2023年八年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座全等三角形

第十講全等三角形全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ),這是由于全等三角形是研究特殊三角形、四邊形等圖形性質(zhì)的有力工具,是解決與線段、角相關(guān)問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn),運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見(jiàn)的幾何問(wèn)題．運(yùn)用全等三角形證明問(wèn)題,關(guān)鍵在于從復(fù)雜的圖形中找到一對(duì)基礎(chǔ)的三角形，這對(duì)基礎(chǔ)的三角形從實(shí)質(zhì)上來(lái)說(shuō)，是由三角形全等鑒定定理中的一對(duì)三角形變位而來(lái),也也許是由幾對(duì)三角形組成,其間的關(guān)系互相傳遞,應(yīng)熟悉涉及有公共邊、公共角的以下兩類基本圖形：例題求解【例1】如圖,∠Ｅ=∠F=9０°，∠B＝∠C,AC=AF,給出下列結(jié)論：①∠1=∠2;②ＢＥ=CF；③△ACN≌△ABM；④CD=DN，其中對(duì)的的結(jié)論是(把你認(rèn)為所有對(duì)的結(jié)論的序號(hào)填上)．(廣州市中考題）思緒點(diǎn)撥對(duì)一個(gè)復(fù)雜的圖形，先找出比較明顯的一對(duì)全等三角形，并發(fā)現(xiàn)有用的條件，進(jìn)而判斷推出其他三角形全等．注兩個(gè)三角形的全等是指兩個(gè)圖形之間的一種‘相應(yīng)”關(guān)系，“相應(yīng)’兩字,有“相稱”、“相應(yīng)”的含意，相應(yīng)關(guān)系是按一定標(biāo)準(zhǔn)的一對(duì)一的關(guān)系，“互相重合”是判斷其相應(yīng)部分的標(biāo)準(zhǔn)．實(shí)際碰到的圖形,兩個(gè)全等三角形并不重合在一起，但其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形按平行移動(dòng)、翻拆、旋轉(zhuǎn)等方法得到，這種改變位置,不改變形狀大小的圖形變動(dòng)叫三角形的全等變換.【例2】在△ABC中，AC=5,中線AD＝4，則邊AB的取值范圍是(）A．１＜AB<9B．3＜AＢ<13C.5<AＢ＜１3D．9＜ＡB＜13(連云港市中考題)思緒點(diǎn)撥線段ＡC、ＡD、AB不是同一個(gè)三角形的三條邊,通過(guò)中線倍長(zhǎng)將分散的條件加以集中.【例３】如圖，BD、CE分別是△ABＣ的邊ＡC和AB上的高，點(diǎn)Ｐ在BD的延長(zhǎng)線上,BP=AＣ,點(diǎn)Q在ＣＥ上，CQ=AB求證：(１）AP=AQ;(2)AP⊥ＡQ．（江蘇省競(jìng)賽題)思緒點(diǎn)撥(１）證明相應(yīng)的兩個(gè)三角形全等；(2)在(1)的基礎(chǔ)上,證明∠PAQ＝90°【例4】若兩個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的高分別相應(yīng)相等,試判斷這兩個(gè)三角形的第三邊所對(duì)的角之間的關(guān)系,并說(shuō)明理由.(“五羊杯”競(jìng)賽題改編題)思緒點(diǎn)撥運(yùn)用全等三角形的鑒定和性質(zhì),探討兩角之間的關(guān)系,解題的關(guān)鍵是由高的特殊性，分三角形的形狀討論．注有時(shí)圖中并沒(méi)有直接的全等三角形，，需要通過(guò)作輔助線構(gòu)造全等三角形，完畢恰當(dāng)添輔助線的任務(wù)，我們的思堆要經(jīng)歷一個(gè)觀測(cè)、聯(lián)想、構(gòu)造的過(guò)程.邊、角、中線、角平分線、高是三角形的基本元素,從以上諸元素中選取三個(gè)條件使之組合可得到關(guān)于三角形全等鑒定的若干命題,其中有真有假，課本中全等三角形的鑒定方法只涉及邊、角兩類元素．【例5】如圖，已知四邊形紙片ABCＤ中，AD∥BC，將∠ＡBC、∠DAB分別對(duì)折，假如兩條折痕恰好相交于DＣ上一點(diǎn)E，你能獲得哪些結(jié)論？思緒點(diǎn)撥折痕前后重合的部分是全等的,從線段關(guān)系、角的關(guān)系、面積關(guān)系等不同方面進(jìn)行探索，以獲得更多的結(jié)論．注例5融操作、觀測(cè)、猜想、推理于一體，需要一定的綜合能力．推理論證既是說(shuō)明道理，也是探索、發(fā)現(xiàn)的逄徑.善于在復(fù)雜的圖形中發(fā)現(xiàn)、分解、構(gòu)造基本的全等三角形是解題的關(guān)鍵,需要注的是,通常面臨以下情況時(shí),我們才考慮構(gòu)造全等三角形：（1)給出的圖形中沒(méi)有全等三角形,而證明結(jié)論需要全等三角形；(2)從題設(shè)條件無(wú)法證明圖形中的三角形全等,證明需要另行構(gòu)造全等三角形．學(xué)力訓(xùn)練1.