復(fù)變函數(shù)綜合練習(xí)題

一 判斷下列命題是否正確,如正確,在題后括號(hào)內(nèi)填√,否則填.(共20題在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)31有唯一值 設(shè)

zz

x2y2 設(shè)z1 3i,則argz2 cosz是有界函數(shù) 方程ez1有唯一解 設(shè)函數(shù)f(z),g(z)在z處可導(dǎo),則f(z)在點(diǎn)z處必可導(dǎo) g(z) 設(shè)函

f(z)u(x,yiv(x,

z0x0

處可導(dǎo) f

)(viu

y(x0,y0設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)一階可導(dǎo),則f(z)在D內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)必存在 設(shè)函數(shù)f(z)在z0處可導(dǎo),則f(z)在z0處必解析 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)可導(dǎo),則f(z)在D內(nèi)必解析 設(shè)u(x,y),v(x,y)都是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù),則f(z)u(x,y)iv(x,y)是D內(nèi)的 n為自然數(shù),r為正實(shí)數(shù),

zz0

n(zz0n

0 設(shè)fz為連續(xù)函數(shù),則c

f(z)dz

t1f[z(t)]z(t)dt,zz(t

線c的起點(diǎn),終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的t值 設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,c是D內(nèi)的任意閉曲線,則f(z)dz0 c設(shè)函數(shù)fz在單連通區(qū)域D內(nèi)解析,c是D內(nèi)的閉曲線,z0Dcf(z)dz2ifz

) n設(shè)冪級(jí) czn在zR(R為正實(shí)數(shù))內(nèi)收斂,則R為此級(jí)數(shù)的收斂半徑. nf(n)(z00設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,zD,則f(z) 0(z00

)n 設(shè)級(jí)

(z

)n在園環(huán)域r

z

R(rRfz,是f(z)在此環(huán)域內(nèi)的級(jí)數(shù) z0fz的孤立奇點(diǎn),

f(z),則z0是f(z)的極點(diǎn) 設(shè)函數(shù)

f(

在圓周

z

內(nèi)解析

z

為其唯一零點(diǎn),

z1f(z)二 2設(shè)復(fù)數(shù)z i2)3,則z的模和幅角的主值分別 2 4

42, 4

22,4z1Re(z) 區(qū)域 僅存在一個(gè)z

1z

1ziz33cos

設(shè)z1i,則Im(sinz) 函數(shù)f(z)=z2將區(qū)域Re(z)<1映射 2u124

u1242

4u1v函數(shù)f(z)=z在z0 連 可 解 f(z)=x2

f(z)=sinxchyicos

f(z)=2x3i3y3設(shè)函數(shù)f(z)u(x,y)iv(x,y且u(x,y)是區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù),則當(dāng)v(x,在D內(nèi) 時(shí)

fzD內(nèi)解析n 可導(dǎo)函 調(diào)和函 nz0是閉曲線c內(nèi)一點(diǎn)n為自然數(shù),

c(zz0

0或

z

sinz(1z)

dz

zsinzzzsinzz z

z

z

ez5zn復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3的收斂范圍 nz

z

zfz在多連域D內(nèi)解析c0c1c2均為D內(nèi)閉曲線且c0c1c2復(fù)合閉路且DD, 00

f(z)dz

f(z)dz

f(z)dz12f(z)dz1200

f(z)dz

f(z)dz

f1fz1

1e2zz2

2在z=0的展開式 2 級(jí) 級(jí) C.都不

z0是f(z)shz的極點(diǎn)的階數(shù) z

1e1z0是f(z) 1z 本性奇 極 可去奇fz在環(huán)域rz

R(0rR內(nèi)解析,f(z)

(z

)n其中系數(shù)cn f(n)(z 0

nf(n)(z 0

n

dn

2cz的任意閉曲線00

fz

,則Res[f(z),2i] ez

fz

cosz(ez1,

f(z)dz z

2iRes[f

332i[f(z),zk],k

三.填空題(14題復(fù)數(shù)方程ez1

3的解 3設(shè)z22i,則argz ,lnz z1z14表示的區(qū)域 f(z)zsinzfz

u(x,y) v(x,y) sinzezA,zfz0,z

在z0處連續(xù),則常數(shù) f(

3271

f(i

z

,

fz

z

335 f, , 設(shè)函數(shù)fz在單連域D內(nèi)解析,G(z)是它的一個(gè)原函數(shù),z0z1D,f(z)dz

時(shí)f(zalnx2y2iarctgy在區(qū)域x>0內(nèi)解析x若z=a為f(z)的m階極點(diǎn),為g(z)的n階極點(diǎn)(m>n),則z=a為f(z)g(z)f 階極點(diǎn),

g(z)

