廣東省汕頭市和睦初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析

廣東省汕頭市和睦初級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高一數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè)m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，已知m∥α，n⊥β，下列說(shuō)法正確的是（）A．若m⊥n，則α⊥β B．若m∥n，則α⊥β C．若m⊥n，則α∥β D．若m∥n，則α∥β參考答案：B【考點(diǎn)】LO：空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】乘法利用空間線面平行和面面平行的判定定理和性質(zhì)定理對(duì)選項(xiàng)分別分析選擇．【解答】解：由已知m∥α，n⊥β，對(duì)于A，若m⊥n，則α、β可能平行；如圖對(duì)于B，若m∥n，得到m⊥β由面面垂直的判定定理可得α⊥β；故B正確；對(duì)于C，若m⊥n，則α、β有可能相交；如圖對(duì)于D，若m∥n，則m⊥β，由線面垂直的性質(zhì)以及面面垂直的判定定理可得，α⊥β；故D錯(cuò)誤．故選B2.已知，則的值等于（）A.－2 B.4 C.2 D.－4參考答案：B試題分析：本題是分段函數(shù)，求值時(shí)，要注意考察自變量的范圍，，，.考點(diǎn)：分段函數(shù).3.sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于()A．－

B.

C．－

D.參考答案：B4.若平面和直線a，b滿足，，則a與b的位置關(guān)系一定是（

）A.相交 B.平行 C.異面 D.相交或異面參考答案：D【分析】當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.【詳解】當(dāng)時(shí)與相交，當(dāng)時(shí)與異面.故答案為D【點(diǎn)睛】本題考查了直線的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題型.5.如圖，從氣球A上測(cè)得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時(shí)氣球的高是60m，則河流的寬度BC等于（）A．m B．m C．m D．m參考答案：B【考點(diǎn)】解三角形的實(shí)際應(yīng)用．【分析】由題意畫出圖形，由兩角差的正切求出15°的正切值，然后通過(guò)求解兩個(gè)直角三角形得到DC和DB的長(zhǎng)度，作差后可得答案．【解答】解：如圖，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD?tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD?tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的寬度BC等于120（﹣1）m．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題給出實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，求河流在B、C兩地的寬度，著重考查了三角函數(shù)的定義、正余弦定理解三角形的知識(shí)，屬于中檔題．6.已知全集為R，集合A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，則A∪B=(

)A．R B．{x|﹣2≤x≤1} C．A D．B參考答案：A【考點(diǎn)】并集及其運(yùn)算．【專題】計(jì)算題；集合思想；定義法；集合．【分析】由A與B，求出兩集合的并集即可．【解答】解：∵全集為R，A={x|x≤1}，B={x|x≥﹣2}，∴A∪B=R，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了并集及其運(yùn)算，熟練掌握并集的定義是解本題的關(guān)鍵．7.下列各組函數(shù)中表示同一函數(shù)的是A．與

B．與C．與

D．與參考答案：D略8.若函數(shù)是一個(gè)單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍A．

B．

C．

D．參考答案：D9.已知點(diǎn)A(-5,4)、B(3,2),過(guò)點(diǎn)C(-1,2),且與點(diǎn)A、B的距離相等的直線方程是（

）A.x+4y-7=0

B.4x-y+7=0C.x+4y-7=0或x+1=0

D.x+4y-7=0或4x-y+7=0參考答案：C略10.在映射，且，則與中的元素對(duì)應(yīng)的中的元素為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，若，則=_______參考答案：12.已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60°,那么|a+3b|=（

）

A．

B．

C．

D．4參考答案：C略13.若集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為________．參考答案：4略14.已知集合M={（x，y）|y=﹣x+1}，N={（x，y）|y=x﹣1}，那么M∩N為．參考答案：{（1，0）}【考點(diǎn)】交集及其運(yùn)算．【分析】運(yùn)用聯(lián)立方程解方程，再由交集的定義，注意運(yùn)用點(diǎn)集表示．【解答】解：集合M={（x，y）|y=﹣x+1}，N={（x，y）|y=x﹣1}，那么M∩N={（x，y）|}={（1，0）}．故答案為：{（1，0）}．15.某高速公路收費(fèi)站入口處的安全標(biāo)識(shí)墩如圖4所示,墩的上半部分是正四棱錐P-EFGH，下部分是長(zhǎng)方體ABCD-EFGH.圖5和圖6分別是該標(biāo)識(shí)墩的正(主)視圖和俯視圖。（I）請(qǐng)畫出該安全標(biāo)識(shí)墩的側(cè)(左)視圖；（II）求該安全標(biāo)識(shí)墩的體積；（III）證明:直線BD平面PEG。參考答案：（1）側(cè)視圖同正視圖,如下圖所示.

