廣東省湛江市麻章區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

廣東省湛江市麻章區(qū)第一中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，且，則的最大值為（

）A．2

B．4

C．

D．參考答案：D試題分析：設(shè)向量對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，向量對(duì)應(yīng)點(diǎn)，由知點(diǎn)在以為圓心，半徑為的圓上．∴∵又∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，故選D．考點(diǎn)：1、平面向量數(shù)量積公式；2、數(shù)量的模及向量的幾何意義.2.

已知函數(shù)在上是減函數(shù)，且對(duì)任意的總有則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.四面體A﹣BCD中，AB=CD=10，AC=BD=2，AD=BC=2，則四面體A﹣BCD外接球的表面積為（）A．50π B．100π C．200π D．300π參考答案：C【考點(diǎn)】LE：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的側(cè)面積和表面積．【分析】由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，由此能求出球的半徑，進(jìn)而求出球的表面積．【解答】解：由題意可采用割補(bǔ)法，考慮到四面體ABCD的四個(gè)面為全等的三角形，所以可在其每個(gè)面補(bǔ)上一個(gè)以10，2，2為三邊的三角形作為底面，且以分別為x，y，z，長(zhǎng)、兩兩垂直的側(cè)棱的三棱錐，從而可得到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z的長(zhǎng)方體，并且x2+y2=100，x2+z2=136，y2+z2=164，設(shè)球半徑為R，則有（2R）2=x2+y2+z2=200，∴4R2=200，∴球的表面積為S=4πR2=200π．故選C．4.比較甲、乙兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的各項(xiàng)能力指標(biāo)值（滿分為5分，分值高者為優(yōu)），繪制了如圖1所示的六維能力雷達(dá)圖，例如圖中甲的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為4，乙的數(shù)學(xué)抽象指標(biāo)值為5，則下面敘述正確的是（

）A．乙的邏輯推理能力優(yōu)于甲的邏輯推理能力B．甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值優(yōu)于乙的直觀想象能力指標(biāo)值C．乙的六維能力指標(biāo)值整體水平優(yōu)于甲的六維能力指標(biāo)值整體水平D．甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值參考答案：C對(duì)于選項(xiàng)A，甲的邏輯推理能力指標(biāo)值為4，優(yōu)于乙的邏輯推理能力指標(biāo)值為3，所以該命題是假命題；對(duì)于選項(xiàng)B，甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值為3，乙的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以乙的直觀想象能力指標(biāo)值優(yōu)于甲的數(shù)學(xué)建模能力指標(biāo)值，所以該命題是假命題；對(duì)于選項(xiàng)C，甲的六維能力指標(biāo)值的平均值為，乙的六維能力指標(biāo)值的平均值為，因?yàn)椋赃x項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值為4，甲的直觀想象能力指標(biāo)值為5，所以甲的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力指標(biāo)值不優(yōu)于甲的直觀想象能力指標(biāo)值，故該命題是假命題．故選C．5.如果{an}不是等差數(shù)列，但若，使得，那么稱{an}為“局部等差”數(shù)列.已知數(shù)列{xn}的項(xiàng)數(shù)為4，記事件A：集合，事件B：{xn}為“局部等差”數(shù)列，則條件概率（

）A. B. C. D.參考答案：C由題意知，事件共有=120個(gè)基本事件，事件“局部等差”數(shù)列共有以下24個(gè)基本事件，（1）其中含1，2，3的局部等差的分別為1，2，3，5和5，1，2，3和4，1，2，3共3個(gè)，含3，2，1的局部等差數(shù)列的同理也有3個(gè)，共6個(gè).含3，4，5的和含5，4，3的與上述（1）相同，也有6個(gè).含2，3，4的有5，2，3，4和2，3，4，1共2個(gè)，含4，3，2的同理也有2個(gè).含1，3，5的有1，3，5，2和2，1，3，5和4，1，3，5和1，3，5，4共4個(gè)，含5，3，1的也有上述4個(gè)，共24個(gè)，=.故選C.