函數(shù)f(z)=tgz在z=0處的展開式的收斂半經(jīng) fz

sin

設(shè)sinzz

zn,則

,

zezdz 1z1留數(shù)Re

esinzz

,0]

esinzz

,0] 四.求解下列各 (共6題fz=my3nx2yi(x3lxy2在復(fù)平面可導(dǎo),試確定常數(shù)mnl并求f(z.u(xy)3x23y2v(xyf(z)u(xyiv(xy為解析函數(shù)且滿足f(0)i.f(z)z2的可導(dǎo)性試證u(x,y)

x2y

是在不包含原點(diǎn)的復(fù)平面內(nèi)的調(diào)和函數(shù),并求v(x,使f(z)u(x,y)iv(x,yf(i)f(z)ez在復(fù)平面內(nèi)可導(dǎo)且(ez)ez證 c0

2i,n(z (z

,n為正整數(shù),cz0為圓心,r周五.求下列積分(24題c計(jì)算sinzdz,cxz0(1,0,z0x=1c[2zRez)]dz,c是從點(diǎn)A(1,0)B(-1,0)的上半個(gè)圓周c(2z25z6)dz,c為連接A(1,-1),B(0,0)的任意曲線czezdz1 2zi2 2z2

(z21)(z2cos2dzz(zzI

sin2(z2

dzcc

,c

rr1,2的正常數(shù)I

(z1)2(z(2(2z1)(1z2c

,其中曲線czi

zi2cz=0z=1的閉曲線,求

e3dz

Iz

ezcosz

z(z2)2]dz

cz(1

2z

dzz2z(z

e2

3dz,z0

1的任意復(fù)數(shù)z1(zz0

z

(z21)2dz

z

sinz(z1)4

dz

z

dz(z2)(2ztgzdzz

zz

dz12z25z

dz

zz

dzz44z dz2z25iz

z(z1)(z (z1)(zc

3y0所圍的閉曲線cz2c

z4

dz,c同上1(z(z9)(z c

dz,c

4y0所圍的閉曲線六.求下列函數(shù)在奇點(diǎn)處的留 (共8題1e2zf(z) zf(z)

z1f(z)

sin.f(z)

1z.(z2f(z)f(z)

ezez.f(z)

z(z z3z2zf(z)1z七.將下列函數(shù)在指定區(qū)域內(nèi)展成級(jí)數(shù)或級(jí) (共10題f(z)

(z1)2(2zz2

0z1f(z)

22z23zez

z12f(z)f(z)

z11z2z

0z1

2).1<z 3).2<zf(z)

0z1f(z)cos

z

f(z)

zf(z)1f(z)z(ez

0z0z

f(z)

0z

第二部 解一、判斷題.(20題1.×2.√3.×4.×5.×6.×7.√8.√9.× 11.×12.×13.√14.√16.17.×18.√√ B. C. A.B.B. B. C.ln23

，3ln27 x2y2 xsinxchyycosxshy，xcosxchyysin112G(z1)G(z012

，

m2

，m0z1，-60u(x,y)my3nx2由題意得v(x,y)

利用u2nxy

n u3my2nx2v3x2ly2，得n3l3m 則f(z)uiv6xyi(3x23y2 3iz

vu6x v(x,y)6xdy6xy(x)，v6y又由vu，即6y(x6 所以(x)0(x)C（C為常數(shù)故v(xy)6xycf(z3x23y26xyc)i3z2

f(0)i代入可得C1f(0)if(z)3z2u(x,y)x2由題意知v(x,y)

xx2xy0y2yx0可得yf(z)

z2z0

2xy(x2y2)2

，

6x2y2y3(x2y2

(x2y2 x2y

6x2y2y (x2y2

(x2y2即

所以u(píng)(x,y) 是調(diào)和函yx2yy

(x2

2xy v(x,y)ydy(x2y2)2dy(x2y2)g(x)v

y2x(x2y2

u

y2x2(x2y2故 g(x)0，g(x)

（C為常數(shù)所以v(x,y)

(x2y2f(z)

(x2y2

(x2y2

c)iz由于f(i)1代入上式可求得C0f(i)1f(z)z

ezexiyex(cosyisinyu(x,y)excosy，v(x,y)exsin

uexcosyv，uexsiny

ez在全平面處處可導(dǎo)(ez)uivexcosyiexsinyex(cosyisiny)e C

zzreitC0001

2

reitoC(zzo

ndz

(zo

zo

n 0r

ei(n1)tei(n1)t|20，nrn1(1 it|22i，n (zz即 o

2i，nIOZsinzdzOZsinzdzZZsin 0I1I 其OZ：z

(0t

I1sintdtcost|110Z0Z1：z1

(0t

I1sin(1it)d(1it)1sin(1it)d(1it)cos(1it)|1cos(1i) C[2zRe (zcostisin0t(5sintcost)dti(3cos2t2sin2 5cos2t|i[t5sin2t] 所以，原式(0,0)(2z25z2 z23

5z2

[3

5(12

(4(1i)5i66i)7(2 1izezdzez(z1)|1i 1根據(jù)積分公式，原式

zi2

(zi)(z2z

(zi)(z2

|zi原式

z2

cos2zz1

dz

z2

cos2zz z2i[cos2z z z2i(cos21z2原式2i(sinz|

2

當(dāng)0r1時(shí)f(z)

(z1)2(z

在CI0當(dāng)1r2z1在CI

z

)

