2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題及參考答案

202３年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題第一試（A)一、選擇題(每小題７分,共42分)1．設(shè)實數(shù)a,b，ｃ滿足：,,則()A.0 ? ?B．3??? C．６ ?? ?D.92.若拋物線與x軸只有一個公共點,且過點A（m,ｎ)，Ｂ（m－8，ｎ）,則n＝(）A.8? ?Ｂ.１２?? ?C．16?? ?D.24ABCDEF3.矩形ABCD中,ＡＤ=5，AB=１0,E、F分別為矩形外的兩點，BE=ＤＦ＝4,AF＝ABCDEFA.?? ? B．1５C. ? ?? ?Ｄ.4．已知O為?標(biāo)原點,位于第一象限的點Ａ在反比例函數(shù)的圖象上，位于第二象限的瀹B在反比例函數(shù)的圖象上?且OＡ⊥OB,則taｎ∠AＢO的值為(）A. ??Ｂ.? ? C．１? ??D．2５．已知實數(shù)x（y滿足關(guān)系式,則的最小值為(）A.?? B．???C.１? ? D.6．設(shè)ｎ是小于100的正整數(shù)且使是15的倍數(shù)，則符合條件的所有正整數(shù)ｎ的和是()A．28５ B.350 ? C．540 D．6３5二、填空題（每小題7分，共28分)ABCDFOE7．設(shè)ａ，b是一元二次方程ABCDFOE８.從三邊長均為整數(shù)且周長為2４的三角形中任取一個，它是直角三角形的概率為.９．已知銳角△ＡBC的外心為O，ＡO交BＣ于D，E、F分別為△ＡBＤ、△AＣD的外心,若ＡB＞AC，ＥF=BC,則∠Ｃ-∠B＝.10．將數(shù)字1，2，3，…，34，35，36填在6×6的方格中,每個方格填一個數(shù)字,規(guī)定每行數(shù)字從左到右是從小到大的順序，則第三列所填６個數(shù)字的和的最小值為.第一試(B）一、選擇題（每小題7分,共42分）1.設(shè)實數(shù)a,b,c滿足：，，則()A.１2? ?B.9??? ?C.6? ?D.32．若拋物線與x軸只有一個公共點,且過點A（m，n),B（m-8，n），則n=（)A.8 ?? B．12 ???C．16 ???D.243．矩形ABＣＤ中，ＡＤ＝5，AB＝１０,Ｅ、F分別為矩形外的兩點，ＢE＝DＦ＝４，ＡF=CＥ＝3，則EF＝()A. B.1５?? ?C. ? D．4.已知實數(shù)x，y滿足關(guān)系式，則的最大值為(）A．3 ? ?B.6?? ?C.9 D．125．已知Ｏ為坐標(biāo)原點,位于第一象限的點A在反比例函數(shù)的圖象上，位于第二象限的點B在反比例函數(shù)的圖象上，且OA⊥OB,則tａn∠ABO的值為（)A.? Ｂ. ?Ｃ．１????D．26．設(shè)n是小于10０的正整數(shù)且使是6的倍數(shù),則符合條件的所有正整數(shù)ｎ的和是(）Ａ．784 ? B.850 ?? C.１5３6? D．1634二、填空題(每小題7分，共28分）AOBDC７．設(shè)ａ,b是一元二次方程的兩根，則的值為AOBDC8．三邊長均為整數(shù)且周長為2４的三角形的個數(shù)為.9．C、D兩點在以AB為直徑的半圓周上，AD平分∠ＢＡC,AB＝２０,ＡD=，則ＡC的長為.10．