2023年山西省呂梁市重點高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知平面向量滿足與的夾角為,且,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.2.已知向量,,則向量在向量上的投影是()A. B. C. D.3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則輸入的整數(shù)的最大值為()A.7 B.15 C.31 D.634.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.45.某大學(xué)計算機學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別,數(shù)據(jù)分析、機器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個方向展開研究,且每個方向均有研究生學(xué)習(xí),其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別,則這6名研究生不同的分配方向共有()A.480種 B.360種 C.240種 D.120種6.《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形的直三棱柱稱為“塹堵”.某“塹堵”的三視圖如圖,則它的外接球的表面積為()A.4π B.8π C. D.7.執(zhí)行如圖的程序框圖,若輸出的結(jié)果,則輸入的值為()A. B.C.3或 D.或8.如圖,在棱長為4的正方體中,E,F(xiàn),G分別為棱AB,BC,的中點,M為棱AD的中點,設(shè)P,Q為底面ABCD內(nèi)的兩個動點,滿足平面EFG,,則的最小值為()A. B. C. D.9.在中,,,,則邊上的高為()A. B.2 C. D.10.已知復(fù)數(shù),若,則的值為()A.1 B. C. D.11.閱讀下側(cè)程序框圖,為使輸出的數(shù)據(jù)為31,則①處應(yīng)填的數(shù)字為A.4 B.5 C.6 D.712.已知雙曲線()的漸近線方程為,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)在處的切線方程是____________.14.已知,,,的夾角為30°,,則_________.15.某中學(xué)數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn)班共有10人,分為甲、乙兩個小組,在一次階段測試中兩個小組成績的莖葉圖如圖所示,若甲組5名同學(xué)成績的平均數(shù)為81,乙組5名同學(xué)成績的中位數(shù)為73,則x-y的值為________.16.《易經(jīng)》是中國傳統(tǒng)文化中的精髓,如圖是易經(jīng)八卦(含乾、坤、巽、震、坎、離、艮、兌八卦),每一卦由三根線組成(""表示一根陽線,""表示一根陰線),從八卦中任取兩卦,這兩卦的六根線中恰有兩根陽線,四根陰線的概率為_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知圓C:,橢圓E:()的右頂點A在圓C上,右準(zhǔn)線與圓C相切.(1)求橢圓E的方程;(2)設(shè)過點A的直線l與圓C相交于另一點M,與橢圓E相交于另一點N.當(dāng)時,求直線l的方程.18.(12分)已知橢圓:(),與軸負(fù)半軸交于,離心率.(1)求橢圓的方程;(2)設(shè)直線:與橢圓交于,兩點,連接,并延長交直線于,兩點,已知,求證:直線恒過定點,并求出定點坐標(biāo).19.(12分)P是圓上的動點,P點在x軸上的射影是D,點M滿足.(1)求動點M的軌跡C的方程,并說明軌跡是什么圖形;(2)過點的直線l與動點M的軌跡C交于不同的兩點A,B,求以O(shè)A,OB為鄰邊的平行四邊形OAEB的頂點E的軌跡方程.20.(12分)在中,設(shè)、、分別為角、、的對邊,記的面積為,且.(1)求角的大??;(2)若,,求的值.21.(12分)在極坐標(biāo)系中,已知曲線,.(1)求曲線、的直角坐標(biāo)方程,并判斷兩曲線的形狀;(2)若曲線、交于、兩點,求兩交點間的距離.22.(10分)已知函數(shù),.(1)若,,求實數(shù)的值.(2)若,,求正實數(shù)的取值范圍.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.D【解析】

由已知可得,結(jié)合向量數(shù)量積的運算律,建立方程,求解即可.【詳解】依題意得由,得即,解得.故選:.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算,向量垂直的應(yīng)用,考查計算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

先利用向量坐標(biāo)運算求解,再利用向量在向量上的投影公式即得解【詳解】由于向量,故向量在向量上的投影是.故選:A【點睛】本題考查了向量加法、減法的坐標(biāo)運算和向量投影的概念,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.3.B【解析】試題分析:由程序框圖可知:①,;②,;③,;④,;⑤,.第⑤步后輸出,此時,則的最大值為15,故選B.考點:程序框圖.4.C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.5.B【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成:有人、有人兩種情況進行分類討論,結(jié)合捆綁計算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時,有種,當(dāng)人臉識別方向有1人時,有種,∴共有360種.故選:B【點睛】本小題主要考查簡單排列組合問題,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.6.B【解析】

