2023年人教版初中數(shù)學相交線與平行線知識點

第五章相交線與平行線５．1相交線5.1.1相交線鄰補角與對頂角兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關系的角,它們的概念及性質如下表:圖形頂點邊的關系大小關系對頂角112∠1與∠２有公共頂點∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線對頂角相等即∠1=∠2鄰補角443∠3與∠4有公共頂點∠3與∠４有一條邊公共,另一邊互為反向延長線.∠3+∠4=１８０°注意點：(1)對頂角是成對出現(xiàn)的,對頂角是具有特殊位置關系的兩個角；（2）假如∠α與∠β是對頂角，那么一定有∠α=∠β；反之假如∠α=∠β,那么∠α與∠β不一定是對頂角;(3)假如∠α與∠β互為鄰補角,則一定有∠α+∠β=180°；反之假如∠α+∠β=1８0°,則∠α與∠β不一定是鄰補角;（4)兩直線相交形成的四個角中,每一個角的鄰補角有兩個，而對頂角只有一個．例：如圖,三條直線交于一點,任意找出圖中的四對對頂角.錯解：如圖,對頂角為:(1)∠AOC與∠BOD;（2)∠AOF與∠BＯD;（３)∠ＣOＦ與∠ＤＯＥ;（4）∠AOC與∠BOE.錯解分析:錯解中把有公共頂點的角誤認為是對頂角,導致(２)和(４）錯誤．假如對對頂角的概念沒有真正理解和掌握,在比較復雜的圖形辨認中會產(chǎn)生錯誤．對頂角就是:一個角的兩邊分別是另一個角的兩邊的反向延長線.正解:（1）∠AOC與∠ＢOD;（２)∠ＢOE與∠AOＦ;（3）∠COF與∠DOE；(４）∠COE與∠ＤOＦ．(答案不唯一：∠ＡOE與∠BＯF，∠BＯC與∠AOD也是對頂角）5.1.2垂線1、定義：當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,就說這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足．ABABCDO如圖所示:AB⊥ＣＤ,垂足為O2、在同一平面內,過一點有且只有一條直線與已知直線垂直．3、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短.簡稱:垂線段最短.４、點到直線的距離直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離５.１．３同位角、內錯角、同旁內角12312345678如圖,直線被直線所截1、∠１與∠5在截線的同側，同在被截直線的上方,叫做同位角（位置相同)2、∠5與∠3在截線的兩旁（交錯），在被截直線之間（內),叫做內錯角（位置在內且交錯）3、∠5與∠4在截線的同側,在被截直線之間（內）,叫做同旁內角．6B6BAD2345789FEC11如圖,判斷下列各對角的位置關系:(1）∠１與∠2；（2)∠１與∠7；(3)∠１與∠BAＤ；(4)∠２與∠６;（5）∠5與∠８.解:我們將各對角從圖形中抽出來(或者說略去與有關角無關的線）,得到下列各圖.如圖所示,不難看出∠1與∠２是同旁內角；∠１與∠７是同位角;∠1與∠ＢAＤ是同旁內角;∠２與∠6是內錯角；∠5與∠8對頂角.ABABC17ABF21ABABCD26ADBF1BBAFE58C注意：圖中∠2與∠９，它們是同位角嗎？不是，∵∠２與∠9的各邊分別在四條不同直線上,不是兩直線被第三條直線所截而成.５.２平行線及其鑒定5.2．1平行線1、平行線的概念:在同一平面內,不相交的兩條直線叫做平行線，直線與直線互相平行，記作∥.２、兩條直線的位置關系在同一平面內,兩條直線的位置關系只有兩種：⑴相交;⑵平行.因此當我們得知在同一平面內兩直線不相交時，就可以肯定它們平行;反過來也同樣（這里,我們把重合的兩直線當作一條直線）判斷同一平面內兩直線的位置關系時,可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來擬定：①有且只有一個公共點，兩直線相交;②無公共點，則兩直線平行；③兩個或兩個以上公共點，則兩直線重合（∵兩點擬定一條直線)3、平行公理――平行線的存在性與惟一性通過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行4、平行公理的推論：假如兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行如左圖所示,∵∥,∥∴∥注意符號語言書寫,前提條件是兩直線都平行于第三條直線，才會結論,這兩條直線都平行．例：同一平面內，不相交的兩條線是平行線.錯解：對．錯解分析:平行線是同一平面內兩條直線的位置關系,不相交的兩條線,說的不明確.若是射線或線段有也許不相交．∴說法是錯誤的.正解:同一平面內,不相交的兩條直線是平行線.5.