在圓周上按序擺放和為15的五個互不相等的正整數(shù)a，b,ｃ,ｄ,e，使得ab＋bｃ+cd+de+ｅa最小,則這個最小值為.?第二試（A)1．（20分）關(guān)于x的方程有且僅有一個實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍.ABCDPFNEM2．(２５分)如圖,圓內(nèi)接四邊形ＡBCD的對角線AC、BD交于點E,且ＡC⊥BD,AB＝AＣ.過點D作ＤF⊥ＢD，交ＢＡ的延長線于點F，∠BＦD的平分線分別交ABCDPFNEM（1）證明:∠BAD=3∠DＡＣ;(２）假如,證明：MN=MD.３.（25分)設(shè)正整數(shù)m，n滿足:關(guān)于x的方程至少有一個正整數(shù)解，證明：.第二試(B）１．（20分）若正數(shù)a，b滿足aｂ=１,求的最小值.2．（2５分）如圖，圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點E,且AC⊥BD,AＢ=ＡC=BD.過點D作DF⊥BＤ，交BA的延長線于點F,∠BFD的平分線分別交ＡD、BD于點M、N.ABCDFMABCDFMEN（2)假如ＭN=MＤ,證明:BF＝CＤ＋ＤF．3.（25分)若關(guān)于x的方程至少有一個正整數(shù)根,求滿足條件的正整數(shù)k的值.?2023年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽試題參考答案第一試(A)１.解：D．提醒：∵,,∴．2.解：Ｃ．提醒:依題意,有，于是可得.∵拋物線與ｘ軸只有一個公共點，∴,∴．因此．ABCDEFG3.解:Ｃ．提醒：易知∠AFD＝∠BEC=90°,△BEC≌△ABCDEFG延長FＡ,ＥB交于點G.∵∠ＧAB＝90°－∠DAF＝∠AＤF，∠GBA=90°-∠ＣBE=∠BＣE=∠DAF，∴△BGA∽△AＦD,且∠AＧB＝９０°，∴AG=8,BG=6，∴GF＝1１，GE＝１０,∴．4.解：A.提醒：過點A、B分別作AC⊥x軸，ＢD⊥x軸,垂足為C、Ｄ.由OA⊥OB得∠AOB＝９0°,于是可得△AＯＣ∽△ＯBD，∴.5.解:Ｂ．提醒：設(shè),則由題設(shè)條件可知，∴x,y是關(guān)于m的一元二次方程的兩個實數(shù)根，于是有:，解得或.又∵,∴當(dāng)（即）時,取得最小值,最小值為.６．解：D．提醒：∵是１5的倍數(shù)，∴,∴，∴.設(shè)(m是正整數(shù)），則．∵是15的倍數(shù),∴是3的倍數(shù)，∴或,其中k是非負(fù)整數(shù)．∴或，其中ｋ是非負(fù)整數(shù).∴符合條件的所有正整數(shù)n的和是．7.解：１1.提醒:∵a,b是一元二次方程的兩根,∴，,,，∴.８.解：．提醒：設(shè)三角形的三邊長為a，b，c(）,則，，∴，故a的也許取值為８，９,10或11，滿足題意的數(shù)組（ａ，b,c)可認(rèn)為:(8,８，8)，(9,9，6),(9，８,7）,(１０，10,4），(10,9,５），（10,8，6）,(10，７，7）,(11，11,2),(11，10,3),（１1,9,４）,（１1，8，5),（１1,７，6）.共１2組，其中，只有一組是直角三角形的三邊長,∴所求概率為．9.解:60°.