廣東省江門市古勞中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析

廣東省江門市古勞中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文月考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若為純虛數(shù)，其中R，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C∵為純虛數(shù)，∴，∴．2.設(shè)，則a，b，c的大小關(guān)系是

(

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.甲：函數(shù)，f(x)是R上的單調(diào)遞增函數(shù)；乙：x1<x2，f(x2)<f(x2)，則甲是乙的

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A【知識點】充分條件、必要條件A2根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義可知，若f（x）是

R上的單調(diào)遞增函數(shù)，則?x1＜x2，f（x1）＜f（x2）成立，∴命題乙成立．若：?x1＜x2，f（x1）＜f（x2）．則不滿足函數(shù)單調(diào)性定義的任意性，∴命題甲不成立．∴甲是乙成立的充分不必要條件．【思路點撥】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義進行判斷．4.（5分）角α的終邊經(jīng)過點P（﹣2sin60°，2cos30°），則sinα的值（） A． B． ﹣ C． D． 參考答案：D考點： 任意角的三角函數(shù)的定義．專題： 三角函數(shù)的求值．分析： 先利用角α的終邊求得tanα的值，進而利用點（﹣2sin60°，2cos30°），判斷出α的范圍，進而利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得sinα的值．解答： 依題意可知tanα==﹣1，∵2cos30°＞0，﹣2sin60°＜0，∴α屬于第二象限角，∴sinα==．故選：D．點評： 本題主要考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的運用．解題的關(guān)鍵是利用α的范圍確定sinα的正負．5.把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，若，為虛數(shù)單位，則=（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A6.設(shè)函數(shù)是定義域在R上的奇函數(shù)，若的最小正周期為3，且，則的取值范圍是（

）A．

B．

C．或

D．或參考答案：答案：D7.已知命題函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.給出下列命題：①;②;③;④其中真命題的個數(shù)為A.1

B.2

C.3

D.4參考答案：A當(dāng)時,故命題為假命題.函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.故命題為假命題.從而④為真命題,選A.

8.已知函數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：【知識點】定積分與微積分基本定理B13【答案解析】B

f(x)dx=（x+1）2dx+dx，∵（x+1）2dx=（x+1）3=，dx表示以原點為圓心以1為為半徑的圓的面積的四分之一，故dx=∴f(x)dx=（x+1）2dx+dx=+=，故選：B【思路點撥】先根據(jù)條件可化為f(x)dx=（x+1）2dx+dx，再根據(jù)定積分以及定積分的幾何意義，求出即可．9.設(shè)、為兩個不同的平面，、、為三條互不相同的直線，給出下列四個命題：①若，，則；②若，，，，則；③若，，則；④若、是異面直線，，且，，則．其中真命題的序號是（

）A．①③④

B．①②③

C．①③

D．②④參考答案：A10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是邊長為的等邊三角形，為了得到的圖象，只需將的圖象（

）A．向左平移個長度單位B．向右平移個長度單位C．向左平移個長度單位D．向右平移個長度單位參考答案：A試題分析：依題意可知，，，所以，，由于，所以為了得到的圖象，只需將的圖象向左平移個長度單位，選．考點：1.；2.三角函數(shù)圖象變換．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.（13分）若不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+對任意的實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是．參考答案：（﹣∞，1）∪{3}【考點】：絕對值不等式的解法．【專題】：計算題；不等式的解法及應(yīng)用．【分析】：不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+對任意的實數(shù)x恒成立，轉(zhuǎn)化為a+小于等于函數(shù)y=|x+2|+|x﹣3|的最小值，根據(jù)絕對值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+2|+|x﹣3|的最小值為5，因此原不等式轉(zhuǎn)化為分式不等式的求解問題．【解答】：解：令y=|x+2|+|x﹣3|，由絕對值不等式的幾何意義可知函數(shù)y=|x+2|+|x﹣3|的最小值為5，∵不等式|x+2|+|x﹣3|≥a+對任意的實數(shù)x恒成立，∴原不等式可化為a+≤5，解得a=3或a＜1，故答案為：（﹣∞，1）∪{3}．【點評】：考查絕對值不等式的幾何意義，把恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，屬中檔題．12.如圖，已知三棱錐A-BCD的四個頂點A、B、C、D都在球O的表面上，是正三角形，是等腰直角三角形，，若二面角的余弦值為，則球O到平面BCD的距離為________．

