廣東省茂名市第五中學2023年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析

廣東省茂名市第五中學2023年高三數(shù)學理上學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.（5分）定義運算a?b為執(zhí)行如圖所示的程序框圖輸出的S值，則的值為（）A．4B．3C．2D．﹣1參考答案：A【考點】：程序框圖．【專題】：三角函數(shù)的求值．【分析】：由已知的程序框圖可知：本程序的功能是：計算并輸出分段函數(shù)S=的值，由已知計算出a，b的值，代入可得答案．解：由已知的程序框圖可知：本程序的功能是：計算并輸出分段函數(shù)S=的值∵a==1，b==2∴S=2×（1+1）=4故選A【點評】：本題考查的知識點是程序框圖，特殊角的三角函數(shù)，其中根據(jù)已知的程序框圖，分析出程序的功能是解答的關鍵．2.程序框如圖所示，則該程序運行后輸出n的值是（）A．2016 B．2017 C．1 D．2參考答案：D【考點】程序框圖．【分析】根據(jù)題意，模擬程序框圖的運行過程，即可得出該程序運行輸出的結果．【解答】解：第1步：n=1，k=0，n=4，k=1，第2步：n=4，n=2，k=2，第3步：n=2，n=1，k=3，第4步：n=1，n=4，k=4，第5步：n=4，n=2，k=5，第6步：n=2，n=1，k=6，…，由2018÷3=672+2，同第2步，此時n=4，n=2，k=2018＞2017，輸出n=2，故選：D．3.參考答案：B4.若是函數(shù)的零點，則屬于區(qū)間

（

）A.(-1,0)

B．(0,1)

C．(1,2)

D．(2,3)參考答案：B5.已知，方程在［0，1］內(nèi)有且只有一個根，則在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為

A.2011

B.1006

C.2013

D.1007參考答案：C由，可知，所以函數(shù)的周期是2，由可知函數(shù)關于直線對稱，因為函數(shù)在［0，1］內(nèi)有且只有一個根，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)為2013個，選C.6.已知函數(shù),則滿足的實數(shù)的取值范圍是A、

B、

C、

D、參考答案：A由可知，則或，解得.7.已知函數(shù)，則（

）A.y=f(x)的周期為2，其圖象關于直線對稱B.y=f(x)的周期為2，其圖象關于直線對稱C.y=f(x)的周期為1，其圖象關于直線對稱D.y=f(x)的周期為2，其圖象關于直線對稱參考答案：A，∴，令，解得：當時，得到圖象的一條對稱軸為.故選：A8.方程表示的曲線是A.一個圓和一條直線

B.一個圓和一條射線C.一個圓

D.一條直線參考答案：D9.已知函數(shù)，，則函數(shù)的零點個數(shù)是（

）A.5 B.7 C.9 D.11參考答案：C【分析】將函數(shù)的零點個數(shù)轉化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，函數(shù)f（x）的圖象是一段一段的線段，作出函數(shù)f（x）及的圖象，觀察圖象即可.【詳解】函數(shù)的零點轉化為與的交點，給k賦值，作出函數(shù)及的圖象,從圖像上看，共有9個交點，∴函數(shù)的零點共有9個，故選：C.【點睛】本題主要考查圖象法求函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結合思想與轉化思想，屬于中檔題．10.條件甲：

（

）

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既充分也不必要條件參考答案：答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等腰直角△ABC中，設腰長為a，則斜邊上的高為，類比上述結論，那么在三棱錐A－BCD中，AB、AC、AD兩兩垂直且相等，設長度均為a，則斜面BCD上的高AE的長度為

．參考答案：12.若展開式的第四項為常數(shù)項,則展開式中各項系數(shù)的和是__________；參考答案：答案：

13.已知，，，，且∥，則＝

．參考答案：試題分析：由∥知，，那么原式．考點：平行向量間的坐標關系．14.在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為，，則的取值范圍是