由三視圖判斷出原圖,將幾何體補形為長方體,由此計算出幾何體外接球的直徑,進而求得球的表面積.【詳解】根據(jù)題意和三視圖知幾何體是一個底面為直角三角形的直三棱柱,底面直角三角形的斜邊為2,側(cè)棱長為2且與底面垂直,因為直三棱柱可以復(fù)原成一個長方體,該長方體外接球就是該三棱柱的外接球,長方體對角線就是外接球直徑,則,那么.故選:B【點睛】本小題主要考查三視圖還原原圖,考查幾何體外接球的有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】

根據(jù)逆運算,倒推回求x的值,根據(jù)x的范圍取舍即可得選項.【詳解】因為,所以當(dāng),解得

,所以3是輸入的x的值;當(dāng)時,解得,所以是輸入的x的值,所以輸入的x的值為

或3,故選:D.【點睛】本題考查了程序框圖的簡單應(yīng)用,通過結(jié)果反求輸入的值,屬于基礎(chǔ)題.8.C【解析】

把截面畫完整,可得在上,由知在以為圓心1為半徑的四分之一圓上,利用對稱性可得的最小值.【詳解】如圖,分別取的中點,連接,易證共面,即平面為截面,連接,由中位線定理可得,平面,平面,則平面,同理可得平面,由可得平面平面,又平面EFG,在平面上,∴.正方體中平面,從而有,∴,∴在以為圓心1為半徑的四分之一圓(圓在正方形內(nèi)的部分)上,顯然關(guān)于直線的對稱點為,,當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號,∴所求最小值為.故選:C.【點睛】本題考查空間距離的最小值問題,解題時作出正方體的完整截面求出點軌跡是第一個難點,第二個難點是求出點軌跡,第三個難點是利用對稱性及圓的性質(zhì)求得最小值.9.C【解析】

結(jié)合正弦定理、三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,求得邊長,由此求得邊上的高.【詳解】過作,交的延長線于.由于,所以為鈍角,且,所以.在三角形中,由正弦定理得,即,所以.在中有,即邊上的高為.故選:C【點睛】本小題主要考查正弦定理解三角形,考查三角形的內(nèi)角和定理、兩角和的正弦公式,屬于中檔題.10.D【解析】由復(fù)數(shù)模的定義可得:,求解關(guān)于實數(shù)的方程可得:.本題選擇D選項.11.B【解析】考點:程序框圖.分析:分析程序中各變量、各語句的作用,再根據(jù)流程圖所示的順序,可知:該程序的作用是利用循環(huán)求S的值,我們用表格列出程序運行過程中各變量的值的變化情況,不難給出答案.解:程序在運行過程中各變量的值如下表示:Si是否繼續(xù)循環(huán)循環(huán)前11/第一圈32是第二圈73是第三圈154是第四圈315否故最后當(dāng)i<5時退出,故選B.12.A【解析】

根據(jù)雙曲線方程(),確定焦點位置,再根據(jù)漸近線方程得到求解.【詳解】因為雙曲線(),所以,又因為漸近線方程為,所以,所以.故選:A.【點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì),還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

求出和的值,利用點斜式可得出所求切線的方程.【詳解】,則,,.因此,函數(shù)在處的切線方程是,即.故答案為:.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線方程,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14.1【解析】

由求出,代入,進行數(shù)量積的運算即得.【詳解】,存在實數(shù),使得.不共線,.,,,的夾角為30°,.故答案為:1.【點睛】本題考查向量共線定理和平面向量數(shù)量積的運算,屬于基礎(chǔ)題.15.【解析】

根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),結(jié)合平均數(shù)與中位數(shù)的概念,求出x、y的值.【詳解】根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù),得:甲班5名同學(xué)成績的平均數(shù)為,解得;又乙班5名同學(xué)的中位數(shù)為73,則;.故答案為:.【點睛】本題考查莖葉圖及根據(jù)莖葉圖計算中位數(shù)、平均數(shù),考查數(shù)據(jù)分析能力,屬于簡單題.16.【解析】

觀察八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線或全為陰線各一個,還有6個是1陰2陽和1陽2陰各3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰。【詳解】八卦中陰線和陽線的情況為3線全為陽線的一個,全為陰線的一個,1陰2陽的3個,1陽2陰的3個。抽取的兩卦中共2陽4陰的所有可能情況是一卦全陰、另一卦2陽1陰,或兩卦全是1陽2陰。∴從8個卦中任取2卦,共有種可能,兩卦中共2陽4陰的情況有,所求概率為。故答案為:?!军c睛】本題考查古典概型,解題關(guān)鍵是確定基本事件的個數(shù)。本題不能受八卦影響,我們關(guān)心的是八卦中陰線和陽線的條數(shù),這樣才能正確地確定基本事件的個數(shù)。三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1)(2)或.【解析】