參考答案：1取CD的中點E，連接AE，BE，由題可得：，因為二面角的余弦值為，在中，由余弦定理得，∴,所以，線段為的球直徑，故，延長BE，過點A作AG垂直于BE的延長線于點G，∴，所以球心到平面的距離為1．13.設(shè)口袋中有黑球、白球共9個球。從中任取2個球，若取到白球個數(shù)的數(shù)學(xué)期望為，則口袋中白球的個數(shù)為

。參考答案：314.在如右圖所示程序框圖中，任意輸入一次與，則能輸出“恭喜中獎！”的概率為

. 參考答案：15.若實數(shù)x，y滿足不等式組，則的最大值為

。參考答案：616.已知△ABC的三個頂點在同一個球面上，AB=6，BC=8，AC=10．若球心O到平面ABC的距離為5，則該球的表面積為．參考答案：200π【考點】球的體積和表面積．【專題】計算題；球．分析；關(guān)鍵題意，畫出圖形，結(jié)合圖形，求出球的半徑R，即可計算球的表面積．解：如圖所示：∵AB=6，BC=8，AC=10．∠ABC=90°，∴取AC的中點M，則球面上A、B、C三點所在的圓即為⊙M，連接OM，則OM即為球心到平面ABC的距離，在Rt△OAM中，OM=5，MA=AC=5，∴OA=5，即球O的半徑為5．∴球O的表面積為S=4π?=200π．故答案為：200π．【點評】本題考查了球的體積的計算問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)條件求出球的半徑，是基礎(chǔ)題目．17.設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的值為_______參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=（x2﹣a）ex，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若在區(qū)間（1，2）上存在不相等的實數(shù)m，n，使f（m）=f（n）成立，求a的取值范圍；（Ⅲ）若函數(shù)f（x）有兩個不同的極值點x1，x2，求證：f（x1）f（x2）＜4e﹣2．參考答案：【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）將a=0代入函數(shù)的表達式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）問題轉(zhuǎn)化為求使函數(shù)f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不為單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍，通過討論x的范圍，得到函數(shù)的單調(diào)性，進而求出a的范圍；（Ⅲ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，找到函數(shù)的極值點，從而證明出結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時，f（x）=x2ex，f′（x）=ex（x2+2x），由ex（2x2+2x）=0，解得：x=0，x=﹣2，當(dāng)x∈（﹣∞，﹣2）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；當(dāng)x∈（﹣2，0）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．所以f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；（Ⅱ）依題意即求使函數(shù)f（x）=ex（x2﹣a）在（1，2）上不為單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍，而f′（x）=ex（x2+2x﹣a），設(shè)g（x）=x2+2x﹣a，則g（1）=3﹣a，g（2）=8﹣a，因為g（x）在（1，2）上為增函數(shù)．當(dāng)，即當(dāng)3＜a＜8時，函數(shù)g（x）在（1，2）上有且只有一個零點，設(shè)為x0，當(dāng)x∈（1，x0）時，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）為減函數(shù)；當(dāng)x∈（x0，2）時，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）為增函數(shù)，滿足在（1，2）上不為單調(diào)函數(shù)．當(dāng)a≤3時，g（1）≥0，g（2）≥0，所以在（1，2）上g（x）＞0成立（因g（x）在（1，2）上為增函數(shù)），所以在（1，2）上f′（x）＞0成立，即f（x）在（1，2）上為增函數(shù)，不合題意．同理a≥8時，可判斷f（x）在（1，2）為減函數(shù)，不合題意．綜上：3＜a＜8．（Ⅲ）f′（x）=ex（x2+2x﹣a）．因為函數(shù)f（x）有兩個不同的零點，即f′（x）有兩個不同的零點，即方程x2+2x﹣a=0的判別式△=4+4a＞0，解得：a＞﹣1，由x2+2x﹣a=0，解得x1=﹣1﹣，x2=﹣1+．此時x1+x2=﹣2，x1?x2=﹣a，隨著x變化，f（x）和f′（x）的變化情況如下：x（﹣∞，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）遞增極大值遞減極小值遞增所以x1是f（x）的極大值點，x2是f（x）的極小值點，所以f（x1）是極大值，f（x2）是極小值，∴f（x1）f（x2）=（﹣a）?（﹣a）==e﹣2[a2﹣a（4+2a）+a2]=﹣4ae﹣2，因為a＞﹣1，所以﹣4ae﹣2＜4e﹣2，所以f（x1）f（x2）＜4e﹣2．【點評】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值問題，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，熟練掌握基礎(chǔ)知識并對其靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵，本題是一道難題．19.某市質(zhì)監(jiān)部門對市場上奶粉進行質(zhì)量抽檢，現(xiàn)將9個進口品牌奶粉的樣品編號為1，2，3，4，…，9；6個國產(chǎn)品牌奶粉的樣品編號為10，11，12，…，15，按進口品牌及國產(chǎn)品牌分層進行分層抽樣，從其中抽取5個樣品進行首輪檢驗，用表示編號為的樣品首輪同時被抽到的概率．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求所有的的和．參考答案：（Ⅰ）由分層抽樣可知：首輪檢驗從編號為1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的樣品中抽取3個，從編號為10，11，…，15的國產(chǎn)品牌奶粉的樣品中抽取2個，故＝＝．

