2017-2018學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)第17章勾股定理學(xué)科素養(yǎng)思想方法（含解析）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精9-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGE勾股定理學(xué)科素養(yǎng)·思想方法一、方程思想【思想解讀】方程思想就是從分析幾何問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系出發(fā)，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)未知數(shù)，利用問(wèn)題中的條件,把要解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題中的已知量和未知數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為方程或者方程組，進(jìn)而解決問(wèn)題.【應(yīng)用鏈接】在直角三角形中,求線段的長(zhǎng)時(shí)，常利用勾股定理建立方程求解.在直角三角形中,兩條直角邊長(zhǎng)(a,b)的平方和等于斜邊長(zhǎng)(c）的平方,即a2+b2=c2，求線段的長(zhǎng)時(shí),由此通過(guò)已知量與未知量的關(guān)系建立起方程(或方程組），然后解方程(或方程組）解決問(wèn)題。【典例1】（2015·黔西南中考）如圖,在矩形紙片ABCD中，AD=1,將紙片折疊,使頂點(diǎn)A與CD邊上的點(diǎn)E重合,折痕FG分別與AD,AB交于點(diǎn)F，G，若DE=,則EF的長(zhǎng)為________.【思路點(diǎn)撥】設(shè)EF=x,可得AF的長(zhǎng)，由AD=1可得DF的長(zhǎng)，因?yàn)镈E已知,故在Rt△DEF中，可利用勾股定理列方程，再解方程即可?！咀灾鹘獯稹吭O(shè)EF=x，由折疊的性質(zhì)知AF=x,∵AD=1,∴DF=1-x。在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2,即（1—x)2+=x2.解得x=.答案：【變式訓(xùn)練】(2015·銅仁中考）如圖，在矩形ABCD中，BC=6,CD=3,將△BCD沿對(duì)角線BD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E,則線段DE的長(zhǎng)為(）A.3 B。 C.5 D.【解析】選B.∵將△BCD沿對(duì)角線BD翻折得到△BC′D,∴∠CBD=∠C′BD，∵AD∥BC，∴∠CBD=∠EDB，∴∠C′BD=∠EDB，∴BE=DE.設(shè)BE=DE=x，則Rt△ABE中,AB=CD=3，AE=AD-DE=BC-DE=6-x，由勾股定理得32+（6—x）2=x2，解得x=。二、分類討論思想【思想解讀】分類討論思想：把所有研究的問(wèn)題根據(jù)題目的特點(diǎn)和要求，分成若干類，轉(zhuǎn)化成若干個(gè)問(wèn)題來(lái)解決，這種按不同情況分類，然后再逐一研究解決的數(shù)學(xué)思想,稱為分類討論思想.注意：分類要做到不重不漏?！緫?yīng)用鏈接】在研究三角形的高時(shí)，應(yīng)分直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形三種情況去考慮,另外在探究直角三角形的邊長(zhǎng)時(shí)也應(yīng)注意分類。【典例2】（2017·宜昌中考)閱讀：能夠成為直角三角形三條邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù).世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》,其勾股數(shù)組公式為:其中m〉n>0,m,n是互質(zhì)的奇數(shù).應(yīng)用,當(dāng)n=1時(shí),求有一邊長(zhǎng)為5的直角三角形的另外兩條邊長(zhǎng)?！窘馕觥慨?dāng)n=1時(shí),a=(m2-1）①，b=m②，c=（m2+1)③因?yàn)橹苯侨切斡幸贿呴L(zhǎng)為5，分情況如下:情況1：當(dāng)a=5時(shí),即(m2—1)=5，解得m=±(舍去）;情況2：當(dāng)b=5時(shí)，即m=5，再將它分別代入①③得a=×（52—1)=12,c=×（52+1）=13;情況3:當(dāng)c=5時(shí),即(m2+1)=5，m=±3，因?yàn)閙〉0,所以m=3,把m=3分別代入①②得a=×(32—1）=4,b=3.