(1)圓的方程已知,根據(jù)條件列出方程組,解方程即得;(2)設(shè),,顯然直線l的斜率存在,方法一:設(shè)直線l的方程為:,將直線方程和橢圓方程聯(lián)立,消去,可得,同理直線方程和圓方程聯(lián)立,可得,再由可解得,即得;方法二:設(shè)直線l的方程為:,與橢圓方程聯(lián)立,可得,將其與圓方程聯(lián)立,可得,由可解得,即得.【詳解】(1)記橢圓E的焦距為().右頂點在圓C上,右準(zhǔn)線與圓C:相切.解得,,橢圓方程為:.(2)法1:設(shè),,顯然直線l的斜率存在,設(shè)直線l的方程為:.直線方程和橢圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,整理得.由,解得.直線方程和圓方程聯(lián)立,由方程組消去y得,由,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.分法2:設(shè),,當(dāng)直線l與x軸重合時,不符題意.設(shè)直線l的方程為:.由方程組消去x得,,解得.由方程組消去x得,,解得.又,則有.即,解得,故直線l的方程為或.【點睛】本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,以及直線和橢圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的分析和運算能力.18.(1)(2)證明見解析;定點坐標(biāo)為【解析】

(1)由條件直接算出即可(2)由得,,,由可得,同理,然后由推出即可【詳解】(1)由題有,.∴,∴.∴橢圓方程為.(2)由得,.又∴,同理又∴∴∴∴∴∴,此時滿足∴∴直線恒過定點【點睛】涉及橢圓的弦長、中點、距離等相關(guān)問題時,一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”“整體帶入”等解法.19.(1)點M的軌跡C的方程為,軌跡C是以,為焦點,長軸長為4的橢圓(2)【解析】

(1)設(shè),根據(jù)可求得,代入圓的方程可得所求軌跡方程;根據(jù)軌跡方程可知軌跡是以,為焦點,長軸長為的橢圓;(2)設(shè),與橢圓方程聯(lián)立,利用求得;利用韋達(dá)定理表示出與,根據(jù)平行四邊形和向量的坐標(biāo)運算求得,消去后得到軌跡方程;根據(jù)求得的取值范圍,進而得到最終結(jié)果.【詳解】(1)設(shè),則由知:點在圓上點的軌跡的方程為:軌跡是以,為焦點,長軸長為的橢圓(2)設(shè),由題意知的斜率存在設(shè),代入得:則,解得:設(shè),,則四邊形為平行四邊形又∴,消去得:頂點的軌跡方程為【點睛】本題考查圓錐曲線中的軌跡方程的求解問題,關(guān)鍵是能夠利用已知中所給的等量關(guān)系建立起動點橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式,進而通過化簡整理得到結(jié)果;易錯點是求得軌跡方程后,忽略的取值范圍.20.(1);(2)【解析】

(1)由三角形面積公式,平面向量數(shù)量積的運算可得,結(jié)合范圍,可求,進而可求的值.(2)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求,利用兩角和的正弦函數(shù)公式可求的值,由正弦定理可求得的值.【詳解】解:(1)由,得,因為,所以,可得:.(2)中,,所以.所以:,由正弦定理,得,解得,【點睛】本題主要考查了三角形面積公式,平面向量數(shù)量積的運算,同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,兩角和的正弦函數(shù)公式,正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.21.(1)表示一條直線,是圓心為,半徑為的圓;(2).【解析】

(1)直接利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,進而可判斷出曲線的形狀,在曲線的方程兩邊同時乘以得,由可將曲線的方程化為直角坐標(biāo)方程,由此可判斷出曲線的形狀;(2)由直線過圓的圓心,可得出為圓的一條直徑,進而可得出.【詳解】(1),則曲線的普通方程為,曲線表示一條直線;由,得,則曲線的直角坐標(biāo)方程為,即.所以,曲線是圓心為,半徑為的圓;(2)由(1)知,點在直線上,直線過圓的圓心.因此,是圓的直徑,.【點睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線截圓所得弦長的計算,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.22.(1)1(2)【解析】

(1)求得和,由,,得,令,令導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性,利用,即可求解.(2)解法一:令,利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為,令(),利用導(dǎo)數(shù)得到的單調(diào)

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