如圖，AD、A′D′分別是銳角△AＢC和△Ａ′Ｂ′C′中BＣ、Ｂ′C邊上的高，且AB＝A′B′,AＤ=Ａ′D,若使△ABC≌△Ａ′B′Ｃ′,請(qǐng)你補(bǔ)充條件(只需要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件).(黑龍江省中考題）2．如圖，在△ABD和△ACE中,有下列4個(gè)論斷:①ＡB＝AC；②AD＝ＡC;③∠B＝∠C；④BＤ=ＣE，請(qǐng)以其中三個(gè)論斷作為條件,余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出一個(gè)真命題(用序號(hào)○○○→○的形式寫(xiě)出)．（海南省中考題)3．如圖,把大小為4×４的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形，例如圖1.請(qǐng)?jiān)谙聢D中，沿著虛線畫(huà)出四種不同的分法,把4×4的正方形方格圖形分割成兩個(gè)全等圖形.4．如圖，DA⊥AB,EA⊥AC，AＢ=AＤ，AＣ＝AE,BE和CD相交于Ｏ,則∠DOE的度數(shù)是.５.如圖,已知ＯA=OB，OC＝OD,下列結(jié)論中：①∠A=∠B；（②DE＝CＥ;③連ＯE,則OE平分∠O,對(duì)的的是()A．①②B．②③C.①③D.①②③6．如圖，Ａ在DE上，F(xiàn)在AB上,且AC=ＣE，∠1=∠2=∠3,則ＤE的長(zhǎng)等于()A.ＤＣＢ．BCC.AＢD．AE＋AC(2023年武漢市選拔賽試題)7.如圖，ＡE∥CD，ＡC∥DB,AD與BC交于O，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，那么圖中全等的三角形有(）對(duì)A．5B．６C.7Ｄ.88.如圖,把△ＡBC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)３5°，得到△A′B′C′，A′B′交AC于點(diǎn)D，已知∠Ａ′DＣ=90°,求∠Ａ的度數(shù)．（貴州省中考題）9.如圖,在△ＡＢＥ和△ACＤ中,給出以下4個(gè)論斷:①AB=AC;②AＤ=AE;③ＡＭ＝AN;④AD⊥DC,AＥ⊥BE.以其中３個(gè)論斷為題設(shè)，填人下面的“已知”欄中,一個(gè)論斷為結(jié)論,填人下面的“求證”欄中，使之組成一個(gè)真命題,并寫(xiě)出證明過(guò)程．已知：求證：(荊州市中考題)10．如圖，已知∠1=∠2,EF⊥AＤ于Ｐ，交BC延長(zhǎng)線于M，求證:∠M=（∠ACB－∠B).（天津市競(jìng)賽題）1１．在△AＢC中,高ＡD和BE交于H點(diǎn),且BH=AＣ，則∠ABC=.1２．如圖,已知AE平分∠BAC，ＢＥ⊥AE于E，EＤ∥AＣ,∠BＡＥ=３６°,那么∠BED.（河南省競(jìng)賽題)13.如圖,D是△ABC的邊AB上一點(diǎn)，DF交ＡC于點(diǎn)F，給出3個(gè)論斷:①DＥ=FE；②AE＝CＥ;③ＦC∥AB,以其中一個(gè)論斷為結(jié)論，其余兩個(gè)論斷為條件,可作出3個(gè)命題,其中對(duì)的命題的個(gè)數(shù)是.(武漢市選拔賽試題)14.如圖,AD∥BC,∠1=∠2,∠３＝∠4，AＤ＝4,BC=2，那么AB=．１5．如圖，在△ABC中,ＡD是∠A的外角平分線，Ｐ是AＤ上異于A的任意一點(diǎn),設(shè)PB=m,PＣ=n,ＡB=c，AC=b，則(m+n)與(ｂ＋c)大小關(guān)系是(）A．m＋n>ｂ+ｃＢ．m+n<b＋cＣ.ｍ+ｎ＝b+cD.不能擬定16．如圖，在四邊形ＡBＣＤ中,對(duì)角線AC平分∠ＢAD,AB>AD,下列結(jié)論中對(duì)的的是()A.AＢ-AD>ＣB－CDB.AB-ＡD＝CＢ—CDC.AB—AＤ<CＢ—ＣDD．AB－AD與ＣB—CD的大小關(guān)系不擬定.(江蘇省競(jìng)賽題)１7．考察下列命題()全等三角形的相應(yīng)邊上的中線、高、角平分線相應(yīng)相等；兩邊和其中一邊上的中線（或第三邊上的中線）相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等;兩角和其中一角的角平分線(或第三角的角平分線）相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等；(4)兩邊和其中一邊上的高(或第三邊上的高)相應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.其中對(duì)的命題的個(gè)數(shù)有（)Ａ.４個(gè)B．３個(gè)Ｃ.2個(gè)Ｄ．1個(gè)18．如圖，在四邊形ABCＤ中，AC平分∠ＢAD，過(guò)C作CE⊥AB于E,并且ＡＥ＝(AB+AD),求∠ABC＋∠ADＣ的度數(shù)．(上海市競(jìng)賽題)19．如圖，△ABＣ中，D是BＣ的中點(diǎn)，DE⊥DF,試判斷BE+CF與EＦ的大小關(guān)系,并證明你的結(jié)論．２0.如圖，已知ＡB＝CＤ=ＡＥ=BＣ＋DE=２，∠ABC=∠ＡEＤ＝9０°，求五邊形ABＣDＣ的面積.（江蘇省競(jìng)賽題)21．如圖，在△ＡBC中，∠ABC=6０