6.設(shè)直線l：y=2x+2，若l與橢圓x2+=1的交點(diǎn)為A、B，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則使△PAB的面積為﹣1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為(

) A．0 B．1 C．2 D．3參考答案：D考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：由直線l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，求出弦長(zhǎng)AB，計(jì)算AB邊上的高h(yuǎn)，設(shè)出P的坐標(biāo)，由點(diǎn)P到直線y=2x+2的距離d=h，結(jié)合橢圓的方程，求出點(diǎn)P的個(gè)數(shù)來(lái)．解答： 解：由直線l的方程與橢圓x2+=1的方程組成方程組，解得或，則A（0，2），B（﹣1，0），∴AB==，∵△PAB的面積為﹣1，∴AB邊上的高為h==．設(shè)P的坐標(biāo)為（a，b），代入橢圓方程得：a2+=1，P到直線y=2x+2的距離d==，即2a﹣b=2﹣4或2a﹣b=﹣2；聯(lián)立得：①或②，①中的b消去得：2a2﹣2（﹣2）a+5﹣4=0，∵△=4（﹣2）2﹣4×2×（5﹣4）＞0，∴a有兩個(gè)不相等的根，∴滿足題意的P的坐標(biāo)有2個(gè)；由②消去b得：2a2+2a+1=0，∵△=（2）2﹣4×2×1=0，∴a有兩個(gè)相等的根，滿足題意的P的坐標(biāo)有1個(gè)．綜上，使△PAB面積為﹣1的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為3．故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與橢圓方程的綜合應(yīng)用問題，考查了直線方程與橢圓方程組成方程組的求弦長(zhǎng)的問題，是綜合性題目．7.定義在（—，0）（0，+）上的函數(shù)，如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列{}，{）仍是等比數(shù)列，則稱為“保等比數(shù)列函數(shù)”．現(xiàn)有定義在（—，0）（0，+）上的如下函數(shù)：①=：②；③;④．則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的的序號(hào)為（

）

A．①②

B．③④

C．①③

D．②④參考答案：C略8.已知等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的前8項(xiàng)和為（

）

A.127 B.255 C.511

D.1023參考答案：B略9.某程序框圖如圖所示，其中，若輸出的，則判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件為A.n<2020？

B.n≤2020？

C.n>2020？

D.n≥2020?參考答案：A10.《孫子算經(jīng)》是中國(guó)古代重要的數(shù)學(xué)著作，書中有一問題：“今有方物一束，外周一匝有三十二枚，問積幾何？”該著作中提出了一種解決此問題的方法：“重置二位，左位減八，余加右位，至盡虛減一，即得.”通過對(duì)該題的研究發(fā)現(xiàn)，若一束方物外周一匝的枚數(shù)是8的整數(shù)倍時(shí)，均可采用此方法求解，如圖是解決這類問題的程序框圖，若輸入，則輸出的結(jié)果為（

）A．23

B．47

C．24

D．48參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若，則=

參考答案：略12.把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_______種.參考答案：3613.將名教師，名學(xué)生分成個(gè)小組，安排到甲、乙兩地參加活動(dòng)，每個(gè)小組由名教師和名學(xué)生組成，不同的安排方案共有__________種.參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】排列、組合J2【答案解析】12

第一步，為甲地選一名老師，有=2種選法；第二步，為甲地選兩個(gè)學(xué)生，有=6種選法；第三步，為乙地選1名教師和2名學(xué)生，有1種選法,故不同的安排方案共有2×6×1=12種,故選A.【思路點(diǎn)撥】將任務(wù)分三步完成，在每步中利用排列和組合的方法計(jì)數(shù)，最后利用分步計(jì)數(shù)原理，將各步結(jié)果相乘即可得結(jié)果14.曲線在點(diǎn)(0,1)處的切線方程是________________．參考答案：.15.已知雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P在曲線C上，若中，，則雙曲線C的漸近線方程為______.參考答案：【分析】利用已知條件求出P的坐標(biāo)（x，y）滿足的條件，然后求解a，b的關(guān)系即可，【詳解】如圖，過B作BM⊥x軸，∵∠PBA＝∠PAB，則∠PAB＝∠PBM，∴∠PAB+∠PBx．即kPA?kPB＝1．設(shè)P（x，y），又A（﹣a，0），B（a，0）．，∴x2﹣y2＝a2，∴a＝b，則雙曲線C的漸近線方程為y＝±x，故答案為：y＝±x【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．屬于中檔題．16.理：已知實(shí)數(shù)、滿足，則的取值范圍是

.參考答案：17.下面有五個(gè)命題：①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是.②終邊在y軸上的角的集合是③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有三個(gè)公共點(diǎn).④把函數(shù)⑤函數(shù)其中真命題的序號(hào)是

