2023秋八年級數(shù)學(xué)下冊第二十二章四邊形22.5菱形第2課時菱形的判定教案（新版）冀教版

2023秋八年級數(shù)學(xué)下冊第二十二章四邊形22.5菱形第2課時菱形的判定教案（新版）冀教版菱形的判定1．掌握菱形的判定方法；(重點)2．探究菱形的判定條件并合理利用它進行論證和計算．(難點)一、情境導(dǎo)入我們已經(jīng)知道，有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形．這是菱形的定義，我們可以根據(jù)定義來判定一個四邊形是菱形．除此之外，還能找到其他的判定方法嗎？菱形是一個中心對稱圖形，也是一個軸對稱圖形，具有如下的性質(zhì)：1．兩條對角線互相垂直平分；2．四條邊都相等；3．每條對角線平分一組對角．這些性質(zhì)，對我們尋找判定菱形的方法有什么啟示呢？二、合作探究探究點一：菱形的判定【類型一】利用“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形〞判定四邊形是菱形如圖，在△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點，BE＝2DE，延長DE到點F，使得EF＝BE，連接CF.求證：四邊形BCFE是菱形．解析：由題意易得，EF與BC平行且相等，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形．證明：∵BE＝2DE，EF＝BE，∴EF＝2DE.∵D、E分別是AB、AC的中點，∴BC＝2DE且DE∥BC，∴EF＝BC.又∵EF∥BC，∴四邊形BCFE是平行四邊形．又∵EF＝BE，∴四邊形BCFE是菱形．方法總結(jié)：菱形必須滿足兩個條件：一是平行四邊形；二是一組鄰邊相等．【類型二】利用“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形〞判定四邊形是菱形如圖，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點C，BD平分∠ABC，且交AE于點D，連接CD.求證：(1)AC⊥BD；(2)四邊形ABCD是菱形．解析：(1)證得△BAC是等腰三角形后利用“三線合一〞的性質(zhì)得到AC⊥BD即可；(2)首先證得四邊形ABCD是平行四邊形，然后根據(jù)“對角線互相垂直〞得到平行四邊形是菱形．證明：(1)∵AE∥BF，∴∠BCA＝∠CAD.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BCA＝∠BAC，∴△BAC是等腰三角形．∵BD平分∠ABC，∴AC⊥BD；(2)∵△BAC是等腰三角形，∴AB＝CB.∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD.∵AE∥BF，∴∠CBD＝∠BDA，∴∠ABD＝∠BDA，∴AB＝AD，∴DA＝CB.∵BC∥DA，∴四邊形ABCD是平行四邊形．∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD是菱形．方法總結(jié)：用判定方法“對角線互相垂直的平行四邊形是菱形〞證明四邊形是菱形的前提條件是該四邊形是平行四邊形；對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形．【類型三】利用“四條邊相等的四邊形是菱形〞判定四邊形是菱形如圖，△ABC，按如下步驟作圖：①分別以A，C為圓心，大于eq\f(1,2)AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF.(1)求證：△AED≌△CFD；(2)求證：四邊形AECF是菱形．解析：(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE＝CE，AD＝CD.然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED，利用“AAS〞證得兩三角形全等即可；(2)根據(jù)(1)中全等得到AE＝CF.然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC＝EA，F(xiàn)C＝FA.從而得到EC＝EA＝FC＝FA，利用“四邊相等的四邊形是菱形〞判定四邊形AECF為菱形．證明：(1)由作圖知PQ為線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，AD＝CD.∵CF∥AB，∴∠EAC＝∠FCA，∠CFD＝∠AED.在△AED與△CFD中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠EAC＝∠FCA，,∠AED＝∠CFD，,AD＝CD，))∴△AED≌△CFD(AAS)；(2)∵△AED≌△CFD，∴AE＝CF.∵EF為線段AC的垂直平分線，∴EC＝EA，F(xiàn)C＝FA，∴EC＝EA＝FC＝FA，∴四邊形AECF為菱形．方法總結(jié)：判定一個四邊形是菱形把握以下兩起點：(1)以四邊形為起點進行判定；(2)以平行四邊形為起點進行判定．探究點二：菱形的判定的應(yīng)用【類型一】菱形判定中的開放性問題如圖，平行四邊形ABCD中，AF、CE分別是∠BAD和∠BCD的平分線，根據(jù)現(xiàn)有的圖形，請?zhí)砑右粋€條件，使四邊形AECF為菱形，那么添加的一個條件可以是__________(只需寫出一個即可，圖中不能再添加別的“點〞和“線〞)．解析：∵AD∥BC，∴∠FAD＝∠AFB.∵AF是∠BAD的平分線，∴∠BAF＝∠FAD，∴∠BAF＝∠AFB，∴AB＝BF.同理ED＝CD.∵AD＝BC，AB＝CD，∴AE＝CF.又∵AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，那么添加的一個條件可以是AC⊥EF.方法總結(jié)：菱形的判定方法常用的是三種：(1)定義；(2)四邊相等的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形．【類型二】菱形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E是CD上一點，BE交AC于F，連接DF.(1)求證：∠BAC＝∠DAC，∠AFD＝∠CFE；(2)假設(shè)AB∥CD，試證明四邊形ABCD是菱形；(3)在(2)的條件下，試確定E點的位置，使得∠EFD＝∠BCD，并說明理由．解析：(1)首先利用“SSS〞證明△ABC≌△ADC，可得∠BAC＝∠DAC.再證明△ABF≌△ADF，可得∠AFD＝∠AFB，進而得到∠AFD＝∠CFE；(2)首先證明∠CAD＝∠ACD，再根據(jù)“等角對等邊〞，可得AD＝CD.再由條件AB＝AD，CB＝CD，可得AB＝CB＝CD＝AD，可得四邊形ABCD是菱形；(3)首先證明△BCF≌△DCF，可得∠CBF＝∠CDF，再根據(jù)BE⊥CD可得∠BEC＝∠DEF＝90°，進而得到∠EFD＝∠BCD.(1)證明：在△ABC和△ADC中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,BC＝DC，,AC＝AC，))∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠BAC＝∠DAC.在△ABF和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠BAF＝∠DAF，,AF＝AF，))∴△ABF≌△ADF(SAS)，∴∠AFD＝∠AFB.∵∠AFB＝∠CFE，∴∠AFD＝∠CFE；(2)證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD.又∵∠BAC＝∠DAC，∴∠CAD＝∠ACD，∴AD＝CD.∵AB＝AD，CB＝CD，∴AB＝CB＝CD＝AD，∴四邊形ABCD是菱形；(3)解：當(dāng)EB⊥CD于E時，∠EFD＝∠BCD.理由如下：∵四邊形ABCD為菱形，∴BC＝CD，∠BCF＝∠DCF.在△BCF和△DCF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BC＝CD，,∠BCF＝∠DCF，,CF＝CF，))∴△BCF≌△DCF(SAS)，∴∠CBF＝∠CDF.∵BE⊥CD，∴∠BEC＝∠DEF＝90°，那么∠BCD＋∠CBF＝∠EFD＋∠CDF＝90°，∴∠EFD＝∠BCD.方法總結(jié)：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及菱形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．