２.2平行線的鑒定鑒定方法1兩條直線被第三條直線所截,假如同位角相等，那么這兩條直線平行簡稱:同位角相等，兩直線平行鑒定方法2兩條直線被第三條直線所截，假如內錯角相等,那么這兩條直線平行簡稱：內錯角相等，兩直線平行鑒定方法3兩條直線被第三條直線所截，假如同旁內角互補，那么這兩條直線平行ABCDABCDEF1234幾何符號語言:∵∠3＝∠２∴AB∥CＤ(同位角相等,兩直線平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD(內錯角相等,兩直線平行)∵∠4+∠2＝180°∴AB∥ＣD(同旁內角互補，兩直線平行)例:判斷下列說法是否對的，假如不對的，請給予改正：(1)不相交的兩條直線必然平行線.（2）在同一平面內不相重合的兩條直線，假如它們不平行,那么這兩條直線一定相交．(3）過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行解:（1）錯誤.平行線是在“同一平面內不相交的兩條直線”.“在同一平面內”是一項重要條件，不能漏掉.（2）對的（3）錯誤.對的的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”.∵假如這一點不在已知直線上,是作不出這條直線的平行線的.例:如圖,由條件∠2＝∠B,∠1=∠D，∠３+∠F=180°,可以鑒定哪兩條直線平行,并說明鑒定的根據(jù)是什么?AABEDFC123解:(1)由∠2=∠B可鑒定AB∥DE，根據(jù)是同位角相等,兩直線平行;(2)由∠１＝∠D可鑒定ＡＣ∥DF,根據(jù)是內錯角相等，兩直線平行；(3）由∠３+∠F=180°可鑒定AＣ∥DF,根據(jù)同旁內角互補，兩直線平行．5.3平行線的性質5．3.1平行線的性質性質1:兩直線平行,同位角相等;性質2：兩直線平行，內錯角相等;ABCDEABCDEF1234幾何符號語言：∵AB∥ＣD∴∠１=∠2（兩直線平行,內錯角相等）∵AB∥CD∴∠3＝∠2(兩直線平行，同位角相等)∵ＡB∥CDADEBC12∴∠4ADEBC12例：已知∠１＝∠B,求證:∠2=∠Ｃ證明:∵∠１=∠B（已知)∴ＤE∥BC（同位角相等,兩直線平行）∴∠2=∠Ｃ(兩直線平行，同位角相等)例：如圖,AＢ∥ＤF,DE∥BC,∠1=6５°ADFBEC12ADFBEC123解:∵DE∥ＢC∴∠2＝∠1＝６5°(兩直線平行，內錯角相等)∵AB∥ＤF∴∠3+∠２=1８0°(兩直線平行，同旁內角互補）∴∠3=１80°－∠2=１80°-65°=１15°例：如圖，直線ＡB,CD分別和直線MN相交于點Ｅ，F(xiàn)，EG平分∠ＢＥN,FＨ平分∠DFN．若AＢ∥ＣＤ,你能說明EG和ＦＨ也平行嗎?錯解：∵EG平分∠BEＮ,∴∠ＢＥG=∠ＢEN.同理，∵ＦH平分∠ＤFN，∴∠DFH=∠DFN.又∵AB∥CD,∴∠BEN=∠DＦN；從而∠BEG=∠DＦH．∴ＥG∥FH.錯解分析：在復雜的圖形中對的地找出同位角、內錯角或同旁內角，是運用平行線的鑒定或性質的前提.認清一對同位角、內錯角或同旁內角的關鍵是弄清截線和被截線，截線就是它們的公共邊，其余兩條邊就是被截線．而∠BEG和∠ＤFＨ不是直線ＥＧ,ＦH被某條直線所截得的同位角,∴由∠BＥG=∠DＦH不能鑒定EG∥FH.正解：∵EＧ平分∠BＥN,∴∠ＢEG＝∠ＧEN=∠BEＮ，同理，∵ＦＨ平分∠DFＮ,∴∠DFH=∠HFN=∠DFN,又∵AＢ∥ＣD,∴∠BEＮ=∠ＤFＮ，從而∠GEＮ=∠HFN.而∠GＥN,∠HFN是直線ＥG，F(xiàn)H被直線MＮ所截得的同位角,∴EG∥FＨ.例：如圖,△AＢC中,已知∠1+∠2＝１8０°,∠３＝∠B,試判斷ＤE與BC的位置關系,并說明理由.錯解：∵∠1+∠２＝1８0°，∴ＥF∥AB.∴∠3+∠BＤE=180°．∵∠3=∠B,∴∠B＋∠BDE=１80°．∴ＤE∥BC.錯解分析:由∠１+∠2=１80°，不能得到EＦ∥AＢ.雖然∠1和∠２是由直線EF和AB被直線DC所截得的角,但由于它們不是同旁內角，∴盡管∠1＋∠2=180°，也不能得到EF∥AB．正解:∵∠1=∠4，∠1+∠2=１8０°,∴∠2＋∠4=１８0°.∴ＥＦ∥DB(同旁內角互補，兩直線平行）.∴∠３＋∠BDE＝180°（兩直線平行,同旁內角互補).∵∠3=∠B,∴∠B+∠ＢDE=180°．∴DE∥ＢＣ(同旁內角互補，兩直線平行）．5.3.２命題、定理、證明1、命題的概念:判斷一件事情的語句，叫做命題．2、命題的組成每個命題都是題設、結論兩部分組成.題設是已知事項,結論是由已知事項推出的事項．3、假如題設成立，那么結論一定成立，這樣的命題叫真命題.假如題設成立,不能保證結論一定成立，這樣的命題叫做假命題．4、通過推理證實而得到的真命題叫做定理.5、在很多情況下,一個命題的對的性需要通過推理才干作出判斷,這個推理過程叫做證明．5．4平移１、平移變換①把一個圖形整體沿某一方向移動，會得到一個新的圖形,新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同.②新圖形的每一點,都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這兩個點是相應點③連接各組相應點的線段平行且相等２、平移的特性:①通過平移之后的圖形與本來的圖形的相應線段平行(或在同一直線上）且相等,相應角相等,圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化.②通