（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：①④略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.21．（本小題滿分14分）設(shè)函數(shù)常數(shù)且a∈（0，1）.（1）

當(dāng)a=時(shí)，求f（f（））；（2）

若x0滿足f（f（x0））=x0,但f（x0）≠x0，則稱x0為f（x）的二階有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，并求二階周期點(diǎn)x1，x2；（3）

對(duì)于（2）中x1，x2，設(shè)A（x1,f（f（x1））），B（x2,f（f（x2）））,C(a2,0)，記△ABC的面積為s（a），求s（a）在區(qū)間[,]上的最大值和最小值。參考答案：（1）當(dāng)時(shí)，（當(dāng)時(shí)，由解得x=0,由于f（0）=0,故x=0不是f（x）的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)由解得因故是f（x）的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由解得因故不是f（x）的二階周期點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，解得因故是f（x）的二階周期點(diǎn)。因此，函數(shù)有且僅有兩個(gè)二階周期點(diǎn)，，。（3）由（2）得

則因?yàn)閍在[,]內(nèi)，故，則故

19.（本題滿分12分）在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且．（1）求角C；（2）若，，求△ABC的面積．參考答案：（1）在中，由正弦定理得：，整理得，由余弦定理得，又因?yàn)椋?（2）由得，所以由正弦定理：，解得所以的面積

20.（本小題滿分12分）

已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足.（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；（Ⅱ）設(shè)、為軌跡上兩點(diǎn)，且>1,>0,，求實(shí)數(shù)，使，且.參考答案：解析：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)，由得.

…………2分 由,得，即.

……………4分 又點(diǎn)在軸的正半軸上，∴.故點(diǎn)的軌跡的方程是.…………6分（Ⅱ）由題意可知為拋物線：的焦點(diǎn)，且、為過焦點(diǎn)的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn),所以直線的斜率不為.……7分

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，得，不合題意；……8分

當(dāng)直線斜率存在且不為時(shí)，設(shè)，代入得

，

則，解得.…………10分

代入原方程得，由于，所以，由,

得，∴.……………………12分21.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x﹣a|﹣|x+3|，a∈R．（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，解不等式f（x）≤1；（Ⅱ）若當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）≤4，求a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，不等式為|x+1|﹣|x+3|≤1，對(duì)x的取值范圍分類討論，去掉上式中的絕對(duì)值符號(hào)，解相應(yīng)的不等式，最后取其并集即可；（Ⅱ）依題意知，|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7，當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，易求2x+7的最小值，從而可得a的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）當(dāng)a=﹣1時(shí)，不等式為|x+1|﹣|x+3|≤1．當(dāng)x≤﹣3時(shí)，不等式化為﹣（x+1）+（x+3）≤1，不等式不成立；當(dāng)﹣3＜x＜﹣1時(shí)，不等式化為﹣（x+1）﹣（x+3）≤1，解得﹣≤x＜﹣1；當(dāng)x≥﹣1時(shí)，不等式化為（x+1）﹣（x+3）≤1，不等式必成立．綜上，不等式的解集為[﹣，+∞）．…（Ⅱ）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，f（x）≤4即|x﹣a|≤x+7，由此得a≥﹣7且a≤2x+7．當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，2x+7的最小值為7，所以a的取值范圍是[﹣7，7]．…22.（本小題滿分13分）汽車租賃公司為了調(diào)查A,B兩種車型的出租情況,現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種車型各100輛汽車，分別統(tǒng)計(jì)了每輛車某個(gè)星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表:A型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)51030351532B型車出租天數(shù)1234567車輛數(shù)1420201615105

（I）從出租天數(shù)為3天的汽車（僅限A,B兩種車型）中隨機(jī)抽取一輛，估計(jì)這輛汽車恰好是A型車的概率；（Ⅱ）根據(jù)這個(gè)星期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)該公司一輛A型車，一輛B型車一周內(nèi)合計(jì)出租天數(shù)恰好為4天的概率；（Ⅲ）如果兩種車型每輛車每天出租獲得的利潤(rùn)相同，該公司需要從A，B兩種車型中購(gòu)買一輛，請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，給出建議應(yīng)該購(gòu)買哪一種車型，并說(shuō)明你的理由.參考答案：解：（I）這輛汽車是