綜上所述，直角三角形的另兩邊長(zhǎng)為12，13或3，4?！咀兪接?xùn)練】在△ABC中，BC=a，AC=b,AB=c，設(shè)c為最長(zhǎng)邊.當(dāng)a2+b2=c2時(shí),△ABC是直角三角形；當(dāng)a2+b2≠c2時(shí),利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關(guān)系，探究△ABC的形狀(按角分類)。(1)當(dāng)△ABC三邊長(zhǎng)分別為6,8,9時(shí),△ABC為________三角形；當(dāng)△ABC三邊長(zhǎng)分別為6,8,11時(shí)，△ABC為________三角形.（2）猜想:當(dāng)a2+b2________c2時(shí),△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2________c2時(shí),△ABC為鈍角三角形.（3）判斷當(dāng)a=2，b=4時(shí)，△ABC的形狀,并求出對(duì)應(yīng)的c的取值范圍.【解析】(1)當(dāng)兩直角邊分別為6，8時(shí),斜邊==10,∴當(dāng)△ABC三邊分別為6，8，9時(shí),△ABC為銳角三角形;當(dāng)△ABC三邊分別為6,8，11時(shí)，△ABC為鈍角三角形。答案：銳角鈍角（2)當(dāng)a2+b2〉c2時(shí),△ABC為銳角三角形；當(dāng)a2+b2<c2時(shí),△ABC為鈍角三角形。答案:>〈(3)∵c為最長(zhǎng)邊,2+4=6,∴4≤c〈6,a2+b2=22+42=20.①a2+b2>c2,即c2<20,0〈c<2，∴當(dāng)4≤c〈2時(shí)，這個(gè)三角形是銳角三角形;②a2+b2=c2，即c2=20，c=2，∴當(dāng)c=2時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形;③a2+b2<c2，即c2>20,c〉2,∴當(dāng)2〈c<6時(shí)，這個(gè)三角形是鈍角三角形.三、數(shù)形結(jié)合思想【思想解讀】抓住數(shù)與形之間本質(zhì)上的聯(lián)系,將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái),通過(guò)“以形助數(shù)"或“以數(shù)解形”,使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化,抽象的問(wèn)題具體化,從而達(dá)到迅速解題的目的。勾股定理的逆定理主要是靠“算”來(lái)驗(yàn)證三條邊長(zhǎng)之間的數(shù)量關(guān)系,從而確定三角形的形狀,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想?！緫?yīng)用鏈接】數(shù)形結(jié)合主要體現(xiàn)在利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題中,將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)換成直角三角形模型時(shí),一般需要利用數(shù)形結(jié)合來(lái)解決?！镜淅?】在一棵樹的10米高B處有兩只猴子，為搶吃池塘邊水果,一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊。另一只爬到樹頂D后直接躍到A處,距離以直線計(jì)算,如果兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等,則這棵樹高_(dá)_______米.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意,畫出圖形,設(shè)樹的高度為x米,利用勾股定理建立方程求解?！咀灾鹘獯稹咳鐖D,設(shè)樹的高度為x米，因兩只猴子所經(jīng)過(guò)的距離相等都為10+20=30(米)。由勾股定理得：x2+202=[30—(x—10)］2，解得x=15米.故這棵樹高15米。答案:15【變式訓(xùn)練】如圖,在Rt△ABC中，∠A=90°,甲、乙二人從點(diǎn)D同時(shí)出發(fā),甲沿DA，AB過(guò)橋到達(dá)點(diǎn)B處,乙沿DC過(guò)橋由點(diǎn)C直達(dá)B處.已知DA=6千米,AB=6千米，DC=2千米，假設(shè)甲、乙兩人的速度相同,問(wèn):甲、乙二人誰(shuí)先到達(dá)B處？并請(qǐng)說(shuō)明理由?！窘馕觥俊逥A=6千米,AB=6千米,DC=2千米,∴BC===10(千米)，∴DC+BC=2+10=12(千米),AD+AB=6+