,連接AE，由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2）＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距離為eq\r(5）,故S△BCM＝eq\f（1,2）×4×eq\r（5)＝2eq\r（5).所以四面體N－BCM的體積VN－BCM＝eq\f（1,3）×S△BCM×eq\f（PA，2)＝eq\f(4\r(5），3).1．(2016·新課標全國卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個體積為V的球，若AB⊥BC，AB＝6,BC＝8，AA1＝3,則VA．4π B.eq\f（9π，2）C．6π D。eq\f（32π，3）解析:由題意可得若V最大，則球與直三棱柱的部分面相切，若與三個側(cè)面都相切，可求得球的半徑為2，球的直徑為4，超過直三棱柱的高，所以這個球放不進去,則球可與上下底面相切，此時球的半徑R＝eq\f(3,2)，該球的體積最大,Vmax＝eq\f(4，3）πR3＝eq\f(4π，3）×eq\f(27,8）＝eq\f(9π,2）.答案：B2．(2017·云南師范大學附屬中學高三適應性考試）已知三棱錐O－ABC的頂點A，B，C都在半徑為2的球面上，O是球心，∠AOB＝120°,當△AOC與△BOC的面積之和最大時，三棱錐O－ABC的體積為(）A。eq\f(\r（3)，2） B。eq\f(2\r（3),3)C。eq\f（2，3） D。eq\f（1,3）解析：設球O的半徑為R,因為S△AOC＋S△BOC＝eq\f(1,2）R2(sin∠AOC＋sin∠BOC)，所以當∠AOC＝∠BOC＝90°時，S△AOC＋S△BOC取得最大值,此時OA⊥OC.OB⊥OC，OB∩OA＝O，所以OC⊥平面AOB，所以VO－ABC＝VC－OAB＝eq\f(1,3)OC·eq\f(1,2)OA·OBsin∠AOB＝eq\f（1，6）R3sin∠AOB＝eq\f（2\r（3),3），故選B.答案:B3．（2016·浙江卷）如圖,在△ABC中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若平面ABC外的點P和線段AC上的點D，滿足PD＝DA，PB＝BA，則四面體PBCD的體積的最大值是________．解析:由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，可得AC＝2eq\r（3),要求四面體PBCD的體積,關(guān)鍵是尋找底面三角形BCD的面積S△BCD和點P到平面BCD的距離h。易知h≤2.設AD＝x，則DP＝x,DC＝2eq\r（3）－x，S△DBC＝eq\f(1,2)×(2eq\r(3）－x)×2×sin30°＝eq\f（2\r（3)－x，2），其中x∈（0,2eq\r(3）），且h≤x，所以VP－BCD＝eq\f(1,3)×S△BCD×h＝eq\f(2\r(3)－x，6)×h≤eq\f（2\r(3）－x,6)·x≤eq\f(1，6）(eq\f(2\r（3)－x＋x,2)）2＝eq\f(1,2），當且僅當2eq\r（3）－x＝x，即x＝eq\r(3）時取等號．故四面體PBCD的體積的最大值是eq\f(1,2）.答案：eq\f(1,2）4．（2016·江蘇卷）現(xiàn)需要設計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1（如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO（1）若AB＝6m,PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6m，則當PO1為多少時，倉庫的容積最大?解：（1）由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8。因為A1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f（1，3)·A1Beq\o\al(2,1）·PO1＝eq\f(1，3）×62×2＝24(m3）．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312（m3）．(2)設A1B1＝am，PO1＝hm,則0〈h<6，O1O＝4h,如圖，連接O1B1.因為在Rt△PO1B1中,O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al（2，1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以(eq\f（\r（2），2)a）2＋h2＝36，即a2＝2（36－h(huán)2)．于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋eq\f（1,3)a2·h＝eq\f（13，3）a2h＝eq\f(26,3）(36h－h(huán)3），0<h〈6，從而V′＝eq\f