。參考答案：15.雙曲線C：的左、右焦點分別為、，M是C右支上的一點，MF1與y軸交于點P，的內(nèi)切圓在邊PF2上的切點為Q，若，則C的離心率為____.參考答案：【分析】根據(jù)切線長定理求出MF1﹣MF2，即可得出a，從而得出雙曲線的離心率．【詳解】設△MPF2的內(nèi)切圓與MF1，MF2的切點分別為A，B，由切線長定理可知MA＝MB，PA＝PQ，BF2＝QF2，又PF1＝PF2，∴MF1﹣MF2＝（MA+AP+PF1）﹣（MB+BF2）＝PQ+PF2﹣QF2＝2PQ，由雙曲線的定義可知MF1﹣MF2＝2a，故而a＝PQ，又c＝2，∴雙曲線的離心率為e．故答案為：．【點睛】本題主要考查雙曲線的離心率，考查三角形內(nèi)切圓的性質，考查切線長定理，考查學生的計算能力，利用雙曲線的定義進行轉化是解決本題的關鍵．16.已知，則_____________．參考答案：略17.若x，y滿足則的最大值是．參考答案：【考點】簡單線性規(guī)劃．【分析】根據(jù)已知的約束條件畫出滿足約束條件的可行域，再用角點法，求出目標函數(shù)的最大值．【解答】解：滿足約束條件的可行域如下圖中陰影部分所示：則的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點與點（0，0）的斜率的最大值，由解得A（1，）顯然過A時，斜率最大，最大值是，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.(本題滿分１２分)某學校隨機抽取部分新生調查其上學路上所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖），其中，上學路上所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，.（１）求直方圖中的值；（２）如果上學路上所需時間不少于40分鐘的學生可申請在學校住宿，請估計學校1000名新生中有多少名學生可以申請住宿.參考答案：（1）由，………….4分則………….6分（2）上學所需時間不少于40的學生的頻率為：………….8分估計學校1000名新生中有：………….11分答：估計學校1000名新生中有250名學生可以申請住宿.…12分19.如圖，拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點為，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切．（Ⅰ）求拋物線E及圓M的方程；（Ⅱ）過P（1，0）作兩條相互垂直的直線，與拋物線E相交于A，B兩點，與圓M相交于C，D兩點，N為線段CD的中點，當，求AB所在的直線方程．參考答案：【考點】拋物線的簡單性質．【專題】綜合題；轉化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質與方程．【分析】（Ⅰ）利用拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點為，圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，即可求拋物線E及圓M的方程；（Ⅱ）聯(lián)立?x2﹣kx+k=0，又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，可得k的范圍，利用，求出k，即可求AB所在的直線方程．【解答】解：（Ⅰ）拋物線E：x2=2py（p＞0）的焦點為，∴p=，∴拋物線E：y=x2，…（3分）∵圓心M在射線y=2x（x≥0）上且半徑為1的圓M與y軸相切，∴圓M的方程：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1；…（6分）（Ⅱ）設直線AB的斜率為k（k顯然存在且不為零）聯(lián)立?x2﹣kx+k=0…（8分）又與直線AB垂直的直線CD與圓M相交，則即，而k2﹣4k＞0，故.（其中d表示圓心M到直線AB的距離）=…（12分）又，所以，解得或（舍）所以AB所在的直線方程為：即．…（15分）【點評】本題考查拋物線E及圓M的方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．20.某濕地公園內(nèi)有一條河，現(xiàn)打算建一座橋（如圖1）將河兩岸的路連接起來，剖面設計圖紙（圖2）如下，其中，點A，E為x軸上關于原點對稱的兩點，曲線段BCD是橋的主體，C為橋頂，并且曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為y=（x∈[﹣2，2]），曲線段AB，DE均為開口向上的拋物線段，且A，E分別為兩拋物線的頂點．設計時要求：保持兩曲線在各銜接處（B，D）的切線的斜率相等．（1）曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式，并寫出定義域；（2）車輛從A經(jīng)B到C爬坡，定義車輛上橋過程中某點P所需要的爬坡能力為：M=（該點P與橋頂間的水平距離）×（設計圖紙上該點P處的切線的斜率）其中MP的單位：米．若該景區(qū)可提供三種類型的觀光車：①游客踏乘；②蓄電池動力；③內(nèi)燃機動力，它們的爬坡能力分別為0.8米，1.5米，2.0米，用已知圖紙上一個單位長度表示實際長度1米，試問三種類型的觀光車是否都可以順利過橋？參考答案：【分析】（1）設出方程，利用B為銜接點，即可求出曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式，并寫出定義域；（2）分類討論，求最值，即可得出結論．【解答】解：（1）由題意A為拋物線的頂點，設A（a，0）（a＜﹣2），則可設方程為y=λ（x﹣a）2（a≤x≤﹣2，λ＞0），y′=2λ（x﹣a）．曲線段BCD在圖紙上的圖形對應函數(shù)的解析式為y=（x∈[﹣2，2]），y′=，且B（﹣2，1），則曲線在B處的切線斜率為，∴，∴a=﹣6，λ=，∴曲線段AB在圖紙上對應函數(shù)的解析式為y=（﹣6≤x≤﹣2）；（2）設P為曲線段AC上任意一點．①P在曲線段AB上，則通過該點所需要的爬坡能力（MP）1==，在[﹣6，﹣3]上為增函數(shù)，[﹣3，﹣2]上是減函數(shù)，最大為米；②P在曲線段BC上，則通過該點所需要的爬坡能力（MP）2==（x∈[﹣2，0]），設t=x2，t∈[0，4]，（MP）2=y=．t=0，y=0；0＜t≤4，y=≤1（t=4取等號），此時最大為1米．由上可得，最大爬坡能力為米；∵0.8＜＜1.5＜2，∴游客踏乘不能順利通過該橋；蓄電池動力和內(nèi)燃機動力能順利通過該橋．21.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程是（k為參數(shù)），以坐標原點O為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為．（1）曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）求曲線C上的點到直線l的距離的取值范圍．參考答案：（1），；（2）．（1），平方后得，又，的普通方程為．，即，將代