……4分（Ⅱ）①當(dāng)時，＝＝，而這樣的有=36個；②當(dāng)時，＝，而這樣的有=15個；③當(dāng)時，＝＝，而這樣的有=54個．所以，所有的的和為×36＋×15＋×54＝10．

……13分略20.（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)＝cos(2x＋)＋sin2x(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間及最小正周期；(2)設(shè)銳角△ABC的三內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若c＝，cosB＝，f()＝－，求b.參考答案：21.（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=xf′（x），x≥0，其中f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）若f（x）≥ag（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）設(shè)n∈N+，比較g（1）+g（2）+…+g（n）與n﹣f（n）的大小，并加以證明．參考答案：由題設(shè)得，（Ⅰ）由已知，，…可得下面用數(shù)學(xué)歸納法證明．①當(dāng)n=1時，，結(jié)論成立．②假設(shè)n=k時結(jié)論成立，即，那么n=k+1時，=即結(jié)論成立．由①②可知，結(jié)論對n∈N+成立．（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，即ln（1+x）≥恒成立．設(shè)φ（x）=ln（1+x）﹣（x≥0），則φ′（x）=，當(dāng)a≤1時，φ′（x）≥0（僅當(dāng)x=0，a=1時取等號成立），∴φ（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又φ（0）=0，∴φ（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．∴當(dāng)a≤1時，ln（1+x）≥恒成立，（僅當(dāng)x=0時等號成立）當(dāng)a＞1時，對x∈（0，a﹣1]有φ′（x）＜0，∴φ（x）在∈（0，a﹣1]上單調(diào)遞減，∴φ（a﹣1）＜φ（0）=0即當(dāng)a＞1時存在x＞0使φ（x）＜0，故知ln（1+x）≥不恒成立，綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，1]．（Ⅲ）由題設(shè)知，g（1）+g（2）+…+g（n）=，n﹣f（n）=n﹣ln（n+1），比較結(jié)果為g（1）+g（2）+…+g（n）＞n﹣ln（n+1）證明如下：上述不等式等價于，在（Ⅱ）中取a=1，可得，令則故有，ln3﹣ln2，…，上述各式相加可得結(jié)論得證．22.北京時間3月15日下午，谷歌圍棋人工智能AlphaGo與韓國棋手李世石進行最后一輪較量，AlphaGo獲得本場比賽勝利，最終人機大戰(zhàn)總比分定格在1：4．人機大戰(zhàn)也引發(fā)全民對圍棋的關(guān)注，某學(xué)校社團為調(diào)查學(xué)生學(xué)習(xí)圍棋的情況，隨機抽取了100名學(xué)生進行調(diào)查．根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學(xué)生日均學(xué)習(xí)圍棋時間的頻率分布直方圖（如圖所示），將日均學(xué)習(xí)圍棋時間不低于40分鐘的學(xué)生稱為“圍棋迷”．

非圍棋迷圍棋迷合計男301545女451055合計7525100（1）根據(jù)已知條件完成如圖列聯(lián)表，并據(jù)此資料判斷你是否有95%的把握認為“圍棋迷”與性別有關(guān)？（2）將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率．現(xiàn)在從該地區(qū)大量