2i當(dāng)r2時(shí)，z1，z2均在C內(nèi)，根據(jù)積分定I f(z)dz4

fz242i(1

2i2iz

z

(z

z 當(dāng)Czi1I=

(2z1)(z

|z

(12i)當(dāng)Cz

32 f(z)dz

f(z)dz(cc分別以i,1為圓心r

12 12=

1 2(2z1)(z2

2(zi)(z

z=(12i)8i(1 1).z0z1均不在C內(nèi),則z0在C內(nèi),z1在C外,ezI=2i(1z)3|z0z1在C內(nèi)2iez )

z0在C外,

z z0z1均在C內(nèi),ez ez Iz(1z)3dzz(1z)3dz(其中c1,z4c2z14

Izzz

dz

z

z(z2)2=

cosz

ez(z2)2|z

(z

)|z=

1sin12 2

1sine2]

2z

dz

(2z12zz2z(z

z

z =2i[(2z1)z1(2z1)z0=z0z01的任意復(fù)數(shù),z0

1內(nèi)時(shí),z0為被積函數(shù)的三階極點(diǎn)此時(shí)原式=2i(e2z)

z

4e2z0iz

1內(nèi)時(shí),

10析函數(shù),所以原式=0.0 e2

4e2z0i,zz03dz0(zz0

原式2i{Res[f(ziRes[f(z),i,其中i,i均為二階極點(diǎn)Res[f(z),i]

e(zi)2e

(zi)3

Res[f(z),i]lim

]

ez(zi2)zi(z

(z 所以,原式4

i

i)4z1fz的三階極點(diǎn),fzz1f(z)sin(z)sin(z(z 1 [(z1)(z

(z1)3(z1)3

5(z=(z

3!(z

5(z1)3所

,原式

i

dz iRes[f(dzz1(z2)(2z =2ilim[sinz2z14(z2=ilimsinz(z2)sinz

222z2

(z 令cosz0得zArccos0求 zk1(k0,1,2,)在2

1z12tgzdz2i[Res(tgz1Res(tgz,1,z

1)2

(cosz)

1112Res(tgz,1)2

(cosz)

2故 tgzdz2i(11)2z f(z)

sin2

2z0且為簡單極點(diǎn),z

z dz2iRes(sin2z

2 2,z0sin2,

12z12

5z

(2z1)(z2)=2i 22z12(z 2

z

z24z

z24z

,(2

=2

3z23z(2 3

z

2z25iz

(z2i)(2z

i] 2zi2(z 2

z(z(z 2i{Res[(z(z c

=zi

z2i

1)(z2i)]2i(6i

)

z24

dz2i{Res[f(z),e

Res[f(z),e4cz

z2

z2ii=2i[iize

(z e

3ze

(z e

1212= 1212(z9)(z 2i{Res[f(z),i](z9)(z c=2 zi(z29)(z z3i(z21)(z=

1

)六 1e2zf(z)

的奇點(diǎn)為0,z0為其三階極點(diǎn)z1 1e2z ,0) ) 2! f(z)

1[1(12zz

2= 2z z

41e2z z

,0)c1f(z)

z

z1,

z

z

z

z

2!(z

4!(z

]

z

3!(z

=sin1cos1z

2!(z所以Ref(z)

zsin

z1且為三階極點(diǎn),Res[f(z),1]1lim(sinz)2! 1 f(z)

= sin1(1z)3

(1z)2

sin12(1z)

cos1故有Resf(z),1sin2f(z)

1z(z2

zi且均為二階極點(diǎn),1z4 Res[f(z),i]zi

i)2]1z4 Res[f(z),i]zi

]2

ez10時(shí),z2ki(k0,1,2,fz的奇點(diǎn),z0f(z)

lim

1,ez1Res[f(z),0]0

z0ez

z0z2ki(k1,2,fz的一階極點(diǎn),Res[f(z),2ki]

(ez

|z

2ki,(k顯然,z=0,z=1fz的奇點(diǎn)且z=0為一階極點(diǎn)z=1為二階極點(diǎn),zRes[f(z),0] zz0(zez

ez(zRes[f(z),1] ) z1 z1fz的奇點(diǎn)且z=1為二階極點(diǎn),z=-1為一階極點(diǎn),Res[f(z),1]

1)

z Res[f(z),1] z1(z

sinz0時(shí),函數(shù)無意義,zk(k0,1,2,fz的一階極點(diǎn),Res[f(z),0]

1

lim1zz0(sinRes[f(z),k]lim1zkcos

z0cos)(1)k(1k).(k1,)七 f(z) (z1)21(z =(z1)2(z

0z1 (z1)

0z1f(z)

1

1= 21z2

312(z3=1(2n0

z1)n

2n(z

z12 =(2n13n1)(z

z12f(z)

ze

(ez11)(z

z

ezzz

0z1(z=f(z)1( 1

0z13

z1時(shí)

zf(z)13

12(1z2

1(z)=1(1)(z)n(1)nzn3 =1[1(1)n]z 當(dāng)1

z2時(shí)

f(z)1

132(1z2

z1z1 z

=3[2n1

zn1 1z

n1=3[2n1 z 2

z時(shí),f(z)1[1

3z