……………4分（2）該安全標(biāo)識(shí)墩的體積為：…8分（3）如圖，連結(jié)EG，HF及BD，EG與HF相交于O，連結(jié)PO.

由正四棱錐的性質(zhì)可知,

平面EFGH,

又

平面PEG

又

平面PEG．

………………12分

略16.（5分）已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊依次為a，b，c，外接圓半徑為1，且滿足，則△ABC面積的最大值為

．參考答案：考點(diǎn)： 正弦定理；余弦定理．專題： 計(jì)算題；解三角形．分析： 利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系化簡(jiǎn)已知等式的左邊，利用正弦定理化簡(jiǎn)已知的等式右邊，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，根據(jù)sinC不為0，可得出cosA的值，然后利用余弦定理表示出cosA，根據(jù)cosA的值，得出bc=b2+c2﹣a2，再利用正弦定理表示出a，利用特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)后，再利用基本不等式可得出bc的最大值，進(jìn)而由sinA的值及bc的最大值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC面積的最大值．解答： 由r=1，利用正弦定理可得：c=2rsinC=2sinC，b=2rsinB=2sinB，∵tanA=，tanB=，∴===，∴sinAcosB=cosA（2sinC﹣sinB）=2sinCcosA﹣sinBcosA，即sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B）=sinC=2sinCcosA，∵sinC≠0，∴cosA=，即A=，∴cosA==，∴bc=b2+c2﹣a2=b2+c2﹣（2rsinA）2=b2+c2﹣3≥2bc﹣3，∴bc≤3（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，取等號(hào)），∴△ABC面積為S=bcsinA≤×3×=，則△ABC面積的最大值為：．故答案為：．點(diǎn)評(píng)： 此題考查了正弦、余弦定理，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，三角形的面積公式，以及基本不等式的運(yùn)用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．17.已知圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是，且側(cè)面面積等于兩底面積之和，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)等于

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.(本題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝，其中向量＝(2cosx,1)，＝(cosx，sin2x＋m)．(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和在[0，π]上的單調(diào)遞增區(qū)間．(2)當(dāng)x∈時(shí)，－4<f(x)<4恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．參考答案：略19.求圓心在直線y=﹣4x上，并且與直線l：x+y﹣1=0相切于點(diǎn)P（3，﹣2）的圓的方程．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0），由圓心在直線y=﹣4x上，并且與直線l：x+y﹣1=0相切于點(diǎn)P（3，﹣2），可以構(gòu)造a，b，r的方程組，解方程組可得a，b，r的值，進(jìn)而得到圓的方程．【解答】解：設(shè)圓的方程為（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2（r＞0）由題意有：解之得∴所求圓的方程為（x﹣1）2+（y+4）2=820.設(shè)是一個(gè)公差為的等差數(shù)列，它的前項(xiàng)和且，，成等比數(shù)列．（）證明．（）求公差的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式．參考答案：【考點(diǎn)】8M：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；85：等差數(shù)列的前項(xiàng)和．【分析】（）由已知可得，代入等差數(shù)列的通項(xiàng)可轉(zhuǎn)化為，整理可得（）結(jié)合（）且有，聯(lián)立方程可求，及．【解答】（）證明：因，，成等比數(shù)列，故，而是等差數(shù)列，有，，于是，即，化簡(jiǎn)得．（）解：由條件和，得到，由（），，代入上式得，故，，因此，數(shù)列的通項(xiàng)公式為．21.如圖，在河的對(duì)岸可以看到兩個(gè)目標(biāo)物M，N，但不能到達(dá)，在河岸邊選取相距40米的兩個(gè)目標(biāo)物P，Q兩點(diǎn)，測(cè)得，，，，試求兩個(gè)目標(biāo)物Ｍ，Ｎ之間的距離.參考答案：解：根據(jù)題意，知

，在中，由正弦定理，得

即

………4分在中，由正弦定理，得

即

………8分在中，由余弦定理，知

故

從而

………12分故兩個(gè)目標(biāo)物M、N之間的距離是米略22.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，不等式的