提醒：作ＥM⊥BC于點M，F(xiàn)N⊥ＢC于點N,ＦP⊥ＥM于點P．ABCMNDFOEPABCMNDFOEP∴M、N分別為ＢD、CD的中點.又EＦ＝BC,∴ＰF＝MＮ＝BＣ=EF,∴∠PEF＝30°．又EF⊥AD,EＭ⊥BC，∴∠AＤＣ=∠PＥF＝30°.又∠ＡDC=∠Ｂ＋∠BAD＝∠B+（180°-2∠C)=90°+∠B-∠C，∴∠Ｃ－∠B＝90°-∠ADC=６0°.10.解:６3．提醒：設(shè)第三列所填6個數(shù)字按從小到大的順序排列后依次為A,B,C，D，E,F.∵A所在行前面需要填兩個比Ａ小的數(shù)字,∴A不小于3；∵Ｂ所在行前面需要填兩個比B小的數(shù)字，且Ａ及A所在行前面兩個數(shù)字都比B小，∴Ｂ不小于6.同理可知:C不小于９，D不小于１2，E不小于１5，F(xiàn)不小于1８.因此，第三列所填6個數(shù)字之和A+B＋Ｃ＋D＋E+Ｆ≥3＋6＋９+12+１5＋1８=６３.如圖即為使得第三列所填６個數(shù)字之和取得最小值的一種填法(后三列的數(shù)字填法不唯一）.１２3192021４5625272９789222３241011122６2８30１３1415３13435１6１７18３2333６第一試（Ｂ）1.解:B．提醒：∵，，∴.２.解：C．提醒：依題意，有,于是可得.∵拋物線與x軸只有一個公共點,∴,∴.因此．ABCDEFG３.解：C．提醒：易知∠AＦD＝∠BEC=9０°，△BEC≌△ABCDEFG延長FA,EB交于點G.∵∠GＡB=90°-∠DＡF＝∠ADF,∠ＧBA＝90°-∠ＣBE=∠BＣE＝∠DＡＦ,∴△BGA∽△AFＤ，且∠AGB＝90°,∴ＡＧ=8,BＧ=6,∴GF=１1,GＥ＝10，∴.4.解:D.提醒:設(shè)，則,代入題設(shè)等式得,整理得．由判別式得,故．5．解:A.提醒:過點A、B分別作AC⊥x軸,BD⊥x軸，垂足為Ｃ、D.由OA⊥OＢ得∠ＡＯB＝90°，于是可得△AOＣ∽△ＯＢＤ,∴．6．解：D.提醒:∵是6的倍數(shù)，∴，∴，∴.設(shè)(ｍ是正整數(shù)),則.∵是６的倍數(shù),∴是３的倍數(shù)，∴或,其中k是非負(fù)整數(shù)．∴或,其中ｋ是非負(fù)整數(shù).∴符合條件的所有正整數(shù)n的和是.7．解：11.提醒:∵ａ，b是一元二次方程的兩根，∴，,,,∴.8.解：１2.提醒：設(shè)三角形的三邊長為a，b，ｃ()，則,,∴,故a的也許取值為8，9,10或1１,滿足題意的數(shù)組(a,b,c)可認(rèn)為:(８，8，８),（9,9，6），（9，8，7),（10，1０，4),（10，9,５),(10，8,６)，（10，7,7)，（１1，1１，2）,（11,１0，３),（11，9,4），（11，8，5），（11，7,6）．共12組,∴三邊長均為整數(shù)且周長為24的三角形的個數(shù)為12.AOEBDCF9.解：4．提醒：連接OD、OC,作DＥ⊥AB于Ｅ,AOEBDCF∵AD平分∠BＡC，∴∠ＤＯＢ＝2∠BAＤ＝∠OAC.又OA=OＤ,∴△AＯF≌△OＤE,∴OE＝AF，∴AC＝2OＦ=2OE.設(shè)ＡC=2x,則OE＝AF＝ｘ．在Ｒｔ△ODE中，由勾股定理得.在Rt△ADＥ中,ＡD2＝ＤE２＋ＡE2,即，解得x=2．∴AC=2x＝4.１0.解：37.提醒:和為15的五個互不相等的正整數(shù)只能是1，2，3,4，5.注意到五個數(shù)在圓周上是按序擺放的,且考慮的是和式，不妨設(shè)ａ=5.552e1daebcd5eb1d5eb1d52b1e圖1圖2圖3圖4圖5假如1和5的位置不相鄰,不妨設(shè)c=1（如圖2)，此時的和式為；互換１和b的位置后，得到如圖３的擺法,此時的和式為．∵，∴．因此，互換1和b的位置使得1和5相鄰(如圖3）以后,和式的值會變?。鐖D3，假如ｄ＝２，此時的和式為;互換e和２的位置以后,得到如圖4的擺法,此時的和式為.∵，∴.因此，互換e和2的位置使得２和５相鄰以后和式的值會變小.假如b＝2,此時的和式為;互換e和2的位置以后，得到如圖5的擺法，此時的和式為．∵,∴.因此,互換e和２的位置使得2和5相鄰以后和式的值會變?。C上可知:1和2擺在５的兩邊（如圖5）時,和式的值會變小.當(dāng)d＝3,e=4時,和式的值為；當(dāng)d=4,e＝3時,和式的值為.因此,所求最小值為３7.第二試（A）１.解:將所給方程記為方程①，顯然有且．若,則,此時方程①無解，不符合題意,故.方程①變形得，兩邊平方后整理得，再平方,整理得.顯然,應(yīng)當(dāng)有,并且此時方程①只也許有解.將代入方程①,得,化簡整理得??？，于是有,此時方程①有唯一解.ABCDQPABCDQPFNEM2.證明：（１）在BE上取一點Ｐ,使得∠BAP=∠DAＣ,則△BAP≌△CＡD,∴AP=AD.又ＡE⊥ＰD,∴△ADE≌△ＡPE，∴∠PＡE＝∠ＤＡE，∴∠PAE＝∠BＡP＝∠DAＣ,∴∠BAD＝３∠ＤAＣ.（2)設(shè)∠DAC＝α，則∠BＡＣ=2α,∠ＢAＤ＝3α，∠NＤM=90°-α.在FB上截取FＱ＝FD，連接QD，則ＢＱ＝BF－FＱ＝BＦ－ＦＤ．又,∴.又∠QBＤ=∠DCＡ,∴△QBD∽△DＣA，∴∠ＱDＢ＝∠DAC.又∵∠DBC=∠DAC，∴∠QDＢ=∠DＢＣ，∴QD∥BC，∴∠FQD＝∠AＢＣ.又AＢ=AC，∠ＢAC=2α,∴∠ABＣ＝90°－α，∴∠FQD＝90°-α.又FQ＝FD，∴∠BＦD＝2α.∵ＦN平分∠BFD,∴∠AFM＝α，∴∠NＭD＝∠ＡMF=∠BAD－∠AFM＝3α－α＝2α,∴∠MND＝１８0°-∠NＭD－∠NDM＝9０°-α=∠MDN,∴MN=MD．3.證明：方程即①，方程①的判別式.不妨設(shè)，由題設(shè)可知，整系數(shù)方程①至少有一個正整數(shù)解，∴應(yīng)為完全平方數(shù).注意到,,若,即,則，從而有，故只也許,即，整理得，這與m,ｎ均為正整數(shù)矛盾.因此,從而可得，∴.又∵,∴有,整理即得．第二試(B)1.解：∵,∴,∴．設(shè)，則，當(dāng)時取得等號.∴,.因此,當(dāng)，時,取得最小值.ABCDFQMPEN2.證明:(1)在ABCDFQMPEN則△BAＰ≌△CAＤ,∴AP=AD.又AＥ⊥ＰD，∴△ADＥ≌△APE,∴∠PＡＥ=∠ＤAE,∴∠PAＥ=∠ＢAP＝∠DAC,∴∠BAD=３∠DAＣ.（２）設(shè)∠DAC＝α，則∠BAC＝2α,∠ＢAD＝3α.∵AＣ⊥BD，∴∠NDM＝9０°－α.∵MＮ=MD，∴∠ＭND＝∠MDN＝９０°-α,∴∠NMＤ=180°-∠ＭNＤ－∠NDM=２α,∴∠AMＦ=2α，∴∠ＡＦM=∠BAD-∠AMF=3α－2α＝α.∵FN平分∠ＢFD，∴∠BFD＝２∠AＦM=２α．在FB上截取FQ=FＤ,連